Равномерный 6-многогранник

Графы трех правильных и связанных однородных многогранников
6-симплекс	Усеченный 6-симплекс		Выпрямленный 6-симплекс
Сочлененный 6-симплекс		Ранцинированный 6-симплекс
Стерический 6-симплекс		Пятеричный 6-симплекс
6-ортоплекс	Усеченный 6-ортоплекс		Выпрямленный 6-ортоплекс
Сочлененный 6-ортоплекс	Ранцинированный 6-ортоплекс		Стерический 6-ортоплекс
Согнутый 6-куб		Ранцинированный 6-кубовый
Стерилизованный 6-куб.		Пятиугольный 6-куб
6-куб.	Усеченный 6-куб		Ректифицированный 6-куб
6-демикуб	Усеченный 6-микуб		Кантеллированный 6-демикуб
Ранцинированный 6-кубовый		Стерилизованный 6-демикуб
2 ₂₁		1 ₂₂
Усечено 2 ₂₁		Усечено 1 ₂₂

В шестимерной геометрии однородный является 6-многогранник шестимерным однородным многогранником . Однородный многогранник является вершинно-транзитивным , а все фасеты являются однородными 5-многогранниками .

Полный набор выпуклых однородных 6-многогранников не определен, но большинство из них можно построить как конструкции Витхоффа из небольшого набора групп симметрии . операции построения представлены перестановками колец диаграмм Эти Кокстера -Дынкина . Каждая комбинация хотя бы одного кольца в каждой связной группе узлов диаграммы образует однородный 6-многогранник.

Простейшими однородными многогранниками являются правильные многогранники : 6-симплекс {3,3,3,3,3}, 6-куб (гексеракт) {4,3,3,3,3} и 6-ортоплекс (шестигранник) . ) {3,3,3,3,4}.

История открытия

Правильные многогранники : (выпуклые грани)
- 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописной теории множественной непрерывности , что существует ровно 3 правильных многогранника в 5 или более измерениях .
Выпуклые полуправильные многогранники категории Коксетера : (Различные определения до однородной )
- 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными гранями (выпуклые правильные политеры) в своей публикации «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений» . ^[1]
Выпуклые однородные многогранники :
- 1940 : Поиск систематически расширялся Х.С.М. Коксетером в его публикации «Регулярные и полуправильные многогранники» .
Неправильные однородные звездчатые многогранники : (аналогично невыпуклым однородным многогранникам )
- Продолжается : Джонатан Бауэрс и другие исследователи ищут другие невыпуклые однородные 6-многогранники, на данный момент насчитывается 41348 известных однородных 6-многогранников вне бесконечных семейств (выпуклых и невыпуклых), исключая призмы однородных 5-многогранников. Список не является полным. ^[2]^[3]

Равномерные 6-многогранники по фундаментальным группам Кокстера

Однородные 6-многогранники с отражательной симметрией могут быть порождены этими четырьмя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина .

Существуют четыре фундаментальные группы отражательной симметрии, которые порождают 153 уникальных однородных 6-многогранника.

#	Группа Коксетера
1	А ₆	[3,3,3,3,3]
2	Б ₆	[3,3,3,3,4]
3	Д ₆	[3,3,3,3 ^1,1]
4	E_Е6	[3 ^2,2,1]
4	E_Е6	[3,3 ^2,2]

Соответствия диаграмм Кокстера-Дынкина между семействами и более высокая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Однородные призматические семейства

Равномерная призма

существует 6 категориальных однородных На основе однородных 5-многогранников призм .

#	Группа Коксетера		Примечания
1	А ₅ А ₁	[3,3,3,3,2]	Семейство призм на основе 5-симплекса
2	Б ₅ А ₁	[4,3,3,3,2]	Семейство призм на основе 5-куба
3а	Д ₅ А ₁	[3 ^2,1,1,2]	Семейство призм на основе 5-демикуба

#	Группа Коксетера		Примечания
4	А ₃ И ₂ (п)А ₁	[3,3,2,п,2]	Семейство призм на основе тетраэдрических -p-угольных дуопризм.
5	Б ₃ И ₂ (п)А ₁	[4,3,2,п,2]	Семейство призм на основе кубических -p-угольных дуопризм.
6	Н ₃ И ₂ (п)А ₁	[5,3,2,п,2]	Семейство призм на основе додекаэдрических -p-угольных дуопризм.

Равномерная дуопризма

Существует 11 категориальных однородных дуопризматических семейств многогранников, основанных на декартовых произведениях однородных многогранников меньшей размерности. Пять образуются как произведение однородного 4-многогранника на правильный многоугольник , а шесть — как произведение двух однородных многогранников :

#	Группа Коксетера		Примечания
1	А ₄ I ₂ (п)	[3,3,3,2,п]	Семейство основано на 5-клеточных -p-гональных дуопризмах.
2	Б ₄ И ₂ (п)	[4,3,3,2,п]	Семейство на основе тессеракт -п-угольных дуопризм.
3	Ф ₄ И ₂ (п)	[3,4,3,2,п]	Семейство основано на 24-клеточных -р-гональных дуопризмах.
4	Н ₄ И ₂ (п)	[5,3,3,2,п]	Семейство основано на 120-клеточных -р-гональных дуопризмах.
5	Д ₄ И ₂ (п)	[3 ^1,1,1,2,п]	Семейство основано на демитессеракт -п-гональных дуопризмах.

#	Группа Коксетера		Примечания
6	A_А3²	[3,3,2,3,3]	Семейство основано на тетраэдрических дуопризмах.
7	А ₃ Б ₃	[3,3,2,4,3]	Семейство основано на тетраэдрально - кубических дуопризмах.
8	A₃H_A3H3	[3,3,2,5,3]	Семейство основано на тетраэдрально - додекаэдрических дуопризмах.
9	B_Б3²	[4,3,2,4,3]	Семейство на основе кубических дуопризм.
10	B₃H_B3H3	[4,3,2,5,3]	Семейство основано на кубо - додекаэдрических дуопризмах.
11	H_H3²	[5,3,2,5,3]	Семейство основано на додекаэдрических дуопризмах.

Равномерная триапризма

Существует одно бесконечное семейство однородных трипризматических семейств многогранников, построенных как декартово произведение трех правильных многоугольников. Каждая комбинация хотя бы одного кольца в каждой связной группе образует однородный призматический 6-многогранник.

#	Группа Коксетера			Примечания
1	Я ₂ (п)И ₂ (д)И ₂ (р)	[п,2,д,2,р]		Семья на основе p,q,r-гональных трипризм.

Перечисление выпуклых однородных 6-многогранников

Семейство симплекс : А ₆ [3 ⁴] -
- 35 однородных 6-многогранников как перестановок колец групповой диаграммы, включая один регулярный:
  1. {3 ⁴} - 6-симплекс -
гиперкуба / ортоплекса Семейство _{: B 6} [4,3 ⁴] -
- 63 однородных 6-многогранника как перестановки колец групповой диаграммы, включая две правильные формы:
  1. {4,3 ³} — 6-куб (гексеракт) —
  2. {3 ³,4} — 6-ортоплекс , (шексакрос) —
Демигиперкуб Д _{6 : [3}Семейство ^3,1,1] -
- 47 однородных 6-многогранников (16 уникальных) как перестановки колец на групповой диаграмме, в том числе:
  1. {3,3 ^2,1}, 1 ₂₁ 6-демикуб (демигексеракт) - ; также как h{4,3 ³},
  2. {3,3,3 ^1,1}, 2 ₁₁ 6-ортоплекс - , форма полусимметрии .
Семейство Е ₆ : [3 ^3,1,1] -
- 39 однородных 6-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, в том числе:
  1. {3,3,3 ^2,1}, 2 ₂₁ -
  2. {3,3 ^2,2}, 1 ₂₂ -

Эти фундаментальные семейства порождают 153 непризматических выпуклых однородных полипета.

Кроме того, существует 57 однородных 6-многогранников, основанных на призмах однородных 5-многогранников : [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [3 ^2,1,1,2], исключая призму пентеракта как дубликат гексеракта.

Кроме того, существует бесконечно много однородных 6-многогранников на основе:

Семейства призм дуопризмы: [3,3,2,p,2], [4,3,2,p,2], [5,3,2,p,2].
Семейства дуопризм: [3,3,3,2,p], [4,3,3,2,p], [5,3,3,2,p].
Семейство триапризм: [p,2,q,2,r].

А ₆Семья

Существует 32+4−1=35 форм, полученных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина .Все 35 перечислены ниже. Они названы Норманом Джонсоном в честь строительных работ Wythoff на основе обычного 6-симплекса (гептапетона). Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок.

Семейство A6 _{факториал} имеет симметрию порядка 5040 (7- ) .

Координаты однородных 6-многогранников с 6-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 7-мерном пространстве, все в гиперплоскостях с вектором нормали (1,1,1,1,1,1,1).

#	Коксетер-Дынкин	Джонсона Система именования Имя Бауэрса и (аббревиатура)	Базовая точка	Количество элементов
#	Коксетер-Дынкин	Джонсона Система именования Имя Бауэрса и (аббревиатура)	Базовая точка	5	4	3	2	1	0
1		6-симплекс гептапетон (хмель)	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21	35	35	21	7
2		Выпрямленный 6-симплекс ректифицированный гептапетон (рил)	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21
3		Усеченный 6-симплекс усеченный гептапетон (тиль)	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		Биректифицированный 6-симплекс биректифицированный гептапетон (бриль)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35
5		Сочлененный 6-симплекс маленький ромбированный гептапетон (шрил)	(0,0,0,0,1,1,2)	35	210	560	805	525	105
6		Битусеченный 6-симплекс усеченный гептапетон (батал)	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		Количественно усеченный 6-симплекс большой ромбовидный гептапетон (гриль)	(0,0,0,0,1,2,3)	35	210	560	805	630	210
8		Ранцинированный 6-симплекс маленький призматический гептапетон (дичь)	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		Двукантеллированный 6-симплекс небольшой бирромбовидный гептапетон (сабрил)	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		Runcitусеченный 6-симплекс призматоусеченный гептапетон (патал)	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820	2800	1890	420
11		Трехусеченный 6-симплекс тетрадекапетон (fe)	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		Рунцикантеллярный 6-симплекс призматор ромбовидный гептапетон (прил)	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960	1470	420
13		Бикантиусеченный 6-симплекс большой бирромбадный гептапетон (Гаврил)	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		Ранчикантиусеченный 6-симплекс большой призматический гептапетон (гапил)	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820	3010	2520	840
15		Стерический 6-симплекс мелкий клеточный гептапетон (чешуйка)	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		Бирунцированный 6-симплекс малый бипризмато-тетрадекапетон (сибпоф)	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		Стеритусеченный 6-симплекс целлиусеченный гептапетон (катал)	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		Стериконтеллярный 6-симплекс целлиромбовидный гептапетон (крал)	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		Бирюроусеченный 6-симплекс бипризматор ромбовидный гептапетон (баприл)	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		Стерикантиусеченный 6-симплекс целлигреатор ромбовидный гептапетон (каграл)	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21		Стерильный 6-симплекс целлипризматический гептапетон (копал)	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995	2660	1680	420
22		Стерирунный усеченный 6-симплекс целлипризматоусеченный гептапетон (каптал)	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		Стерирунцикантеллярный 6-симплекс целлипризматор ромбовидный гептапетон (коприл)	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		Бирунцикантиусеченный 6-симплекс большой бипризмато-тетрадекапетон (гибпоф)	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		Стерирунцикантиусеченный 6-симплекс большой клеточный гептапетон (гакал)	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		Пятеричный 6-симплекс малый тери-тетрадекапетон (посох)	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		Пятиусеченный 6-симплекс терацеллированный гептапетон (токальный)	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820	945	210
28		Пятиконтеллярный 6-симплекс терипризматический гептапетон (топал)	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		Пентикантиусеченный 6-симплекс теригреаторромбовидный гептапетон (тограл)	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		Пятиусеченный 6-симплекс терицеллиромбовидный гептапетон (токрал)	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31		Пятирунцикантеллярный 6-симплекс терипризматоромби-тетрадекапетон (тапорф)	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		Пятигранникантитусеченный 6-симплекс теригреатопризматический гептапетон (тагопал)	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		Пентистеритусеченный 6-симплекс терицеллитрунки-тетрадекапетон (тактаф)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		Пентистерикантиусеченный 6-симплекс терицеллигреатор ромбовидный гептапетон (такограл)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35		Всеусеченный 6-симплекс большой тери-тетрадекапетон (готаф)	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806	8400	16800	15120	5040

Б ₆Семья

Существует 63 формы, основанные на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами.

Семейство B ₆ имеет симметрию порядка 46080 (6 факториалов x 2 ⁶).

Они названы Норманом Джонсоном в честь строительных работ Wythoff на основе обычных 6-кубов и 6-ортоплексов. Имена Бауэрса и аббревиатуры даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера-Динкина	Символ Шлефли	Имена	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера-Динкина	Символ Шлефли	Имена	5	4	3	2	1	0
36		т ₀ {3,3,3,3,4}	6-ортоплекс Гексаконтатетрапетон (ги)	64	192	240	160	60	12
37		т ₁ {3,3,3,3,4}	Выпрямленный 6-ортоплекс Гексаконтатетрапетон ректификованный (тряпка)	76	576	1200	1120	480	60
38		т ₂ {3,3,3,3,4}	Биректифицированный 6-ортоплекс Биректифицированный гексаконтатетрапетон (хвастовство)	76	636	2160	2880	1440	160
39		т ₂ {4,3,3,3,3}	Биректифицированный 6-куб Двунаправленный гексеракт (брокс)	76	636	2080	3200	1920	240
40		т ₁ {4,3,3,3,3}	Ректифицированный 6-куб Исправленный гексеракт (ракс)	76	444	1120	1520	960	192
41		т ₀ {4,3,3,3,3}	6-куб. Гексеракт (топор)	12	60	160	240	192	64
42		т _0,1 {3,3,3,3,4}	Усеченный 6-ортоплекс Усеченный гексаконтатетрапетон (бирка)	76	576	1200	1120	540	120
43		т _0,2 {3,3,3,3,4}	Сочлененный 6-ортоплекс Маленький ромбический гексаконтатетрапетон (срог)	136	1656	5040	6400	3360	480
44		т _1,2 {3,3,3,3,4}	Битусеченный 6-ортоплекс Разрезанный гексаконтатетрапетон (ботаг)					1920	480
45		т _0,3 {3.3.3.3.4}	Ранцинированный 6-ортоплекс Маленький призматичный гексаконтатетрапетон (спог)					7200	960
46		т _1,3 {3,3,3,3,4}	Двукантелированный 6-ортоплекс Малый бирромбированный гексаконтатетрапетон (сиборг)					8640	1440
47		т _2,3 {4,3,3,3,3}	Трехусеченный 6-куб Гезерактигексаконтитетрапетон (xog)					3360	960
48		т _0,4 {3.3.3.3.4}	Стерический 6-ортоплекс Мелкоклеточный гексаконтатетрапетон (скаг)					5760	960
49		т _1,4 {4,3,3,3,3}	Бирунцированный 6-куб. Малый бипризмато-гексерактигексаконтитетрапетон (собпохог)					11520	1920
50		т _1,3 {4,3,3,3,3}	Двускатный 6-кубический Малый бирромбированный гексеракт (саборкс)					9600	1920
51		т _1,2 {4,3,3,3,3}	Битусеченный 6-куб Битусеченный гексеракт (ботокс)					2880	960
52		т _0,5 {4.3.3.3.3}	Пятиугольный 6-куб Малый тери-гексерактигексаконтитетрапетон (стоксог)					1920	384
53		т _0,4 {4.3.3.3.3}	Стерилизованный 6-куб. Мелкоклеточный гексеракт (скокс)					5760	960
54		т _0,3 {4.3.3.3.3}	Ранцинированный 6-кубовый Малый призматичный гексеракт (оспа)					7680	1280
55		т _0,2 {4.3.3.3.3}	Согнутый 6-куб Малый ромбированный гексеракт (srox)					4800	960
56		т _0,1 {4.3.3.3.3}	Усеченный 6-куб Усеченный гексеракт (токс)	76	444	1120	1520	1152	384
57		т _0,1,2 {3,3,3,3,4}	Кантиусеченный 6-ортоплекс Большой ромбовидный гексаконтатетрапетон (грог)					3840	960
58		т _0,1,3 {3,3,3,3,4}	Руноусеченный 6-ортоплекс Призматоусеченный гексаконтатрапетон (потаг)					15840	2880
59		т _0,2,3 {3,3,3,3,4}	Рунцикантеллярный 6-ортоплекс Призматоромбатированный гексаконтатрапетон (прога)					11520	2880
60		т _1,2,3 {3,3,3,3,4}	Бикантиусеченный 6-ортоплекс Большой бирромбатированный гексаконтатетрапетон (габорг)					10080	2880
61		т _0,1,4 {3,3,3,3,4}	Стеритусеченный 6-ортоплекс Целлитусеченный гексаконтатетрапетон (катог)					19200	3840
62		т _0,2,4 {3,3,3,3,4}	Стериконтеллярный 6-ортоплекс Целлиромбированный гексаконтатетрапетон (скала)					28800	5760
63		т _1,2,4 {3,3,3,3,4}	Бирюроусеченный 6-ортоплекс Бипризматоусеченный гексаконтатетрапетон (бопракс)					23040	5760
64		т _0,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерильный 6-ортоплекс Целлипризматический гексаконтатетрапетон (копог)					15360	3840
65		т _1,2,4 {4,3,3,3,3}	Бирюзово-усеченный 6-куб. Бипризматоусеченный гексеракт (бопраг)					23040	5760
66		т _1,2,3 {4,3,3,3,3}	Бикантиусеченный 6-кубовый Большой бирромбированный гексеракт (габоркс)					11520	3840
67		т _0,1,5 {3,3,3,3,4}	Пятиусеченный 6-ортоплекс Теритусеченный гексаконтатетрапетон (такокс)					8640	1920
68		т _0,2,5 {3,3,3,3,4}	Пятиконтеллярный 6-ортоплекс Терирромбированный гексаконтатетрапетон (тапокс)					21120	3840
69		т _0,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерильный 6-кубовый Целлипризматический гексеракт (копокс)					15360	3840
70		т _0,2,5 {4,3,3,3,3}	Пятиконтеллярный 6-кубовый Терирромбированный гексеракт (топаг)					21120	3840
71		т _0,2,4 {4,3,3,3,3}	Стериконтеллярный 6-кубовый Целлиромбовидный гексеракт (кракс)					28800	5760
72		т _0,2,3 {4,3,3,3,3}	Рунцикантеллярный 6-кубовый Призматоромбовидный гексеракт (прокси)					13440	3840
73		т _0,1,5 {4,3,3,3,3}	Пятиусеченный 6-куб Теритусеченный гексеракт (таког)					8640	1920
74		т _0,1,4 {4,3,3,3,3}	Стеритусеченный 6-кубовый Целлиусеченный гексеракт (катакс)					19200	3840
75		т _0,1,3 {4,3,3,3,3}	Runcitусеченный 6-куб. Призматоусеченный гексеракт (потакс)					17280	3840
76		т _0,1,2 {4,3,3,3,3}	Количественный усеченный 6-куб Большой ромбовидный гексеракт (грокс)					5760	1920
77		т _0,1,2,3 {3,3,3,3,4}	Ранцикантиусеченный 6-ортоплекс Большой призматичный гексаконтатетрапетон (гопог)					20160	5760
78		т _0,1,2,4 {3,3,3,3,4}	Стерикантиусеченный 6-ортоплекс Целлигреаторромбированный гексаконтатетрапетон (кагорг)					46080	11520
79		т _0,1,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерирунный усеченный 6-ортоплекс Целлипризматоусеченный гексаконтатетрапетон (каптог)					40320	11520
80		т _0,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерирунцикантеллярный 6-ортоплекс Целлипризматор ромбовидный гексаконтатрапетон (копраг)					40320	11520
81		т _1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Бирюнциантитусеченный 6-кубовый Большой бипризмато-гексерактигексаконтетрапетон (гобпохог)					34560	11520
82		т _0,1,2,5 {3,3,3,3,4}	Пентикантиусеченный 6-ортоплекс Теригреаторромбовидный гексаконтатетрапетон (тогриг)					30720	7680
83		т _0,1,3,5 {3,3,3,3,4}	Пятиусеченный 6-ортоплекс Терипризматоусеченный гексаконтатетрапетон (токракс)					51840	11520
84		т _0,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Пятирунчикантеллированный, 6-кубический Терипризматоромби-гексерактигексаконтитетрапетон (типриксог)					46080	11520
85		т _0,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерирунцикантеллярный, 6-кубовый Целлипризматор ромбовидный гексеракт (коприкс)					40320	11520
86		т _0,1,4,5 {4,3,3,3,3}	Пентистеритусеченный 6-кубовый Теричелли-гексерактигексаконтитетрапетон (тактаксог)					30720	7680
87		т _0,1,3,5 {4,3,3,3,3}	Пятикруглоусеченный 6-кубический Терипризматоусеченный гексеракт (токраг)					51840	11520
88		т _0,1,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерильныйусеченный 6-кубовый Целлипризматоусеченный гексеракт (каптикс)					40320	11520
89		т _0,1,2,5 {4,3,3,3,3}	Пентикантиусеченный 6-кубовый Теригреаторромбовидный гексеракт (тогрикс)					30720	7680
90		т _0,1,2,4 {4,3,3,3,3}	Стерикантиусеченный 6-кубовый Целлигреатор ромбовидный гексеракт (кагоркс)					46080	11520
91		т _0,1,2,3 {4,3,3,3,3}	Ранцикантиусеченный 6-кубовый Большой призматичный гексеракт (гиппокс)					23040	7680
92		т _0,1,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерирунцикантиусеченный 6-ортоплекс Большой сотовый гексаконтатетрапетон (гоког)					69120	23040
93		т _0,1,2,3,5 {3,3,3,3,4}	Пентирунсикантиусеченный 6-ортоплекс Теригреатопризматический гексаконтатетрапетон (тагпог)					80640	23040
94		т _0,1,2,4,5 {3,3,3,3,4}	Пентистерикантиусеченный 6-ортоплекс Терицеллигреатор ромбовидный гексаконтатетрапетон (текагорг)					80640	23040
95		т _0,1,2,4,5 {4,3,3,3,3}	Пентистерикантиусеченный 6-куб. Терицеллигреатор ромбовидный гексеракт (токагракс)					80640	23040
96		т _0,1,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Пятигранникусеченный 6-кубический Теригреатопризматический гексеракт (оспа)					80640	23040
97		т _0,1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерирунцикантиусеченный 6-куб. Большой клеточный гексеракт (гокакс)					69120	23040
98		т _0,1,2,3,4,5 {4,3,3,3,3}	Всеусеченный 6-куб Большой тери-гексерактигексаконтитетрапетон (готаксог)					138240	46080

Д ₆Семья

Семейство D6 _{факториал} имеет симметрию порядка 23040 (6 x 2 ⁵).

Это семейство имеет 3×16−1=47 однородных многогранников Витоффа, сгенерированных путем разметки одного или нескольких узлов диаграммы _{D 6} Кокстера-Динкина . Из них 31 (2×16−1) повторяются из семейства B6 _и 16 являются уникальными для этого семейства. Ниже перечислены 16 уникальных форм. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Базовая точка (поочередно подписано)	Количество элементов						Циркумрад
#	Диаграмма Кокстера	Имена	Базовая точка (поочередно подписано)	5	4	3	2	1	0	Циркумрад
99	=	6-демикуб Гемигексеракт (хакс)	(1,1,1,1,1,1)	44	252	640	640	240	32	0.8660254
100	=	Кантика 6-куб. Усеченный полугексеракт (такс)	(1,1,3,3,3,3)	76	636	2080	3200	2160	480	2.1794493
101	=	Руничич 6-куб. Малый ромбовидный полугексеракт (сиракс)	(1,1,1,3,3,3)					3840	640	1.9364916
102	=	Стерический 6-кубовый Малый призматический гемигексеракт (софакс)	(1,1,1,1,3,3)					3360	480	1.6583123
103	=	Пентик 6-кубовый Мелкоклеточный полугексеракт (сохакс)	(1,1,1,1,1,3)					1440	192	1.3228756
104	=	Рунцикантик 6-куб. Большой ромбовидный полугексеракт (гирхакс)	(1,1,3,5,5,5)					5760	1920	3.2787192
105	=	Стерикантический 6-кубовый Призматоусеченный гемигексеракт (питакс)	(1,1,3,3,5,5)					12960	2880	2.95804
106	=	Стерирунный 6-куб. Призматоромбовидный полугексеракт (прогакс)	(1,1,1,3,5,5)					7680	1920	2.7838821
107	=	Пентикантик 6-кубовый Целлитусеченный гемигексеракт (катикс)	(1,1,3,3,3,5)					9600	1920	2.5980761
108	=	Пентирунчик 6-кубовый Целлиромбовидный гемигексеракт (крохакс)	(1,1,1,3,3,5)					10560	1920	2.3979158
109	=	Пентистерик 6-кубовый Целлипризматический гемигексеракт (кофикс)	(1,1,1,1,3,5)					5280	960	2.1794496
110	=	Стерилизатор 6-кубовый Большой призматический гемигексеракт (гофакс)	(1,1,3,5,7,7)					17280	5760	4.0926762
111	=	Пентирунсикантик 6-кубовый Целлигреатор ромбовидный полугексеракт (кагрохакс)	(1,1,3,5,5,7)					20160	5760	3.7080991
112	=	Пентистерикантический 6-куб. Целлипизматоусеченный гемигексеракт (каптикс)	(1,1,3,3,5,7)					23040	5760	3.4278274
113	=	Пентистерирунковый 6-куб. Целлипризматор ромбовидный полугексеракт (капрогакс)	(1,1,1,3,5,7)					15360	3840	3.2787192
114	=	Пентистерирунцикантический 6-кубовый Большой клеточный гемигексеракт (гочакс)	(1,1,3,5,7,9)					34560	11520	4.5552168

Е ₆Семья

Существует 39 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса даны для перекрестных ссылок. Семейство E6 _. имеет симметрию порядка 51840

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера	Имена	5-гранный	4-ликий	Клетки	Лица	Края	Вершины
115		2 ₂₁ Икосихептагептаконтидипетон (подобный)	99	648	1080	720	216	27
116		Исправлено 2 ₂₁ Икосихептагептаконтидипетон ректифицированный (роджак)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		Усечено 2 ₂₁ Усеченный икосихептагептаконтидипетон (тоджак)	126	1350	4320	5040	2376	432
118		Отменено 2 ₂₁ Маленький ромбовидный икосихептагептаконтидипетон (сирджак)	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Ранцинированный 2 ₂₁ Малый демипризматический икосихептагептаконтидипетон (шопжак)	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		Демифицированный икосихептагептаконтидипетон (хеджак)	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Битусеченный 2 ₂₁ Двуусеченный икосихептагептаконтидипетон (ботаджик)						2160
122		Демиректифицированный икосихептагептаконтидипетон (кисть)						1080
123		Кантитусеченный 2 ₂₁ Большой ромбовидный икосихептагептаконтидипетон (гирджак)						4320
124		Усеченный 2 ₂₁ Демипризматоусеченный икосихептагептаконтидипетон (хопитжак)						4320
125		Стеритусеченный 2 ₂₁ Целлитусеченный икосихептагептаконтидипетон (катжак)						2160
126		Демиусеченный икосихептагептаконтидипетон (хотжак)						2160
127		Ранчикантеллированный 2 ₂₁ Демипризматор ромбовидный икосихептагептаконтидипетон (хапрояк)						6480
128		Малый демиромбатированный икосихептагептаконтидипетон (шорджак)						4320
129		Малый призматичный икосихептагептаконтидипетон (спояк)						4320
130		Трехусеченный икосихептагептаконтидипетон (титаджак)						4320
131		Runcicantitruncated 2 ₂₁ Большой демипризматический икосихептагептаконтидипетон (гопджак)						12960
132		Стерикантиусеченный 2 ₂₁ Целлигреаторромбовидный икосихептагептаконтидипетон (кограджик)						12960
133		Большой демиромбатированный икосихептахептаконтидипетон (горджак)						8640
134		Призматоусеченный икосихептагептаконтидипетон (потжак)						12960
135		Демицеллитурированный икосихептагептаконтидипетон (хиктиджик)						8640
136		Призматоромбатированный икосихептагептаконтидипетон (прояк)						12960
137		Большой призматичный икосихептагептаконтидипетон (гапьяк)						25920
138		Демицелгреаторромбовидный икосихептагептаконтидипетон (хокгарджик)						25920

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера	Имена	5-гранный	4-ликий	Клетки	Лица	Края	Вершины
139	=	1 ₂₂ Пентаконтатетрапетон (мес.)	54	702	2160	2160	720	72
140	=	Исправлено 1 ₂₂ Ректифицированный пентаконтатетрапетон (баран)	126	1566	6480	10800	6480	720
141	=	Биректифицированный 1 ₂₂ Биректифицированный пентаконтатетрапетон (барм)	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	=	Триректифицированный 1 ₂₂ Триректифицированный пентаконтатетрапетон (обрезка)	558	4608	8640	6480	2160	270
143	=	Усечено 1 ₂₂ Усеченный пентаконтатетрапетон (тим)					13680	1440
144	=	Битусеченный 1 ₂₂ Усеченный пентаконтатетрапетон (битем)						6480
145	=	Трехусеченный 1 ₂₂ Трехусеченный пентаконтатетрапетон (титам)						8640
146	=	Отменено 1 ₂₂ Маленький ромбовидный пентаконтатетрапетон (срам)						6480
147	=	Кантитусеченный 1 ₂₂ Большой ромбовидный пентаконтатетрапетон (грамм)						12960
148	=	Ранцинированный 1 ₂₂ Мелкий призматический пентаконтатетрапетон (спам)						2160
149	=	Двукантеллированный 1 ₂₂ Малый бирромбированный пентаконтатетрапетон (сабрим)						6480
150	=	Бикантиусеченный 1 ₂₂ Большой бирромбированный пентаконтатетрапетон (габрим)						12960
151	=	Укороченный 1 ₂₂ Prismatotruncated pentacontatetrapeton (patom)						12960
152	=	Ранчикантеллированный 1 ₂₂ Призматоромбовидный пятиконтатетрапетон (выпускной)						25920
153	=	Всеусеченный 1 ₂₂ Большой призматичный пентаконтатетрапетон (гопам)						51840

Триапризмы

Равномерные триапризмы , { p }×{ q }×{ r }, образуют бесконечный класс для всех целых чисел p , q , r >2. {4}×{4}×{4} образует форму более низкой симметрии 6-куба .

Расширенный f-вектор равен ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*( r , r , 1 )=( pqr ,3 pqr ,3 pqr + pq + pr + qr ,3 p ( p + 1), 3 п , 1 ).

Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
Диаграмма Кокстера	Имена	5-гранный	4-ликий	Клетки	Лица	Края	Вершины
	{ п }×{ q }×{ r } ^[4]	п + д + р	pq + pr + qr + p + q + r	pqr +2( pq + pr + qr )	3 пкр + пк + пр + квр	3 человека	пкр
	{ п }×{ п }×{ п }	33р	3 п ( п +1)	п ²( р +6)	33р ²( р +1)	33р ³	п ³
	{3}×{3}×{3} (триттип)	9	36	81	99	81	27
	{4}×{4}×{4} = 6-куб	12	60	160	240	192	64

Невитоффовы 6-многогранники

В 6 измерениях и выше существует бесконечное количество невитоффовых выпуклых однородных многогранников : декартово произведение большой антипризмы в 4 измерениях и любой правильный многоугольник в 2 измерениях. Еще не доказано, есть ли еще.

Регулярные и однородные соты

Соответствия диаграмм Кокстера-Дынкина между семействами и более высокая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Существует четыре фундаментальные аффинные группы Кокстера и 27 призматических групп, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 5-мерном пространстве:

#	Группа Коксетера		Формы
1	${\tilde {A}}_{5}$	[3 ^[6]]	12
2	${\tilde {C}}_{5}$	[4,3 ³,4]	35
3	${\tilde {B}}_{5}$	[4,3,3 ^1,1] [4,3 ³,4,1 ⁺]	47 (16 новых)
4	${\tilde {D}}_{5}$	[3 ^1,1,3,3 ^1,1] [1 ⁺,4,3 ³,4,1 ⁺]	20 (3 новых)

К регулярным и однородным сотам относятся:

${\tilde {A}}_{5}$ ${\tilde {A}}_{5}$ Есть 12 уникальных однородных сот, в том числе:
${\tilde {C}}_{5}$ ${\tilde {C}}_{5}$ Имеется 35 однородных сот, в том числе:
- Правильные соты гиперкуба евклидова 5-мерного пространства, соты из 5 кубов с символами {4,3 ³,4}, =
${\tilde {B}}_{5}$ ${\tilde {B}}_{5}$ Имеется 47 однородных сот, 16 новых, в том числе:
- Равномерные чередующиеся соты гиперкуба , 5-полукубические соты , с символами h{4,3 ³,4}, = =
${\tilde {D}}_{5}$ , [3 ^1,1,3,3 ^1,1]: существует 20 уникальных кольцевых перестановок и 3 новых. Коксетер называет первый сот размером в четверть 5 кубов с символами q{4,3. ³,4}, = . Еще два новых = , = .

Призматические группы
#	Группа Коксетера
1	${\tilde {A}}_{4}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[5],2,∞]
2	${\tilde {B}}_{4}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,3 ^1,1,2,∞]
3	${\tilde {C}}_{4}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,3,4,2,∞]
4	${\tilde {D}}_{4}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^1,1,1,1,2,∞]
5	${\tilde {F}}_{4}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3,4,3,3,2,∞]
6	${\tilde {C}}_{3}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,4,2,∞,2,∞]
7	${\tilde {B}}_{3}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3 ^1,1,2,∞,2,∞]
8	${\tilde {A}}_{3}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[4],2,∞,2,∞]
9	${\tilde {C}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[4,4,2,∞,2,∞,2,∞]
10	${\tilde {H}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[6,3,2,∞,2,∞,2,∞]
11	${\tilde {A}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3],2,∞,2,∞,2,∞]
12	${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
13	${\tilde {A}}_{2}$ х ${\tilde {A}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3],2,3 ^[3],2,∞]
14	${\tilde {A}}_{2}$ х ${\tilde {B}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3],2,4,4,2,∞]
15	${\tilde {A}}_{2}$ х ${\tilde {G}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3],2,6,3,2,∞]
16	${\tilde {B}}_{2}$ х ${\tilde {B}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[4,4,2,4,4,2,∞]
17	${\tilde {B}}_{2}$ х ${\tilde {G}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[4,4,2,6,3,2,∞]
18	${\tilde {G}}_{2}$ х ${\tilde {G}}_{2}$ х ${\tilde {I}}_{1}$	[6,3,2,6,3,2,∞]
19	${\tilde {A}}_{3}$ х ${\tilde {A}}_{2}$	[3 ^[4],2,3 ^[3]]
20	${\tilde {B}}_{3}$ х ${\tilde {A}}_{2}$	[4,3 ^1,1,2,3 ^[3]]
21	${\tilde {C}}_{3}$ х ${\tilde {A}}_{2}$	[4,3,4,2,3 ^[3]]
22	${\tilde {A}}_{3}$ х ${\tilde {B}}_{2}$	[3 ^[4],2,4,4]
23	${\tilde {B}}_{3}$ х ${\tilde {B}}_{2}$	[4,3 ^1,1,2,4,4]
24	${\tilde {C}}_{3}$ х ${\tilde {B}}_{2}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${\tilde {A}}_{3}$ х ${\tilde {G}}_{2}$	[3 ^[4],2,6,3]
26	${\tilde {B}}_{3}$ х ${\tilde {G}}_{2}$	[4,3 ^1,1,2,6,3]
27	${\tilde {C}}_{3}$ х ${\tilde {G}}_{2}$	[4,3,4,2,6,3]

Правильные и однородные гиперболические соты

Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечной вершинной фигуры . Однако существует 12 паракомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, каждая из которых порождает однородные соты в 5-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.

Гиперболические паракомпактные группы
${\bar {P}}_{5}$ = [3,3 ^[5]]: ${\widehat {AU}}_{5}$ = [(3,3,3,3,3,4)]: ${\widehat {AR}}_{5}$ = [(3,3,4,3,3,4)]:	${\bar {S}}_{5}$ = [4,3,3 ^2,1]: ${\bar {O}}_{5}$ = [3,4,3 ^1,1]: ${\bar {N}}_{5}$ = [3,(3,4) ^1,1]:	${\bar {U}}_{5}$ = [3,3,3,4,3]: ${\bar {X}}_{5}$ = [3,3,4,3,3]: ${\bar {R}}_{5}$ = [3,4,3,3,4]:	${\bar {Q}}_{5}$ = [3 ^2,1,1,1]: ${\bar {M}}_{5}$ = [4,3,3 ^1,1,1]: ${\bar {L}}_{5}$ = [3 ^1,1,1,1,1]:

Замечания о конструкции Витгофа для однородных 6-многогранников.

Построение отражающих 6-мерных однородных многогранников выполняется с помощью процесса построения Витхоффа и представляется с помощью диаграммы Кокстера-Динкина , где каждый узел представляет собой зеркало. Узлы окольцованы, чтобы указать, какие зеркала активны. Полный набор генерируемых однородных многогранников основан на уникальных перестановках кольцевых узлов. Однородные 6-многогранники называются в соответствии с правильными многогранниками каждого семейства. Некоторые семейства имеют два обычных конструктора и, следовательно, могут иметь два способа их именования.

Вот основные операторы, доступные для построения и именования однородных 6-многогранников.

Призматические формы и раздвоенные графы могут использовать одну и ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.

Операция	Расширенный Символ Шлефли	Описание
Родитель	т ₀ {p,q,r,s,t}	Любой правильный 6-многогранник
Исправленный	т ₁ {p,q,r,s,t}	Края полностью усекаются в отдельные точки. 6-многогранник теперь имеет объединенные грани родительского и двойственного.
биректифицированный	т ₂ {p,q,r,s,t}	Биректификация сводит ячейки к их двойникам .
Усечено	т _0,1 {p,q,r,s,t}	Каждая исходная вершина отсекается, а пробел заполняет новая грань. Усечение имеет степень свободы, которая имеет одно решение, создающее однородный усеченный 6-многогранник. 6-многогранник имеет исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного.
Битусеченный	т _1,2 {p,q,r,s,t}	Битранкция преобразует ячейки к их двойному усечению.
Трехусеченный	т _2,3 {p,q,r,s,t}	Триусечение преобразует 4-грани в их двойное усечение.
Отмененный	т _0,2 {p,q,r,s,t}	Помимо усечения вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на их месте появляются новые прямоугольные грани. Равномерное кантелляция находится на полпути между родительской и двойственной формами.
бикантелированный	т _1,3 {p,q,r,s,t}	Помимо усечения вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на их месте появляются новые прямоугольные грани. Равномерное кантелляция находится на полпути между родительской и двойственной формами.
рухлый	т _0,3 {p,q,r,s,t}	Рансинация уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях.
Бирунцинированный	т _1,4 {p,q,r,s,t}	Рансинация уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях.
стерилизованный	т _0,4 {p,q,r,s,t}	Стерикация уменьшает количество 4-х граней и создает новые 4-грани в вершинах, ребрах и гранях в промежутках.
Пятнистый	т _0,5 {p,q,r,s,t}	Пентелляция уменьшает 5-гранники и создает новые 5-гранники в вершинах, краях, гранях и ячейках в промежутках. ( операция расширения полипета)
Всеусеченный	т _0,1,2,3,4,5 {p,q,r,s,t}	Применяются все пять операторов: усечение, кантелляция, рансинация, стерикация и пентелляция.

См. также

Список правильных многогранников § Высшие измерения

Примечания

^ Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
^ Униформа Полипета , Джонатан Бауэрс
^ Однородный многогранник
^ «Н, м, к-наконечник» .

Ссылки

Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
ХСМ Коксетер :
- HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер: однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» .
Клитцинг, Ричард. «Операторы усечения однородных многогранников» .

Внешние ссылки

Имена многогранников
Многогранники различных размерностей , Джонатан Бауэрс
Многомерный глоссарий
Глоссарий по гиперпространству , Георгий Ольшевский.

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.

[2] Униформа Полипета , Джонатан Бауэрс

[3] Однородный многогранник

[4] «Н, м, к-наконечник» .

[1]

[2]

[3]

[4]