Список простых чисел

Это динамический список , и он, возможно, никогда не сможет соответствовать определенным стандартам полноты. Вы можете помочь, добавив недостающие элементы из надежных источников .

Это список статей о простых числах . Простое число (или простое число ) — это натуральное число, большее 1, которое не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого себя. По теореме Евклида существует бесконечное количество простых чисел. Подмножества простых чисел могут быть созданы с помощью различных формул для простых чисел . Ниже перечислены первые 1000 простых чисел, за которыми следуют списки известных типов простых чисел в алфавитном порядке с указанием соответствующих первых членов. 1 не является ни простым, ни составным .

Первые 1000 простых чисел

В следующей таблице перечислены первые 1000 простых чисел с 20 столбцами последовательных простых чисел в каждой из 50 строк.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1–20	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
21–40	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
41–60	179	181	191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
61–80	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
81–100	419	421	431	433	439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521	523	541
101–120	547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
121–140	661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809
141–160	811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941
161–180	947	953	967	971	977	983	991	997	1009	1013	1019	1021	1031	1033	1039	1049	1051	1061	1063	1069
181–200	1087	1091	1093	1097	1103	1109	1117	1123	1129	1151	1153	1163	1171	1181	1187	1193	1201	1213	1217	1223
201–220	1229	1231	1237	1249	1259	1277	1279	1283	1289	1291	1297	1301	1303	1307	1319	1321	1327	1361	1367	1373
221–240	1381	1399	1409	1423	1427	1429	1433	1439	1447	1451	1453	1459	1471	1481	1483	1487	1489	1493	1499	1511
241–260	1523	1531	1543	1549	1553	1559	1567	1571	1579	1583	1597	1601	1607	1609	1613	1619	1621	1627	1637	1657
261–280	1663	1667	1669	1693	1697	1699	1709	1721	1723	1733	1741	1747	1753	1759	1777	1783	1787	1789	1801	1811
281–300	1823	1831	1847	1861	1867	1871	1873	1877	1879	1889	1901	1907	1913	1931	1933	1949	1951	1973	1979	1987
301–320	1993	1997	1999	2003	2011	2017	2027	2029	2039	2053	2063	2069	2081	2083	2087	2089	2099	2111	2113	2129
321–340	2131	2137	2141	2143	2153	2161	2179	2203	2207	2213	2221	2237	2239	2243	2251	2267	2269	2273	2281	2287
341–360	2293	2297	2309	2311	2333	2339	2341	2347	2351	2357	2371	2377	2381	2383	2389	2393	2399	2411	2417	2423
361–380	2437	2441	2447	2459	2467	2473	2477	2503	2521	2531	2539	2543	2549	2551	2557	2579	2591	2593	2609	2617
381–400	2621	2633	2647	2657	2659	2663	2671	2677	2683	2687	2689	2693	2699	2707	2711	2713	2719	2729	2731	2741
401–420	2749	2753	2767	2777	2789	2791	2797	2801	2803	2819	2833	2837	2843	2851	2857	2861	2879	2887	2897	2903
421–440	2909	2917	2927	2939	2953	2957	2963	2969	2971	2999	3001	3011	3019	3023	3037	3041	3049	3061	3067	3079
441–460	3083	3089	3109	3119	3121	3137	3163	3167	3169	3181	3187	3191	3203	3209	3217	3221	3229	3251	3253	3257
461–480	3259	3271	3299	3301	3307	3313	3319	3323	3329	3331	3343	3347	3359	3361	3371	3373	3389	3391	3407	3413
481–500	3433	3449	3457	3461	3463	3467	3469	3491	3499	3511	3517	3527	3529	3533	3539	3541	3547	3557	3559	3571
501–520	3581	3583	3593	3607	3613	3617	3623	3631	3637	3643	3659	3671	3673	3677	3691	3697	3701	3709	3719	3727
521–540	3733	3739	3761	3767	3769	3779	3793	3797	3803	3821	3823	3833	3847	3851	3853	3863	3877	3881	3889	3907
541–560	3911	3917	3919	3923	3929	3931	3943	3947	3967	3989	4001	4003	4007	4013	4019	4021	4027	4049	4051	4057
561–580	4073	4079	4091	4093	4099	4111	4127	4129	4133	4139	4153	4157	4159	4177	4201	4211	4217	4219	4229	4231
581–600	4241	4243	4253	4259	4261	4271	4273	4283	4289	4297	4327	4337	4339	4349	4357	4363	4373	4391	4397	4409
601–620	4421	4423	4441	4447	4451	4457	4463	4481	4483	4493	4507	4513	4517	4519	4523	4547	4549	4561	4567	4583
621–640	4591	4597	4603	4621	4637	4639	4643	4649	4651	4657	4663	4673	4679	4691	4703	4721	4723	4729	4733	4751
641–660	4759	4783	4787	4789	4793	4799	4801	4813	4817	4831	4861	4871	4877	4889	4903	4909	4919	4931	4933	4937
661–680	4943	4951	4957	4967	4969	4973	4987	4993	4999	5003	5009	5011	5021	5023	5039	5051	5059	5077	5081	5087
681–700	5099	5101	5107	5113	5119	5147	5153	5167	5171	5179	5189	5197	5209	5227	5231	5233	5237	5261	5273	5279
701–720	5281	5297	5303	5309	5323	5333	5347	5351	5381	5387	5393	5399	5407	5413	5417	5419	5431	5437	5441	5443
721–740	5449	5471	5477	5479	5483	5501	5503	5507	5519	5521	5527	5531	5557	5563	5569	5573	5581	5591	5623	5639
741–760	5641	5647	5651	5653	5657	5659	5669	5683	5689	5693	5701	5711	5717	5737	5741	5743	5749	5779	5783	5791
761–780	5801	5807	5813	5821	5827	5839	5843	5849	5851	5857	5861	5867	5869	5879	5881	5897	5903	5923	5927	5939
781–800	5953	5981	5987	6007	6011	6029	6037	6043	6047	6053	6067	6073	6079	6089	6091	6101	6113	6121	6131	6133
801–820	6143	6151	6163	6173	6197	6199	6203	6211	6217	6221	6229	6247	6257	6263	6269	6271	6277	6287	6299	6301
821–840	6311	6317	6323	6329	6337	6343	6353	6359	6361	6367	6373	6379	6389	6397	6421	6427	6449	6451	6469	6473
841–860	6481	6491	6521	6529	6547	6551	6553	6563	6569	6571	6577	6581	6599	6607	6619	6637	6653	6659	6661	6673
861–880	6679	6689	6691	6701	6703	6709	6719	6733	6737	6761	6763	6779	6781	6791	6793	6803	6823	6827	6829	6833
881–900	6841	6857	6863	6869	6871	6883	6899	6907	6911	6917	6947	6949	6959	6961	6967	6971	6977	6983	6991	6997
901–920	7001	7013	7019	7027	7039	7043	7057	7069	7079	7103	7109	7121	7127	7129	7151	7159	7177	7187	7193	7207
921–940	7211	7213	7219	7229	7237	7243	7247	7253	7283	7297	7307	7309	7321	7331	7333	7349	7351	7369	7393	7411
941–960	7417	7433	7451	7457	7459	7477	7481	7487	7489	7499	7507	7517	7523	7529	7537	7541	7547	7549	7559	7561
961–980	7573	7577	7583	7589	7591	7603	7607	7621	7639	7643	7649	7669	7673	7681	7687	7691	7699	7703	7717	7723
981–1000	7727	7741	7753	7757	7759	7789	7793	7817	7823	7829	7841	7853	7867	7873	7877	7879	7883	7901	7907	7919

(последовательность A000040 в OEIS ).

сообщает Проект проверки гипотезы Гольдбаха , что он вычислил все простые числа меньше 4 × 10. ¹⁸ . Это означает 95 676 260 903 887 607 простых чисел. (около 10 ¹⁷ ), но они не сохранились. Существуют известные формулы, позволяющие вычислить функцию подсчета простых чисел (количество простых чисел, меньших заданного значения) быстрее, чем вычисление простых чисел. Это было использовано для вычисления того, что существует 1 925 320 391 606 803 968 923 простых чисел (примерно 2 × 10 ²¹ ) меньше 10 ²³ . Другое вычисление показало, что существует 18 435 599 767 349 200 867 866 простых чисел (примерно 2 × 10 ²² ) меньше 10 ²⁴ , если гипотеза Римана верна.

Списки простых чисел по типам

Ниже перечислены первые простые числа многих названных форм и типов. Подробности в статье к названию. n — натуральное число (включая 0) в определениях.

Сбалансированные простые числа

Простые числа с одинаковыми пробелами между простыми числами после и перед ними, так что они равны среднему арифметическому ближайших простых чисел после и до.

• 5 , 1907 , , 2287 257 ) 2417 , 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 А006562 .

Простые числа Белла

Простые числа — это количество разделов набора из n членов.

2 , 5 , 877 , 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837.Следующий член имеет 6539 цифр. ( ОЭИС : A051131 )

Чен простые числа

Где p — простое число, а p +2 — простое или полупростое число .

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 47 , 53 , 59 , 67 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 109 , 113 , 7 , 131 , 137 , 139 , 149 , 157 , 167 , 179 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 269 , 281 , 3 , 307 , 311 , 317 , 337 , , 263 347 , 353 , 359 , 379 , 389 , 401 , 409 ( OEIS : A109611 )

Круглые простые числа

Круговое простое число — это число, которое остается простым при любом циклическом повороте своих цифр (по основанию 10).

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 197 , 199 , 311 , 337 , 373 , 719 , 733 , 919 , 71 , 991 , 1193 , 1931 , 3119 , 3779 , 7793 , 7937 , 9311 , 9377 , 11939 , 19391 , 19937 , 37199 , 39119 , 71993 , 91193 , 93719 , 93 911 , 99371 , 193939 , 199933 , 319993 , 331999 , 391939 , 393919 , 919393 , 933199 , 939193 , 939391 , 993319 , 999331 ( ОЭИС : A068652 )

В некоторых источниках в каждом цикле перечисляются только наименьшие простые числа, например, в списке 13, но отсутствует 31 ( OEIS действительно называет эту последовательность круговыми простыми числами, а не приведенную выше последовательность):

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 37 , 79 , 113 , 197 , 199 , 337 , 1193 , 3779 , 11939 , 19937 , 193939 , 199933 , 111111111 1111111111, 11111111111111111111111 ( OEIS : A016114 )

Все простые числа повторения являются круглыми.

Кластерные простые числа

Кластерное простое число — это простое число p такое, что каждое четное натуральное число k ≤ p − 3 является разницей двух простых чисел, не превосходящих p .

3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , ... ( OEIS : A038134 )

Все нечетные простые числа от 3 до 89 включительно являются кластерными простыми числами. Первые 10 простых чисел, не являющихся кластерными простыми числами:

2 , 97 , 127 , 149 , 191 , 211 , 223 , 227 , 229 , 251 .

Двоюродные простые числа

См. также: § Простые числа-близнецы , § Простые тройки и § Простые четверки.

Где ( p , p + 4) оба простые числа.

( 3 , 7 ), ( 7 , 11 ), ( 13 , 17 ), ( 19 , 23 ), ( 37 , 41 ), ( 43 , 47 ), ( 67 , 71 ), ( 79 , 83 ), ( 97 , 101 ), ( 103 , 107 ), 109 , 113 ( ), ( 127 , 131 ), ( 163 , 167 ), ( 193 , 197 ), ( 223 , 227 ), ( 229 , 233 ), ( 277 , 281 ) ( OEIS : A023200 , OEIS : A046132 )

кубинские простые числа

По форме ${\tfrac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}$ где х = у + 1.

7 , 19 , 37 , 61 , 127 , 271 , 331 , 397 , 547 , 631 , 919 , 1657 , 1801 , 1951 , 2437 , 2791 , 3169 , 3571 , 4219 , 4447 , 5167 , 5419 , 6211 , 7057 2269 , , 7351 , 8269 , 9241 , 10267 , 11719 , 12097 , 13267 , 13669 , 16651 , 19441 , 19927 , 22447 , 23497 , 24571 , 25117 , 26227 , 27361 , 33391 35317 OEIS ( A002407 : ) ,

По форме ${\tfrac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}$ где х = у + 2.

13 , 109 , 193 , 433 , 769 , 1201 , 1453 , 2029 , 3469 , 3889 , 4801 , 10093 , 13873 12289 , 18253 , 20173 , 21169 , 89 , 37633 , 28813 , 43201 , 47629 , 60493 , 63949 , 221 , 65713 , 69313 , 73009 , 76801 , 84673 , 106033 , 108301 , 112909 , 115249 ( OEIS : A002648 )

Каллен простые числа

Вида n ×2 ^н + 1.

3 , 393050634124102232869567034555427371542904833 ( OEIS : A050920 )

Двугранные простые числа

Простые числа, которые остаются простыми, если читать их в перевернутом виде или зеркально отображать на семисегментном дисплее .

2 , 5 , 11 , 101 , 181 , 1181 , 1811 , 18181 , 108881 , 110881 , 118081 , 120121 , 121021 , 121151 , 150151 , 151051 181081 151121 , 180181 , 180811 , A134996 ( OEIS : ) ,

Простые числа Эйзенштейна без мнимой части

Целые числа Эйзенштейна , являющиеся неприводимыми и действительными числами (простые числа вида 3 n - 1).

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 113 , 131 , 137 , 149 , 167 , 173 , 179 , 191 , 197 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 263 , 269 , 281 , 293 , 311 , 317 , 347 , 353 , 359 , 383 , 389 , 401 ( OEIS : A003627 )

Эмиры

Простые числа, которые становятся другими простыми числами, когда их десятичные цифры меняются местами. Название «Эмирп» является противоположностью слова «Прайм».

13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 107 , 113 , 167 , 179 , 199 , 311 , 337 , 347 , 359 , 389 , , 701 , 709 , 733 , 739 , 743 , 743, 751 , 761 , 769 , 907 , 937 , 941 , 953 , 967 , 971 , 983 , 991 ( OEIS : A006567 )

Евклидовые простые числа

Вида p _n # + 1 (подмножество первоначальных простых чисел ).

3 , 7 , 31 , 211 , 2311 , 200560490131 ( OEIS : A018239 )

Эйлер нерегулярные простые числа

Премьер $p$ которое делит число Эйлера $E_{2n}$ для некоторых $0\leq 2n\leq p-3$.

19 , 31 , 43 , 47 , 61 , 67 , 71 , 79 , 101 , 137 , 139 , 149 , 193 , 223 , 241 , 251 , 263 , 277 , 307 , 311 , 353 , 359 , 373 , 379 , , 349 419 , 433 , 461 , 463 , 491 , 509 , 541 , 563 , 571 , 577 , 587 ( OEIS : A120337 )

Эйлер ( p , p − 3) неправильные простые числа

Простые числа $p$ такой, что $(p,p-3)$ является нерегулярной парой Эйлера.

149 , 241 , 2946901 ( OEIS : A198245 )

Факториал простых чисел

Формы n ! − 1 или n ! + 1.

2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 719 , 5039 , 39916801 , 479001599 , 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636 308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 ( OEIS : A088054 )

Простые числа Ферма

формы 2 ^{2 н}  + 1.

3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )

По состоянию на июнь 2024 г. это единственные известные простые числа Ферма и, предположительно, единственные простые числа Ферма. Вероятность существования еще одного простого числа Ферма составляет менее одного на миллиард.

Обобщенные простые числа Ферма

формы а ^{2 н} + 1 для фиксированного целого числа a .

а = 2: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )

а = 4: 5 , 17 , 257 , 65537

а = 6: 7 , 37 , 1297

а = 8: (не существует)

а = 10:11 , 101

а = 12:13

а = 14: 197

а = 16:17 , 257 , 65537

а = 18:19

а = 20: 401 , 160001

а = 22:23

а = 24: 577 , 331777

Простые числа Фибоначчи

Простые числа в последовательности Фибоначчи F ₀ = 0, F ₁ = 1, F _{п знак} равно F _{п -1} + F _{п -2} .

2 , 3 , 5 , 13 , 89 , 233 , 1597 , 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 ( OEIS : A005478 )

Удачные простые числа

Счастливые числа , которые являются простыми (предполагалось, что все они таковы).

3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 37 , 47 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 89 , 101 , 103 , 107 , 109 , 127 , 151 , 157 , 163 , 7 , 191 , 197 , 199 , 223 , 229 , 233 , 239 , 271 , 277 , 283 , 293 , 307 , 311 , 313 , 331 , 353 , 373 , 379 , 383 , 397 ( OEIS : A0460 66 )

Гауссовы простые числа

Простые элементы гауссовских целых чисел; эквивалентно, простые числа вида 4 n + 3.

3 , 7 , 11 , 19 , 23 , 31 , 43 , 47 , 59 , 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 , 127 , 131 , 139 , 151 , 163 , 167 , 179 , 191 , 199 , 211 , 223 , 227 , 239 , 251 , 263 , 271 , 283 , 307 , 311 , 331 , 347 , 359 , 367 , 379 , 383 , 419 , 431 , 439 , 443 , 463 , 7 , 46 479 , 487 , 491 , 499 , 503 ( ОЭИС : A002145 )

Хорошие простые числа

Простые числа p _n, для которых p _n ² > p _{n − i}   p _{n + i} для всех 1 ≤ i ≤ n −1, где p _{n — n} -е простое число.

5 , 11 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 127 , 149 , 179 , 191 , 223 , 227 , 251 , 257 , 269 , 307 ( ОЭИС : A028388 )

Счастливые простые числа

Счастливые числа, которые являются простыми.

7 , 13 , 19 , 23 , 31 , 79 , 97 , 103 , 109 , 139 , 167 , 193 , 239 , 263 , 293 , 313 , 331 , 367 , 379 , 383 , 397 , 409 , 487 , 563 , 617 , 653 , 673 , 683 , 709 , 739 , 761 , 863 , 881 , 907 , 937 , 1009 , 1033 , 1039 , 1093 ( OEIS : A035497 )

Гармонические простые числа

Простые числа p, для которых нет решений уравнений H _k ≡ 0 (mod p ) и H _k ≡ − ω _p (mod p ) для 1 ≤ k ≤ p −2, где H _k обозначает номер k -й гармоники , а ω _p обозначает коэффициент Вольстенхолма .

5 , 13 , 17 , 23 , 41 , 67 , 73 , 79 , 107 , 113 , 157 , 179 , 263 , 191 , 193 , 223 , 239 , 241 , 251 251 , 277 , 281 , 293 , 3 07 , 307, 311 , 317 , 331 , 337 , 349 ( ОЭИС : A092101 )

Простые числа Хиггса для квадратов

Простые числа p , для которых p − 1 делит квадрат произведения всех предыдущих членов.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 29 , 23 , 31 , 37 , 43 , 47 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 139 , 101 , 107 , 127 , 131 , 53 , 1 49 , 151 , 157 , 173 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 223 , 229 , 263 , 269 , 277 , 283 , 311 , 317 , 331 , 347 , 349 ( OEIS : A00 745 9 )

Простые числа с высокой степенью коэффициента

Простые числа, которые являются коэффициентом чаще, чем любое целое число ниже него, кроме 1.

2 , 23 , 47 , 59 , 83 , 89 , 113 , 167 , 269 , 389 , 419 , 659 , 839 , 1049 , 1259 , , 1889 509 ( OEIS : A105440 )

Домашние простые числа

Для n ≥ 2 запишите простую факторизацию n по основанию 10 и объедините факторы; повторять до тех пор, пока не будет достигнуто простое число.

2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413, 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, 31, 241271, 311, 31397, 1129, 71129, 37, 373, 313, 3314192745739, 41, 379, 43, 22815088913, 3411949, 223, 47, 6161791591356884791277 ( OEIS : A037274 )

Неправильные простые числа

Нечетные простые числа p , делящие номер класса кругового p -го поля .

37 , 59 , 67 , 101 , 103 , 131 , 149 , 157 , 233 , 271 , 283 , 293 , 307 , 353 , 347 , 311, 409 , 379 , 389 , 401 , , , 421 , 4 33 , 461 , 461, 463 , 467 , 491 , 523 , 541 , 547 , 557 , 577 , 587 , 593 , 607 , 613 ( OEIS : A000928 )

( p , p − 3) неправильные простые числа

(См. простое число Вольстенхолма )

( p , p − 5) неправильные простые числа

Простые числа p такие, что ( p , p −5) — неправильная пара.

37

( p , p − 9) неправильные простые числа

Простые числа p такие, что ( p , p − 9) — неправильная пара.

67 , 877 ( ОЭИС : A212557 )

Изолированные простые числа

Простые числа p такие, что ни p − 2, ни p + 2 не являются простыми.

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , 113 , 127 , 131 , 157 , 163 , 167 , 173 , 211 , 223 , 233 , 251 , 257 , 2 63 , 277 , 293 , 307 , 317 , 331 , 337 , 353 , 359 , 367 , 373 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 409 , 439 , 443 , 449 , 457 , 467 , 479 , 491 , 499 , 503 , 509 , , 7 541 , 547 , 557 , 563 , 577 , 587 , 593 , 607 , 613 , 631 , 647 , 653 , 673 , 677 , 683 , 691 , 701 , 709 , 719 , 727 , 73 3 , 739 , 743 , 751 , 757 , 761 , 769 , 773 , 787 , 797 , 839 , 853 , 863 , 877 , 887 , 907 , 911 , 919 , 929 , 937 , 941 , 947 , 953 , 967 , 971 , 7 , 983 , 991 , 997 ( ОЭИС : А007510 )

Простые числа Лейланда

формы х ^и + и ^х , при этом 1 < x < y .

17 OEIS 593 32993 2097593 8589935681 59604644783353249 523347633027360537213687137 193 A094133 : ( )

Длинные простые числа

Простые числа p , для которых по данному основанию b , ${\frac {b^{p-1}-1}{p}}$ дает циклическое число . Их еще называют полными рептендными простыми числами. Простые числа p по основанию 10:

7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 257 , 263 , 269 , 313 , 337 , 367 , 379 , 383 , 389 , 419 , 433 , 461 , 487 , 491 , 499 , 503 , 509 , 541 , 571 , 577 , 593 ( OEIS : A001913 )

Лукас простые числа

Простые числа в числовой последовательности Люка L ₀ = 2, L ₁ = 1, L _{п знак} равно L _{п -1} + L _{п -2} .

2 , 3 , 7 , 11 , 29 , 47 , 199 , 521 , 2207 , 3571 , 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371, 56007482938 01, 688846502588399, 32361122672259149 ( OEIS : A005479 )

Счастливые простые числа

Счастливые числа, которые являются простыми.

3 , 7 , 13 , 31 , 37 , 43 , 67 , 73 , 79 , 127 , 151 , 163 , 193 , 211 , 223 , 241 , 283 , 307 , 331 , 349 , 367 , 409 , 4 21 , 433 , 463 , 487 , 541 , 577 , 601 , 613 , 619 , 631 , 643 , 673 , 727 , 739 , 769 , 787 , 823 , 883 , 937 , 991 , 997 ( OEI : A031157 )

Бонусы Мерсенна

формы 2 ^н − 1.

3 , 7 , 31 , 127 , 8191 , 131071 , 524287 , 2147483647 , 2305843009213693951 , 618970019642690137449562111 363391578010288 127, 170141183460469231731687303715884105727 ( OEIS : A000668 )

По состоянию на 2018 год , известно 51 простое число Мерсенна. 13-я, 14-я и 51-я имеют соответственно 157, 183 и 24 862 048 цифр.

По состоянию на 2018 год , этот класс простых чисел также содержит самое большое известное простое число: M _82589933 , 51-е известное простое число Мерсенна.

Разделители Мерсенна

Простые числа p, делящие 2 ^н − 1, для некоторого простого числа n.

3, 7, 23, 31, 47, 89, 127, 167, 223, 233, 263, 359, 383, 431, 439, 479, 503, 719, 839, 863, 887, 983, 1103, 1319, 1367, 1399, 1433, 1439, 1487, 1823, 1913, 2039, 2063, 2089, 2207, 2351, 2383, 2447, 2687, 2767, 2879, 2903, 2999, 3023, 3119, 67, 3343 ( ОЭИС : A122094 )

Все простые числа Мерсенна по определению являются членами этой последовательности.

Простые показатели Мерсенна

Простые числа p такие, что 2 ^п − 1 — простое число.

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 31 , 61 , 89 , 107 , 127 , 521 , 607 , 1279 , 2203 , 2281 , 3217 , 4253, 4423,9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049,216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011,24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 , 57885161 ( OEIS : A000043 )

По состоянию на декабрь 2018 г. , известно, что в последовательности есть еще три, но неизвестно, являются ли они следующими:
74207281, 77232917, 82589933

Двойные бонусы Мерсенна

Подмножество простых чисел Мерсенна вида 2 ^{2 п −1} − 1 для простого числа p .

7 , 127 , 2147483647 , 170141183460469231731687303715884105727 (простые числа в OEIS : A077586 )

Обобщенные простые числа повторения

По форме ( а ^н - 1) / ( a - 1) для фиксированного целого числа a .

Для a = 2 это простые числа Мерсенна, а для a = 10 — простые числа повторения . Для других малых a они приведены ниже:

а = 3: 13 , 1093 , 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 ( OEIS : A07648 1 )

а = 4: 5 (единственное простое число для а = 4)

а = 5: 31 , 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 1469367938527859384960920671527807097273331945965 1094018859396328480215743184089660644531 ( OEIS : A086122 )

а = 6: 7 , 43 , 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371 ( OEIS : A165210 )

а = 7: 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537 320447270457

а = 8:73 ( единственное простое число для а = 8)

а = 9: ничего не существует

Другие обобщения и вариации

Были определены многие обобщения простых чисел Мерсенна. Сюда входит следующее:

• Простые числа формы b ^н - ( б - 1) ^н , включая простые числа Мерсенна и кубинские простые числа как особые случаи
• Простые числа Вильямса вида ( b − 1) · b ^н − 1

Простые числа Миллса

В форме ⌊θ ^{3 н} ⌋, где θ — постоянная Миллса. Эта форма является простой для всех положительных целых чисел n .

2 , 11 , 1361 , 2521008887, 16022236204009818131831320183 ( OEIS : A051254 )

Минимальные простые числа

Простые числа, для которых нет более короткой подпоследовательности десятичных цифр, образующих простое число. Существует ровно 26 минимальных простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 19 , 41 , 61 , 89 , 409 , 449 , 499 , 881 , 991 , 6469, 6949, 9001 , 9049, 9649, 9949, 66649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 ( ОЭИС : A071062 )

Простые числа Ньюмана – Шэнкса – Уильямса

Простые числа Ньюмана–Шенкса–Вильямса.

7 , 41 , 239 , 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599 ( OEIS : A088165 )

Нещедрые простые числа

Простые числа p , для которых наименьший положительный примитивный корень не является примитивным корнем числа p ² . Известны три таких простых числа; неизвестно, есть ли еще.

2 , 40487, 6692367337 ( ОЭИС : A055578 )

Палиндромные простые числа

Простые числа, которые остаются неизменными, если их десятичные цифры читать задом наперед.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 1050 1 313 , 353 , 373 , 757 , , 383, 727 , 787 , 797 , 919 , 929 , 10301 , 10601, 11311, 11411 , 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741 ( OEIS : A002385 )

Палиндромные простые числа крыльев

Простые числа формы ${\frac {a{\big (}10^{m}-1{\big )}}{9}}\pm b\times 10^{\frac {m-1}{2}}$ с $0\leq a\pm b<10$. Это означает, что все цифры, кроме средней, равны.

101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 313 , 353 , 373 , 383 , 727 , 757 , 787 , 797 , 919 , 929 , 11311, 11411, 33533, 77377, 7747, 7, 77977, 1114111, 1117111, 3331333, 3337333 , 7772777, 7774777, 7778777, 111181111, 111191111, 777767777, 77777677777, 99999199999 ( OEIS : A077798 )

Простые числа разделов

Значения функции статистической суммы, которые являются простыми.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 17977, 10619863, 6620830889, 80630964769, 228204732751, 1171432692373, 1398341745571, 109637072 05259, 15285151248481, 10657331232548839, 790738119649411319, 18987964267331664557 ( OEIS : A049575 )

тонкая кожа

Простые числа в числовой последовательности Пелля P ₀ = 0, P ₁ = 1, п п _знак равно 2 п _{п -1} + п _{п -2} .

2 , 5 , 29 , 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 412563688856254886 8221559797461449 ( OEIS : A086383 )

Перестановочные простые числа

Любая перестановка десятичных цифр является простым числом.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 199 , 311 , 337, 373 , 733 , 919 , 991 , 1111111 111111111111, 11111111111111111111111 ( OEIS : А003459 )

Перрин простые числа

Простые числа в числовой последовательности Перрена P (0)=3, P (1)=0, P (2)=2, п ( п ) = п ( п - 2) + п ( п - 3).

2 , 3 , 5 , 7 , 17 , 29 , 277 , 367 , 853 , 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 662411604887 80141071579864797 ( OEIS : A074788 )

Простые числа Пьерпонта

формы 2 ^в 3 ^v  + 1 for some integers u , v  ≥ 0.

Это также простые числа класса 1 .

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487 , 577 , 769 , 1153 , 1297 , 1459 , 2593 , 17 , 3457 3889 , 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537 , 139969, 147457 ( OEIS : A005109 )

Пиллаи бонусы

Простые числа p, для которых существуют n > 0 такие, что p делит n ! + 1 и n не делит p − 1.

23 , 29 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 83 , 109 , 137 , 139 , 149 , 193 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 269 , 271 , 277 , 293 , 307 , 311 , 317 , 359 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 419 , 431 , 449 , 461 , 463 , 467 , 479 , 499 ( OEIS : A063980 )

Простые числа формы n ⁴ + 1

формы н ⁴ + 1.

2 , 17 , 257 , 1297 , 65537 , 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 452 ( ОЭИС : A037896 )

Первобытные простые числа

Простые числа, для которых существует больше простых перестановок некоторых или всех десятичных цифр, чем для любого меньшего числа.

2 , 13 , 37 , 107 , 113 , 137 , 1013 , 1237 , 1367 , 10079 ( OEIS : A119535 )

Первичные простые числа

Вида p _n #±1.

3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309 , 2311 , 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309 (союз OEIS : A057705 и OEIS : A018239 )

Простые числа Прота

Вида k ×2 ^н + 1, с нечетным k и k < 2 ^н .

3 , 5 , 13 , 17 , 41 , 97 , 113 , 193 , 241 , 257 , 449 , 353 , 577 , 641 , 673 , 769 , 929 , 1153 , 1217 , 1409 , 1601 , 2113 , 2689 , 2753 3137 , , 3329 , 3457 , 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 ( OEIS : A080076 )

Пифагорейские простые числа

Вида 4 n + 1.

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 , 149 , 157 , 173 , 181 , 193 , 197 , 229 , 3 , 241 , 257 , 269 , 277 , 281 , 293 , 313 , 317 , 337 , 349 , 353 , 373 , 389 , 397 , 401 , 409 , 421 , 433 , 449 ( OEIS : A002144 )

Основные четверки

См. также: § Простые числа двоюродных братьев и § Простые числа-близнецы и § Простые тройки.

Где ( p , p +2, p +6, p +8) все простые.

( 5 , 7 , 11 , 13 ), (11, 13, 17 , 19 ), ( 101 , 103 , 107 , 109 ), ( 191 , 193 , 197 , 199 ), ( 821 , 823 , 827 , 829 ), ( 1481 , 1483 , 1487 , 1489 ), ( 1871 , 1873 , 1877 , 1879 ), ( 2081 , 2083 , 2087 , 2089 ), ( 3251 , 3253 , 3257 , 3259 ), ( 3461) , 3463 , 3467 , 3469 ), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439) ( OEIS : A007530 , OEIS : A136720 , OEIS : A136721 , OEIS : A090258 )

Четыре премии

формы х ⁴ + и ⁴ , где х , у > 0.

2 , 17 , 97 , 257 , 337 , 641 , 881 ( OEIS : A002645 )

Простые числа Рамануджана

Наименьшие целые числа R _n , дающие не менее n простых чисел от x /2 до x для всех x ≥ R _n (все такие целые числа являются простыми числами).

2 , 11 , 17 , 29 , 41 , 47 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 107 , 127 , 149 , 151 , 167 , 179 , 181 , 227 , 229 , 233 , 239 , 2 41 , 263 , 269 , 281 , 307 , 311 , 347 , 349 , 367 , 373 , 401 , 409 , 419 , 431 , 433 , 439 , 461 , 487 , 491 ( OEIS : A104272 )

Обычные простые числа

Простые числа p , не делящие номер класса кругового p -го поля .

3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 43 , 47 , 61 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 107 , 109 , 113 , 53 , 7 , 137 , 139 , 151 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , , 227 , 229 , 239 , 241 , 251 , 269 , 27 7 281 ( ОЭИС : A007703 )

Восстановить простые числа

Простые числа, содержащие только десятичную цифру 1.

11 , 1111111111111111111 (19 цифр), 11111111111111111111111 (23 цифры) ( OEIS : A004022 )

Следующие имеют 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 цифры ( OEIS : A004023 ).

Классы вычетов простых чисел

В форме an + d для фиксированных целых чисел a и d . по Также называются простыми числами, конгруэнтными d модулю a .

Простые числа вида 2 n +1 — это нечетные простые числа, включая все простые числа, кроме 2. Некоторые последовательности имеют альтернативные названия: 4 n +1 — простые числа Пифагора, 4 n +3 — целые простые числа Гаусса и 6 n +5. являются простыми числами Эйзенштейна (2 опущено). Классы 10 n + d ( d = 1, 3, 7, 9) — это простые числа, оканчивающиеся десятичной цифрой d .

2 n +1: 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 ( OEIS : A065091 )
4 n +1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 ( OEIS : A002144 )
4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59 , 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 ( OEIS : A002145 )
6 n +1: 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127 , 139 ( OEIS : A002476 )
6 n +5: 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113 ( OEIS : A007528 )
8 n +1: 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, , 193 , 233 241 , 257 , 281 , 313 , 337 , 353 ( OEIS : A007519 )
8 n +3: 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131 , 139, 163 , 179 , 211 , 227 , 251 ( OEIS : A007520 )
8 n +5: 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149 , 157 , 173 , 181 , 197 , 229 , 269 ( OEIS : A007521 )
8 n +7: 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151 , 167 , 191 , 199 , 223 , 239 , 263 ( OEIS : A007522 )
10 n +1: 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, 211, 241, 251, 271 , 281 ( OEIS : A030430 )
10 n +3: 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, 173, 193, 223, 233, 263 ( OEIS : A030431 )
10 n +7: 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, 167, 197, 227, 257, 277 ( OEIS : A030432 )
10 n +9: 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229, 239, 269, 349 , 359 ( OEIS : A030433 )
12 n +1: 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, 241, 277, 313, 337, 349 ( OEIS : A068228 )
12 n +5: 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269 ( OEIS : A040117 )
12 n +7: 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, 163, 199, 211, 223, 271 ( OEIS : A068229 )
12 n +11: 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, 191, 227, 239, 251, 263 ( OEIS : A068231 )

Безопасные простые числа

Где p и ( p −1)/2 оба простые.

5 , 7 , 11 , 23 , 47 , 59 , 83 , 107 , 167 , 179 , 227 , 263 , 347 , 359 , 383 , 467 , 479 , 503 , 563 , 587 , 719 , 839 , 863 , 887 , 983 , 1019 , 1187 , 1283 , 1307 , 1319 , 1367 , 1439 , 1487 , 1523 , 1619 , 1823 , 1907 ( OEIS : A005385 )

Самозаполнение по основанию 10

Простые числа, которые не могут быть созданы любым целым числом, добавленным к сумме его десятичных цифр.

3 , 5 , 7 , 31 , 53 , 97 , 211 , 233 , 389 , 457 , 479 , 547 , 569 , 613 , 659 , 727 , 839 , 883 , 929 , , 1021 , 1087 , 110 9 , 1223 , 1223, 1289 , 1447 , 1559 , 1627 , 1693 , 1783 , 1873 ( OEIS : A006378 )

Сексуальные простые числа

Где ( p , p + 6) оба простые числа.

( 5 , 11 ), ( 7 , 13 ), (11, 17 ), (13, 19 ), (17, 23 ), (23, 29 ), ( 31 , 37 ), (37, 43 ), ( 41 , 47 ), (47, 53 , 59 53 ), ( 61 , 67 ) , ( ), (67, 73 ), (73, 79 ), ( 83 , 89 ), ( 97 , 103 ), ( 101 , 107 ) ), (103, ) , 107, 113 ( , ( 131 109 , 137 ) ), ( 151 , 157 ), (157, 163 ), ( 167 , 173 ), (173, 179 ), ( 191 , 197 ), ( 193 , 199 ) ( OEIS : A023201 , OEIS : A046117 )

Простые числа Смарандаша – Веллина

Простые числа, представляющие собой конкатенацию первых n простых чисел, записанных в десятичном формате.

2 , 23 , 2357 ( ОЭИС : A069151 )

Четвертое простое число Смарандаша-Веллина представляет собой 355-значную конкатенацию первых 128 простых чисел, оканчивающихся на 719.

Солинас простые числа

формы 2 ^а  ± 2 ^б ± 1, где 0 < b < a .

3 , 5 , 7 , 11 , 13 ( ОЭИС : A165255 )

Бонусы Софи Жермен

Где p и 2 p + 1 оба простые. Простому числу Софи Жермен соответствует безопасное простое число .

2 , 3 , 5 , 11 , 23 , 29 , 41 , 53 , 83 , 89 , 113 , 131 , 173 , 179 , 191 , 233 , 239 , 251 , 281 , 293 , 359 , 419 , 443 , 491 , ​ , 509 , 593 , 641 , 653 , 659 , 683 , 719 , 743 , 761 , 809 , 911 , 953 ( OEIS : A005384 )

Штерн простые числа

Простые числа, которые не являются суммой меньшего простого числа и удвоенного квадрата ненулевого целого числа.

2 , 3 , 17 , 137 , 227 , 977 , 1187 , 1493 ( OEIS : A042978 )

По состоянию на 2011 год , это единственные известные простые числа Штерна и, возможно, единственные существующие.

Суперпростые числа

Простые числа с простыми индексами в последовательности простых чисел (2-е, 3-е, 5-е, ... простое число).

3 , 5 , 11 , 17 , 31 , 41 , 59 , 67 , 83 , 109 , 127 , 157 , 179 , 191 , 211 , 241 , 277 , 283 , 331 , 353 , 367 , 401 , 461 , 509 , 31 547 , 563 , 587 , 599 , 617 , 709 , 739 , 773 , 797 , 859 , 877 , 919 , 967 , 991 ( OEIS : A006450 )

Суперсингулярные простые числа

Существует ровно пятнадцать суперсингулярных простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 47 , 59 , 71 ( OEIS : A002267 )

Простые числа Табита

формы 3×2 ^н − 1.

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 191 , 383 , 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, 26388279066623, 108086391056891903, 5534023222 1128654847, 226673591177742970257407 ( OEIS : A007505 )

Простые числа вида 3×2 ^н + 1 связаны.

7 , 13 , 97 , 193 , 769 , 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657 ( OEIS : A039687 )

Простые тройки

См. также: § Простые числа двоюродных братьев и сестер , § Простые числа-близнецы и § Простые четверки.

Где ( p , p +2, p +6) или ( p , p +4, p +6) все простые.

( 5 , 7 , 11 ), (7, 11, 13 ), (11, 13, 17 ), (13, 17, 19 ), (17, 19, 23 ), ( 37 , 41 , 43 ), (41 , 43, 47 ), ( 67 , 71 , 73 ), ( 97 , 101 , 103 ), (101, 103, 107 ), (103, 107, 109 ), (107, 109, 113 ), ( 191 , 193 ) . , 197 ), (193, 197, 199 ), ( 223 , 227 , 229 ), (227, 229, 233 ), ( 277 , 281 , 283 ), ( 307 , 311 , 313 ), (311, 313, 317 ). ), ( 347 , 349 , 353 ) ( OEIS : A007529 , OEIS : A098414 , OEIS : A098415 )

Усекаемое простое число

Усекаемый слева

Простые числа, которые остаются простыми после последовательного удаления ведущей десятичной цифры.

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 23 , 37 , 43 , 47 , 53 , 67 , 73 , 83 , 97 , 113 , 137 , 167 , 173 , 197 , 223 , 283 , 313 , 337 , , ​ 347 , 353 , 367 , 373 , 383 , 397 , 443 , 467 , 523 , 547 , 613 , 647 , 653 , 673 , 617 , 643 , 683 ( OEIS : A024785 )

Усекаемый вправо

Простые числа, которые остаются простыми после последовательного удаления младшей десятичной цифры.

2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 29 , 31 , 37 , 53 , 59 , 71 , 73 , 79 , 233 , 239 , 293 , 311 , 313 , 317 , 373 , 379 , 593 , 599 , 7 19 , 733 , 739 , 797 , 2333 , 2339 , 2393 , 2399 , 2939 , 3119 , 3137 , 3733 , 3739 , 3793 , 3797 ( OEIS : A024770 )

Двусторонний

Простые числа, усекаемые как слева, так и справа. Существует ровно пятнадцать двусторонних простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 37 , 53 , 73 , 313 , 317 , 373 , 797 , 3137 , 3797 , 739397 ( OEIS : A020994 )

Простые числа-близнецы

См. также: § Простые двоюродные числа , § Простые тройки и § Простые четверки.

Где ( p , p +2) оба простые числа.

( 3 , 5 ), (5, 7 ), ( 11 , 13 ), ( 17 , 19 ), ( 29 , 31 ), ( 41 , 43 ), ( 59 , 61 ), ( 71 , 73 ), ( 101 , 103 ), ( 107 , 109 ), ( 137 , 139 ), ( 149 , 151 ), ( 179 , 181 ), ( 191 , 193 ), ( 197 , 199 ), ( 227 , 229 ), ( 239 , 241 ), ( 269 , 271 ), ( 281 , 283 ), ( 311 , 313 ), ( 347 , 349 ), ( 419 , 421 ), ( 431 , 433 ), ( 461 , 463 ) ( OEIS : A001359 , OEIS : А006512 )

Уникальные простые числа

Список простых чисел p , для которых длина периода десятичного разложения 1/ p уникальна (никакое другое простое число не дает такого же периода).

3 , 11 , 37 , 101 , 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 11111111111, 1111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991 ( OEIS : A040017 )

Простые числа Вагстаффа

По форме (2 ^н + 1) / 3.

3 , 11 , 43 , 683 , 2731 , 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243 ( OEIS : A000979 )

Значения n :

3, 5 , 7 , 11, , 13 17 , 19 , 23 , 31 , 43, 61 , 79 , 101 , 127 , 167 , 191 , 199 , 313 , 347 , 701 , 1709 , 2617 , 5807 , 3539 , 10501 , 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321 ( OEIS : A000978 )

Простые числа Стена–Солнце–Солнце

Простое число p > 5, если p ² делит число Фибоначчи $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$, где символ Лежандра $\left({\frac {p}{5}}\right)$ определяется как

$\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\textrm {if}}\;p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\textrm {if}}\;p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}$

По состоянию на 2018 год , простые числа Стена-Солнце-Солнце неизвестны.

Слабо простые числа

Простые числа, замена любой из цифр (по основанию 10) на любое другое значение всегда приводит к составному числу.

294001, 505447, 584141, 604171, 971767, 1062599, 1282529, 1524181, 2017963, 2474431, 2690201, 3085553, 3326489, 4393139 ( ОЭ) ЕСТЬ : A050249 )

Простые числа Вифериха

Простые числа p такие, что a ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ) для фиксированного целого числа a > 1.

2 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 1093 , 3511 ( OEIS : A001220 )
3 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 11 , 1006003 ( OEIS : A014127 )
4 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 1093 , 3511
5 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 2 , 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 ( OEIS : A123692 )
6 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 66161, 534851, 3152573 ( OEIS : A212583 )
7 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 5 , 491531 ( OEIS : A123693 )
8 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 3 , 1093 , 3511
9 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 2 , 11 , 1006003
10 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 3 , 487 , 56598313 ( OEIS : A045616 )
11 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 71
12 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 2693 , 123653 ( OEIS : A111027 )
13 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 2 , 863 , 1747591 ( OEIS : A128667 )
14 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 29 , 353 , 7596952219 ( OEIS : A234810 )
15 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 29131, 119327070011 ( OEIS : A242741 )
16 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 1093 , 3511
17 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 2 , 3 , 46021, 48947 ( OEIS : A128668 )
18 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 5 , 7 , 37 , 331 , 33923, 1284043 ( OEIS : A244260 )
19 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 3 , 7 , 13 , 43 , 137 , 63061489 ( OEIS : A090968 )
20 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 281 , 46457, 9377747, 122959073 ( OEIS : A242982 )
21 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 2
22 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 13 , 673 , 1595813, 492366587, 9809862296159 ( OEIS : A298951 )
23 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 13 , 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 ( OEIS : A128669 )
24 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 5 , 25633
25 ^{п - 1} ≡ 1 (против p ² ): 2 , 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801

По состоянию на 2018 год , это все известные простые числа Вифериха с a ≤ 25.

Простые числа Уилсона

Простые числа p, для которых p ² делит ( p −1)! + 1.

5 , 13 , 563 ( ОЭИС : A007540 )

По состоянию на 2018 год , это единственные известные простые числа Вильсона.

Простые числа Вольстенхолма

Простые числа p, для которых биномиальный коэффициент ${{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.$

16843 , 2124679 ( ОЭИС : A088164 )

По состоянию на 2018 год , это единственные известные простые числа Вольстенхолма.

Простые числа Вудала

Вида n ×2 ^н − 1.

7 , 23 , 383 , 32212254719, 2833419889721787128217599, 195845982777569926302400511, 4776913109852041418248056622882488319 ( ОЭИС : A050918 )

См. также

• Недопустимое простое число — число, представляющее незаконную информацию. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Самое большое известное простое число
• Список крупнейших известных простых и вероятных простых чисел
• Список чисел - Известные числа
• Простой разрыв - разница между двумя последовательными простыми числами.
• Теорема о простых числах - Характеристика того, сколько целых чисел являются простыми
• Вероятное простое число – число, удовлетворяющее некоторым требованиям к простым числам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Псевдопростое число - вероятное простое число, составное.
• Сильный прайм
• Таблица простых коэффициентов
• пара Виферих

Внешние ссылки

• Списки простых чисел на главных страницах.
• N-я простая страница. N-е простое число до n=10^12, от pi(x) до x=3*10^13, случайное простое число в том же диапазоне.
• Список простых чисел Полный список простых чисел до 10 000 000 000, частичный список до 400 цифр.
• Интерфейс к списку первых 98 миллионов простых чисел (простые числа менее 2 000 000 000)
• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательности простых чисел» . Математический мир .
• Избранные последовательности, связанные с простыми числами, в OEIS .
• Фишер, Р. Тема: Фактор Ферма B^(P−1) == 1 (mod P^2) (на немецком языке) (перечисляет простые числа Вифериха по всем основаниям до 1052)
• Падилья, Тони (7 февраля 2013 г.). «Новое самое большое известное простое число» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 2 ноября 2021 года.