Распространение Ван Хаутума

Распространение Ван Хаутума

Функция массы вероятности
Параметры	$p_{a},p_{b}\in [0,1]{\text{ and }}a,b\in \mathbb {Z} {\text{ with }}a\leq b$
Поддерживать	$k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}\,$
ПМФ	${\begin{cases}p_{a}&{\text{if }}u=a;\\p_{b}&{\text{if }}u=b\\{\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}&{\text{if }}a<u<b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\textrm {if}}u<a;\\p_{a}&{\text{if }}u=a\\p_{a}+\lfloor x-a\rfloor {\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}&{\text{if }}a<u<b\\1&{\text{if }}u\geq b\end{cases}}$
Иметь в виду	$ap_{a}+bp_{b}+(1-p_{a}-p_{b}){\frac {a+b}{2}}$
Режим	Н/Д
Дисперсия	$\ a^{2}p_{a}+b^{2}p_{b}-{}\$${\frac {(a+b)(1-p_{a}-p_{b})+2ap_{a}+2bp_{b}}{4}}$ ${}+{\frac {b(2b-1)(b-1)-a(2a+1)(a+1)}{6}}$
Энтропия	$\ -p_{a}\ln(p_{a})-p_{b}\ln(p_{b})-{}\$ $(1-p_{a}-p_{b})\ln \left({\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}\right)$
МГФ	$e^{ta}p_{a}+e^{t}bp_{b}+{\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}{\frac {e^{(a+1)t}-e^{bt}}{e^{t}-1}}$
CF	$e^{ita}p_{a}+e^{itb}p_{b}+{\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}{\frac {e^{(a+1)it}-e^{bit}}{e^{it}-1}}$

В теории вероятностей и статистике распределение Ван Хаутума — дискретное распределение вероятностей, названное в честь проф. Герт-Ян ван Хоутум. Его можно охарактеризовать, говоря, что все значения конечного множества возможных значений равновероятны, за исключением наименьшего и наибольшего элемента этого множества. Поскольку распределение Ван Хаутума является обобщением дискретного равномерного распределения , т. е. оно однородно, за исключением, возможно, своих границ, его иногда также называют квазиравномерным .

Часто бывает так, что единственной доступной информацией о некоторой дискретной случайной величине являются ее первые два момента. Распределение Ван Хаутума можно использовать для подбора распределения с конечной поддержкой в ​​эти моменты.

Простой пример распределения Ван Хаутума возникает, когда бросают загруженную игральную кость , которая была подделана и выпала на 6 в два раза чаще, чем на 1. Возможные значения выборочного пространства: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Каждый раз, когда бросают игральную кость, вероятность выпадения 2, 3, 4 или 5 равна 1/6; вероятность выпадения 1 равна 1/9, а вероятность выпадения 6 равна 2/9.

Функция массы вероятности

Случайная величина U имеет распределение Ван Хоутума ( a , b , p _a , p _b ), если ее функция массы вероятности равна

$\Pr(U=u)={\begin{cases}p_{a}&{\text{if }}u=a;\\[8pt]p_{b}&{\text{if }}u=b\\[8pt]{\dfrac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}&{\text{if }}a<u<b\\[8pt]0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Процедура примерки

Предположим, случайная величина $X$ имеет в виду $\mu$ и квадрат коэффициента вариации $c^{2}$. Позволять $U$ быть распределенной случайной величиной Ван Хаутума. Тогда первые два момента $U$ совпадают с первыми двумя моментами $X$ если $a$, $b$, $p_{a}$ и $p_{b}$ выбираются так, что:

${\begin{aligned}a&=\left\lceil \mu -{\frac {1}{2}}\left\lceil {\sqrt {1+12c^{2}\mu ^{2}}}\right\rceil \right\rceil \\[8pt]b&=\left\lfloor \mu +{\frac {1}{2}}\left\lceil {\sqrt {1+12c^{2}\mu ^{2}}}\right\rceil \right\rfloor \\[8pt]p_{b}&={\frac {(c^{2}+1)\mu ^{2}-A-(a^{2}-A)(2\mu -a-b)/(a-b)}{a^{2}+b^{2}-2A}}\\[8pt]p_{a}&={\frac {2\mu -a-b}{a-b}}+p_{b}\\[12pt]{\text{where }}A&={\frac {2a^{2}+a+2ab-b+2b^{2}}{6}}.\end{aligned}}$

Не существует распределения Ван Хаутума для каждой комбинации $\mu$ и $c^{2}$. Используя тот факт, что для любого реального среднего значения $\mu$ дискретное распределение целых чисел, имеющее минимальную дисперсию, сосредоточено на целых числах $\lfloor \mu \rfloor$ и $\lceil \mu \rceil$, легко проверить, что распределение Ван Хаутума (или любое дискретное распределение целых чисел) можно подобрать только по первым двум моментам, если

$c^{2}\mu ^{2}\geq (\mu -\lfloor \mu \rfloor )(1+\mu -\lceil \mu \rceil )^{2}+(\mu -\lfloor \mu \rfloor )^{2}(1+\mu -\lceil \mu \rceil ).$