Корневой тест

В математике корень — критерий сходимости ( критерий сходимости ) бесконечного ряда . Это зависит от количества

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

где $a_{n}$ являются членами ряда и утверждает, что ряд абсолютно сходится, если эта величина меньше единицы, и расходится, если она больше единицы. Это особенно полезно в отношении степенных рядов .

Объяснение корневого теста

Схема принятия решения для корневого теста

Корневой тест был впервые разработан Огюстеном-Луи Коши , который опубликовал его в своем учебнике «Кур анализа» (1821 г.). Таким образом, его иногда называют корневым тестом Коши или радикальным тестом Коши . Для сериала

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

корневой тест использует число

$C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

где «lim sup» обозначает верхний предел , возможно +∞. Обратите внимание, что если

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

сходится, то оно равно C и вместо этого может использоваться в корневом тесте.

Корневой тест утверждает, что:

• если C < 1, то ряд сходится абсолютно ,
• если C > 1, то ряд расходится ,
• если C = 1 и предел приближается строго сверху, то ряд расходится,
• в противном случае тест не дает результатов (ряд может расходиться, сходиться абсолютно или сходиться условно ).

Существуют ряды, для которых C = 1 и этот ряд сходится, например $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$, а есть другие, для которых C = 1 и ряд расходится, например $\textstyle \sum 1/n$.

Приложение к степенным рядам

Этот тест можно использовать с степенным рядом.

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}$

где коэффициенты cn _{, а} и центр p — комплексные числа аргумент z — комплексная переменная.

Тогда члены этого ряда будут иметь вид a _n = c _n ( z - p ) ^н . применяется проверка корня, Затем к a _n как указано выше. Обратите внимание, что иногда такой ряд называют степенным рядом «вокруг p », поскольку радиус сходимости — это радиус R наибольшего интервала или диска с центром в точке p, такого, что ряд сходится для всех точек z строго внутри ( сходимость на границе интервала или диска обычно приходится проверять отдельно).

Следствием теорема корневого теста, примененного к степенному ряду, является Коши – Адамара : радиус сходимости в точности равен $1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},$ позаботившись о том, чтобы на самом деле мы имели в виду ∞, если знаменатель равен 0.

Доказательство

Доказательство сходимости ряда Σ n _{является} применением критерия сравнения .

Если для всех n ≥ N ( N некоторое фиксированное натуральное число ) имеем ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1$, затем $|a_{n}|\leq k^{n}<1$. Поскольку геометрическая прогрессия $\sum _{n=N}^{\infty }k^{n}$ сходится, так же как и $\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|$ по сравнительному тесту. Следовательно, Σan абсолютно _{сходится} .

Если ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$ для бесконечного числа n n 0, следовательно , _{не может сходиться к} ряд расходится.

Доказательство следствия : Для степенного ряда Σ a _n = Σ c _n ( z - p ) ^н , мы видим из вышесказанного, что ряд сходится, если существует N такое , что для всех n ≥ N имеем

${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,$

эквивалентно

${\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1$

для всех n ≥ N , из чего следует, что для сходимости ряда необходимо иметь $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ для всех достаточно больших n . Это эквивалентно высказыванию

$|z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},$

так $R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$ Теперь единственное место, где возможна конвергенция, — это когда

${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,$

(поскольку точки > 1 будут расходиться) и это не изменит радиус сходимости, так как это всего лишь точки, лежащие на границе отрезка или диска, поэтому

$R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$

Примеры

Пример 1:

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}$

Применяя корневой тест и используя тот факт, что $\lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,$

$C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2$

С $C=2>1,$ ряд расходится.

Пример 2:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots$

Корневой тест показывает сходимость, потому что

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.$

Этот пример показывает, насколько проверка корня сильнее проверки отношения . Тест на соотношение не дает окончательных результатов для этой серии, как будто $n$ даже, $a_{n+1}/a_{n}=1$ а если $n$ странно, $a_{n+1}/a_{n}=1/2$, поэтому предел $\lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|$ не существует.

Иерархия корневых тестов

Иерархия корневых тестов построено аналогично иерархии тестов отношения (см. раздел 4.1 теста отношения и, более конкретно, подраздел 4.1.4 там).

Для сериала $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ с положительными членами мы имеем следующие тесты на сходимость/расхождение.

Позволять $K\geq 1$ быть целым числом, и пусть $\ln _{(K)}(x)$ обозначают $K$итерация т.е. натурального логарифма , $\ln _{(1)}(x)=\ln(x)$ и для любого $2\leq k\leq K$, $\ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))$.

Предположим, что ${\sqrt[{-n}]{a_{n}}}$, когда $n$ велика, может быть представлена ​​в виде

${\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.$

(Пустая сумма предполагается равной 0.)

• Ряд сходится, если $\liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1$
• Ряд расходится, если $\limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1$
• В противном случае тест не дает результатов.

Доказательство

С ${\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}$, тогда мы имеем

$\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.$

Из этого,

$\ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).$

Из разложения Тейлора, примененного к правой части, получаем:

$\ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).$

Следовательно,

$a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}$

(Пустому продукту присвоено значение 1.)

Окончательный результат следует из интегрального теста на сходимость .

См. также

• Тест на соотношение
• Конвергентный ряд

Ссылки

• Кнопп, Конрад (1956). «§ 3.2». Бесконечные последовательности и ряды . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN  0-486-60153-6 .
• Уиттакер, Э.Т. и Уотсон, Дж.Н. (1963). «§ 2.35». Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-58807-3 .

Эта статья включает в себя материал из корневого теста Proof of Cauchy на PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .