Иметь в виду

Среднее значение - это числовое количество, представляющее центр сбора чисел, и является промежуточным до крайних значений набора чисел. ^{[ 1 ]} Есть несколько видов средств (или «показателей центральной тенденции ») в математике , особенно в статистике . Каждый пытается суммировать или типизировать данную группу данных , иллюстрируя величину и признак набора данных . Какая из этих мер наиболее освещает, зависит от того, что измеряется, и от контекста и цели. ^{[ 2 ]}

, Среднее арифметику также известное как «среднее арифметику», представляет собой сумму значений, деленных на количество значений. Арифметическое среднее из набора чисел x ₁ , x ₂ , ..., x _n, как правило, обозначается с использованием накладной панели , ${\bar {x}}$ . ^{[ Примечание 1 ]} Если цифры связаны с наблюдением образца , более крупной группы среднее арифметику называется средним значением выборки ( ${\bar {x}}$ ) отличить его от группового среднего (или ожидаемого значения ) базового распределения, обозначенного $\mu$ или $\mu _{x}$ . ^{[ Примечание 2 ]}^{[ 3 ]}

Внешняя вероятность и статистика, широкий спектр других понятий среднего значения часто используется в геометрии и математическом анализе ; Примеры приведены ниже.

Типы средств

Пифагорейские средства

Арифметическое среднее (AM)

Арифметическое среднее (или просто среднее или среднее ) списка чисел - это сумма всех чисел, разделенных на их количество. Точно так же среднее значение образца $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ , обычно обозначаемым ${\bar {x}}$ является суммой выбранных значений, деленных на количество элементов в выборке.

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

Например, среднее арифметическое значение пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 - это:

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

Среднее геометрическое (GM)

- Среднее геометрическое среднее это среднее, которое полезно для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их продуктом (как в случае с темпами роста), а не их суммой (как в случае со средним арифметиком):

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}

^{[ 1 ]}

Например, среднее геометрическое значение пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 - это:

(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.

Гармоническое среднее (HM)

- Среднее гармонику это среднее, которое полезно для наборов чисел, которые определены по отношению к какой -то единице , как в случае скорости (то есть расстояние на единицу времени):

{\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

Например, гармоническое среднее из пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75

{\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.

Если у нас есть пять насосов, которые могут опустошить резервуар определенного размера в 4, 36, 45, 50 и 75 минутах, то среднее гармонику $15$ сообщает нам, что эти пять различных насосов, работающих вместе $15$ минуты

Отношения между AM, GM и HM

AM, GM и HM удовлетворяют этим неравенствам:

\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,

Равенство сохраняется, если все элементы данной выборки равны.

Статистическое местоположение

В описательной статистике среднее значение можно путать со средним , режимом или средним уровнем , поскольку любой из них может быть неправильно назвать «средним» (более формально, мера центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений - это среднее арифметическое среднее значение значений; Однако для искаженных распределений среднее значение не обязательно такое же, как среднее значение (медиана) или наиболее вероятное значение (режим). Например, средний доход обычно искажается вверх небольшим количеством людей с очень большими доходами, так что у большинства есть доход ниже среднего. Напротив, средний доход - это уровень, на котором половина населения ниже, а половина выше. Доход режима является наиболее вероятным доходом и способствует большему количеству людей с более низкими доходами. В то время как медиана и режим часто являются более интуитивными мерами для таких искаженных данных, многие искаженные распределения на самом деле лучше всего описаны их средним значением, включая экспоненциальные и пуассонские распределения.

Среднее распределение вероятностей

Среднее значение распределения вероятностей -это среднее арифметическое значение случайной величины , имеющей такое распределение. Если случайная переменная обозначена $X$ , тогда среднее также известно как ожидаемое значение $X$ (обозначено $E(X)$ ) Для дискретного распределения вероятностей среднее значение определяется $\textstyle \sum xP(x)$ , где сумма принимается над всеми возможными значениями случайной величины и $P(x)$ это функция вероятности массы . Для непрерывного распределения среднее значение $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$ , где $f(x)$ это функция плотности вероятности . ^{[ 5 ]} Во всех случаях, в том числе те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение является интегралом Lebesgue случайной величины по отношению к ее мере вероятности . Среднее значение не должно существовать и не быть конечным; Для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( $+\infty$ или $-\infty$ ), в то время как для других среднее значение не определен .

Общие средства

Сила означает

Обобщенное среднее значение , также известное как среднее значение или среднее значение, является абстракцией квадратичных , арифметических, геометрических и гармонических средств. Это определено для набора n чисел x _i положительных

${\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}$ ^{[ 1 ]}

Выбирая различные значения для параметра M , получены следующие типы средств:

$\lim _{m\to \infty }$: максимум $x_{i}$
$\lim _{m\to 2}$: квадратичное среднее
$\lim _{m\to 1}$: арифметическая средняя
$\lim _{m\to 0}$: Геометрическое среднее
$\lim _{m\to -1}$: Гармоническая средняя
$\lim _{m\to -\infty }$: Минимум $x_{i}$

f -mean

Это можно обобщить в качестве обобщенного $F$ -Mean

{\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)

и снова подходящий выбор перспективного $F$ даст

$f(x)=x^{m}$	Сила означает ,
$f(x)=x$	арифметическое среднее ,
$f(x)=\ln(x)$	Геометрическое среднее .
$f(x)=x^{-1}={\frac {1}{x}}$	Гармоническая средняя ,

Взвешенное арифметическое среднее

Взвешенное среднее арифметику (или среднее значение) используется, если кто -то хочет объединить средние значения из образцов разных размеров одной и той же популяции:

{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.

^{[ 1 ]}

Где ${\bar {x_{i}}}$ и $w_{i}$ являются средним и размером образца $i$ соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния на среднее значение под соответствующими значениями.

Усеченное среднее

Иногда набор чисел может содержать выбросы (то есть значения данных, которые намного ниже или намного выше, чем другие). Часто выбросы - это ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее значение . Он включает в себя отброс заданных частей данных вверху или нижнего конца, как правило, одинаковое количество на каждом конце, а затем приобретение среднего арифметического среднего значения оставшихся данных. Количество удаленных значений указано в процентах от общего количества значений.

Межквартильный средний

Межкварное среднее - это конкретный пример усеченного среднего значения. Это просто арифметическое среднее после удаления самых низких и самых высоких значений.

{\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}

Предполагая, что значения были упорядочены, поэтому является просто конкретным примером взвешенного среднего значения для определенного набора весов.

Среднее значение функции

В некоторых обстоятельствах математики могут рассчитать среднее значение бесконечного (или даже неисчисляемого ) набора значений. Это может произойти при расчете среднего значения $y_{\text{avg}}$ функции $f(x)$ Полем Интуитивно, среднее значение функции можно рассматривать как расчет площади под участком кривой, а затем делятся на длину этого раздела. Это может быть сделано грубо, подсчитывая квадраты на графической бумаге или, точнее, путем интеграции . Формула интеграции написана как:

y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx

В этом случае необходимо соблюдать осторожность, чтобы убедиться, что интеграл сходится. Но среднее может быть конечным, даже если сама функция имеет тенденцию к бесконечности в некоторых моментах.

Среднее значение углов и циклических величин

Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики , чтобы добавить и в противном случае комбинировать числа. Во всех этих ситуациях не будет уникального среднего значения. Например, время до и после полуночи равноудачны как до полуночи, так и до полудня. Также возможно, что не существует значения. Рассмотрим цветовое колесо - нет никакого значения для набора всех цветов. В этих ситуациях вы должны решить, какое значение является наиболее полезным. Вы можете сделать это, регулируя значения перед усреднением или используя специализированный подход для среднего значения круговых величин .

Фридинг означает

Среднее значение Fréchet дает манеру для определения «центра» массового распределения на поверхности или, в целом, Riemannian Medifold . В отличие от многих других средств, среднее значение Fréchet определяется на пространстве, элементы которого не могут быть обязательно добавлены вместе или умножены на скаляры. Иногда он также известен как среднее Karcher (названное в честь Германа Кархера).

Треугольные наборы

В геометрии есть тысячи разных Определения для центра треугольника , который можно интерпретировать как среднее значение треугольного набора точек в плоскости. ^{[ 6 ]}

Правило Свансона

Это приближение к среднему значению для умеренно искаженного распределения. ^{[ 7 ]} Он используется в исследовании углеводородов и определяется как:

m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}

где ${\textstyle P_{10}}$ , ${\textstyle P_{50}}$ и ${\textstyle P_{90}}$ 10 -й, 50 -й и 90 -й процентили распределения, сохраняются.

Другие средства

Смотрите также

Примечания

^ Произносится « x бар».
^ Греческая буква μ , произносится / 'mjuː /.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} «Значит | математика» . Энциклопедия Британская . Получено 2020-08-21 .
^ Почему немногие студенты математики действительно понимают значение средств (видео на YouTube). Математика мира. 2024-08-27 . Получено 2024-09-10 .
^ Андерхилл, LG; Брэдфилд д. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X P. 181
^ «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальные распределения» . Архивировано с оригинала 2 апреля 2015 года . Получено 16 марта 2015 года .
^ Вейсштейн, Эрик У. «Поселение означает» . MathWorld.wolfram.com . Получено 2020-08-21 .
^ Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «На пути к сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. doi : 10.1007/s11786-016-0254-4 . MR 3483261 . Под руководством Кларка Кимберлинг, была разработана электронная энциклопедия треугольных центров (и т. Д.), Он содержит более 7000 центров и многие свойства этих точек
^ Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Правило Свансона 30-40-30. Американская ассоциация геологов нефтяных геологов 84 (12) 1883-1891

[3] Произносится « x бар».

[4] Греческая буква μ , произносится / 'mjuː /.

[:2-1] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} «Значит | математика» . Энциклопедия Британская . Получено 2020-08-21 .

[2] Почему немногие студенты математики действительно понимают значение средств (видео на YouTube). Математика мира. 2024-08-27 . Получено 2024-09-10 .

[5] Андерхилл, LG; Брэдфилд д. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X P. 181

[6] «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальные распределения» . Архивировано с оригинала 2 апреля 2015 года . Получено 16 марта 2015 года .

[:1-7] Вейсштейн, Эрик У. «Поселение означает» . MathWorld.wolfram.com . Получено 2020-08-21 .

[8] Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «На пути к сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. doi : 10.1007/s11786-016-0254-4 . MR 3483261 . Под руководством Кларка Кимберлинг, была разработана электронная энциклопедия треугольных центров (и т. Д.), Он содержит более 7000 центров и многие свойства этих точек

[Hurst2000-9] Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Правило Свансона 30-40-30. Американская ассоциация геологов нефтяных геологов 84 (12) 1883-1891

[ 1 ]

[ 2 ]

[ Примечание 1 ]

[ Примечание 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]