Распределение Миттаг-Леффлера

Распределения Миттаг-Леффлера представляют собой два семейства вероятностных распределений на полупрямой. $[0,\infty )$. Они параметризуются реальным $\alpha \in (0,1]$ или $\alpha \in [0,1]$. Оба определяются с помощью функции Миттаг-Леффлера , названной в честь Гёста Миттаг-Леффлера .

Функция Миттаг-Леффлера

Для любого комплекса $\alpha$ действительная часть которого положительна, ряд

$E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}$

определяет целую функцию. Для $\alpha =0$, ряд сходится только на круге радиуса один, но аналитически его можно продолжить до $\mathbb {C} \setminus \{1\}$.

Первое семейство распределений Миттаг-Леффлера

Первое семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и их кумулятивными функциями распределения .

Для всех $\alpha \in (0,1]$, функция $E_{\alpha }$ возрастает по реальной линии, сходится к $0$ в $-\infty$, и $E_{\alpha }(0)=1$. Следовательно, функция $x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })$ — кумулятивная функция распределения вероятностной меры неотрицательных действительных чисел. Определенное таким образом распределение и любое из его кратных называется распределением Миттаг-Леффлера порядка $\alpha$.

Все эти распределения вероятностей абсолютно непрерывны . С $E_{1}$ – показательная функция, распределение Миттаг-Леффлера порядка $1$ является экспоненциальным распределением . Однако для $\alpha \in (0,1)$распределения Миттаг-Леффлера имеют тяжелый хвост , причем

$E_{\alpha }(-x^{\alpha })\sim {\frac {x^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}},\quad x\to \infty .$

Их преобразование Лапласа определяется формулой:

$\mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},$

из чего следует, что для $\alpha \in (0,1)$, ожидание бесконечно. Кроме того, эти распределения являются геометрически устойчивыми распределениями . Процедуры оценки параметров можно найти здесь.

Второе семейство распределений Миттаг-Леффлера.

Второе семейство распределений Миттаг-Леффлера определяется соотношением между функцией Миттаг-Леффлера и их порождающими момент функциями .

Для всех $\alpha \in [0,1]$, случайная величина $X_{\alpha }$ Говорят, что он подчиняется распределению порядка Миттаг-Леффлера. $\alpha$ если для некоторой константы $C>0$,

$\mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),$

где сходимость означает все $z$ в комплексной плоскости, если $\alpha \in (0,1]$, и все $z$ в диске радиуса $1/C$ если $\alpha =0$.

Распределение порядка Миттаг-Леффлера. $0$ является экспоненциальным распределением. Распределение порядка Миттаг-Леффлера. $1/2$ – это распределение абсолютного значения случайной величины нормального распределения . Распределение порядка Миттаг-Леффлера. $1$ является вырожденным распределением . В отличие от первого семейства распределений Миттаг-Леффлера, эти распределения не имеют «тяжелого хвоста».

Эти распределения обычно находятся в зависимости от местного времени марковских процессов.