Распределение Беренса – Фишера

В статистике распределение Беренса -Фишера , названное в честь Рональда Фишера и Уолтера Беренса , представляет собой параметризованное семейство вероятностных распределений, возникающее в результате решения проблемы Беренса-Фишера, предложенной сначала Беренсом, а несколько лет спустя Фишером. Проблема Беренса-Фишера заключается в статистическом выводе относительно разницы между средними значениями двух нормально распределенных совокупностей , когда соотношение их дисперсий неизвестно (и, в частности, неизвестно, равны ли их дисперсии).

Определение

Распределение Беренса-Фишера представляет собой распределение случайной величины вида

$T_{2}\cos \theta -T_{1}\sin \theta \,$

где T ₁ и T ₂ - независимые случайные величины Стьюдента , каждая из которых имеет t-распределение , с соответствующими степенями свободы ν ₁ = n ₁ - 1 и ν ₂ = n ₂ - 1, а θ является константой. Таким образом, семейство распределений Беренса-Фишера параметризуется ν ₁ , ν ₂ и θ .

Вывод

Предположим, что известно, что две дисперсии генеральной совокупности равны, и выборки размеров n ₁ и n ₂ взяты из двух совокупностей:

${\begin{aligned}X_{1,1},\ldots ,X_{1,n_{1}}&\sim \operatorname {i.i.d.} N(\mu _{1},\sigma ^{2}),\\[6pt]X_{2,1},\ldots ,X_{2,n_{2}}&\sim \operatorname {i.i.d.} N(\mu _{2},\sigma ^{2}).\end{aligned}}$

где «iid» — независимые и одинаково распределенные случайные величины , а N обозначает нормальное распределение . Два выборочных средних значения :

${\begin{aligned}{\bar {X}}_{1}&=(X_{1,1}+\cdots +X_{1,n_{1}})/n_{1}\\[6pt]{\bar {X}}_{2}&=(X_{2,1}+\cdots +X_{2,n_{2}})/n_{2}\end{aligned}}$

Обычная « объединенная » несмещенная оценка общей дисперсии σ. ² тогда

$S_{\mathrm {pooled} }^{2}={\frac {\sum _{k=1}^{n_{1}}(X_{1,k}-{\bar {X}}_{1})^{2}+\sum _{k=1}^{n_{2}}(X_{2,k}-{\bar {X}}_{2})^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}={\frac {(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

где S ₁ ² и С ₂ ² представляют собой обычные несмещенные ( скорректированные по Бесселю ) оценки двух генеральных дисперсий.

При этих предположениях основная величина

${\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{\mathrm {pooled} }^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{\mathrm {pooled} }^{2}}{n_{2}}}}}}}$

имеет t-распределение с n ₁ + n ₂ − 2 степенями свободы . Соответственно, можно найти доверительный интервал для µ ₂ − µ _1, конечные точки которого равны

${\bar {X}}_{2}-{\bar {X_{1}}}\pm A\cdot S_{\mathrm {pooled} }{\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}},$

где A — соответствующий квантиль t-распределения.

Однако в задаче Беренса-Фишера неизвестно, что две дисперсии совокупности равны, и их соотношение неизвестно. Фишер считал ключевое количество

${\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}.$

Это можно записать как

$T_{2}\cos \theta -T_{1}\sin \theta ,\,$

где

$T_{i}={\frac {\mu _{i}-{\bar {X}}_{i}}{S_{i}/{\sqrt {n_{i}}}}}{\text{ for }}i=1,2\,$

представляют собой обычную одновыборочную t-статистику и

$\tan \theta ={\frac {S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}{S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}}$

и предполагается, что θ находится в первом квадранте. Алгебраические детали таковы:

${\begin{aligned}{\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}&={\frac {\mu _{2}-{\bar {X}}_{2}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}-{\frac {\mu _{1}-{\bar {X}}_{1}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\\[10pt]&=\underbrace {\frac {\mu _{2}-{\bar {X}}_{2}}{S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}} _{{\text{This is }}T_{2}}\cdot \underbrace {\left({\frac {S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\right)} _{{\text{This is }}\cos \theta }-\underbrace {\frac {\mu _{1}-{\bar {X}}_{1}}{S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}} _{{\text{This is }}T_{1}}\cdot \underbrace {\left({\frac {S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\right)} _{{\text{This is }}\sin \theta }.\qquad \qquad \qquad (1)\end{aligned}}$

Тот факт, что сумма квадратов выражений в скобках выше равна 1, означает, что они представляют собой квадраты косинуса и квадрата синуса некоторого угла.

Распределение Берена-Фишера на самом деле является условным распределением величины (1), приведенной выше, с учетом значений величин, обозначенных cos θ и sin θ . По сути, условия Фишера включают вспомогательную информацию .

Затем Фишер нашел « доверительный интервал», конечные точки которого равны

${\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1}\pm A{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}$

где A — соответствующий процентный пункт распределения Беренса-Фишера. Фишер заявил что вероятность того, что µ ₂ − µ ₁ находится в этом интервале, учитывая данные (в конечном итоге X s), представляет собой вероятность того, что случайная величина, распределенная Беренсом-Фишером, находится между − A и A .

Фидуциальные интервалы и доверительные интервалы

Бартлетт показал, что этот «доверительный интервал» не является доверительным интервалом, поскольку он не имеет постоянной степени охвата. Фишер не счел это убедительным возражением против использования доверительного интервала.

Дальнейшее чтение

• Кендалл, Морис Г., Стюарт, Алан (1973) Передовая теория статистики, Том 2: Выводы и взаимосвязи, 3-е издание , Гриффин. ISBN   0-85264-215-6 (глава 21)