K-распределение

K-распределение

Параметры	$\mu \in (0,+\infty )$, $\alpha \in [0,+\infty )$, $\beta \in [0,+\infty )$
Поддерживать	$x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$
Иметь в виду	$\mu$
Дисперсия	$\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}$
МГФ	$\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right)$

В теории вероятности и статистике обобщенное K-распределение представляет собой трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей. Распределение возникает путем сложения двух гамма-распределений . В каждом случае используется перепараметризация обычного вида семейства гамма-распределений, такая, что параметры:

• среднее значение распределения,
• обычный параметр формы.

K-распределение — это частный случай дисперсионно-гамма-распределения , которое, в свою очередь, является частным случаем обобщенного гиперболического распределения . Более простой частный случай обобщенного K-распределения часто называют K -распределением.

Плотность

Предположим, что случайная величина $X$ имеет гамма-распределение со средним $\sigma$ и параметр формы $\alpha$, с $\sigma$ рассматривается как случайная величина, имеющая другое гамма-распределение, на этот раз со средним значением $\mu$ и параметр формы $\beta$. В результате $X$ имеет следующую функцию плотности вероятности (pdf) для $x>0$:

$f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$

где $K$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя второго рода. Заметим, что для модифицированной функции Бесселя второго рода имеем $K_{\nu }=K_{-\nu }$. В этом выводе K-распределение представляет собой составное распределение вероятностей . Это также дистрибуция продукции : это распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых имеет гамма-распределение со средним значением 1 и параметром формы. $\alpha$, второй имеет гамма-распределение со средним значением $\mu$ и параметр формы $\beta$.

Более простую двухпараметрическую формализацию K-распределения можно получить, положив $\beta =1$ как

$f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),$

где $v=\alpha$ - коэффициент формы, $b=\alpha /\mu$ масштабный коэффициент, а $K$ — модифицированная функция Бесселя второго рода. Приведенную выше формализацию двух параметров также можно получить, установив $\alpha =1$, $v=\beta$, и $b=\beta /\mu$, хотя и с разной физической интерпретацией $b$ и $v$ параметры. Эту формализацию с двумя параметрами часто называют K- распределением , а формализацию с тремя параметрами называют обобщенным K-распределением.

Это распределение взято из статьи Эрика Джейкмана и Питера Пьюзи (1978), которые использовали его для моделирования микроволнового морского эха. Джейкман и Таф (1987) получили распределение на основе модели случайного блуждания. Кейт Д. Уорд (1981) получил распределение из произведения двух случайных величин z = a y , где a имеет распределение хи , а y - комплексное распределение Гаусса. Модуль z , |z| , то имеет K-распределение.

Моменты

Производящая функция момента определяется выражением

$M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),$

где $\gamma =\beta -\alpha ,$ $\delta =\alpha +\beta -1,$ $\xi =\alpha \beta /\mu ,$ и $W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )$ — функция Уиттекера .

n-ые моменты K-распределения определяются выражением

$\mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.$

Таким образом, среднее значение и дисперсия определяются выражением

$\operatorname {E} (X)=\mu$

$\operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}.$

Другие объекты недвижимости

Все свойства распределения симметричны относительно $\alpha$ и $\beta .$

Приложения

K-распределение возникает как следствие статистической или вероятностной модели, используемой в изображениях радара с синтезированной апертурой (SAR). K-распределение формируется путем объединения двух отдельных распределений вероятностей , одно из которых представляет поперечное сечение радара , а другое представляет собой спекл, который является характеристикой когерентного изображения. Он также используется в беспроводной связи для моделирования сложных эффектов быстрого затухания и затенения.

Источники

• Реддинг, Николас Дж. (1999), Оценка параметров распределения K в области интенсивности (PDF) , Южная Австралия: Лаборатория электроники и наблюдения DSTO, стр. 60, ДСТО-TR-0839
• Боке, Стивен (2011), Расчет вероятности обнаружения радаром в условиях K-распределенных морских помех и шума (PDF) , Канберра, Австралия: Отдел совместных операций, Организация оборонной науки и технологий DSTO, стр. 35, ДСТО-TR-0839
• Джейкман, Эрик; Пьюзи, Питер Н. (27 февраля 1978 г.). «Значение K-распределений в экспериментах по рассеянию». Письма о физических отзывах . 40 (9). Американское физическое общество (APS): 546–550. Бибкод : 1978PhRvL..40..546J . дои : 10.1103/physrevlett.40.546 . ISSN   0031-9007 .
• Джейкман, Эрик; Жесткий, Роберт Дж.А. (1 сентября 1987 г.). «Обобщенное распределение K: статистическая модель слабого рассеяния». Журнал Оптического общества Америки А. 4 (9). Оптическое общество: 1764-1772. Бибкод : 1987JOSAA...4.1764J . дои : 10.1364/josaa.4.001764 . ISSN   1084-7529 .
• Уорд, Кейт Д. (1981). «Сложное представление морских помех в высоком разрешении». Электронные письма . 17 (16). Инженерно-технологический институт (ИЭТ): 561-565. Бибкод : 1981ElL....17..561W . дои : 10.1049/эл:19810394 . ISSN   0013-5194 .
• Битас, Петрос С.; Сагиас, Никос К.; Матиопулос, П. Такис; Карагианнидис, Джордж К .; Ронтояннис, Афанасиос А. (2006). «Об анализе производительности цифровой связи по каналам с обобщенными замираниями». Коммуникационные письма IEEE . 10 (5). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 353–355. CiteSeerX   10.1.1.725.7998 . дои : 10.1109/lcomm.2006.1633320 . ISSN   1089-7798 . S2CID   4044765 .
• Лонг, Морис В. (2001). Радиолокационная отражательная способность суши и моря (3-е изд.). Норвуд, Массачусетс: Artech House. п. 560.

Дальнейшее чтение

• Джейкман, Эрик (1 января 1980 г.). «О статистике К-распределенного шума». Журнал физики A: Математический и общий . 13 (1). Издательство ИОП: 31–48. Бибкод : 1980JPhA...13...31J . дои : 10.1088/0305-4470/13/1/006 . ISSN   0305-4470 .
• Уорд, Кейт Д.; Жесткий, Роберт Дж. А.; Уоттс, Саймон (2006) Морские помехи: рассеяние, распределение K и характеристики радара , Инженерно-технологический институт. ISBN   0-86341-503-2 .