Геометрическое устойчивое распределение

Геометрическая конюшня

Параметры	$\alpha \in (0,2]$ — параметр устойчивости $\beta \in [-1,1]$ — параметр асимметрии (обратите внимание, что асимметрия не определена) $\lambda \in (0,\infty )$ — параметр масштаба $\mu \in (-\infty ,\infty )$ — параметр местоположения
Поддерживать	$x\in \mathbb {R}$, или $x\in [\mu ,\infty )$ если $\alpha <1$ и $\beta =1$, или $x\in (-\infty ,\mu ]$ если $\alpha <1$ и $\beta =-1$
PDF	не выразимо аналитически, за исключением некоторых значений параметров
CDF	не выразимо аналитически, за исключением определенных значений параметров
медиана	$\mu$ когда $\beta =0$
Режим	$\mu$ когда $\beta =0$
Дисперсия	$2\lambda ^{2}$ когда $\alpha =2$, иначе бесконечно
асимметрия	$0$ когда $\alpha =2$, в противном случае неопределенное
Избыточный эксцесс	$3$ когда $\alpha =2$, в противном случае неопределенное
МГФ	неопределенный
CF	$\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$, где $\omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}\,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log \vert t\vert \,{\textrm {sign}}(t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}$

Геометрически стабильное распределение или геостабильное распределение — это тип лептокуртического распределения вероятностей . Геометрические устойчивые распределения были представлены Клебановым Л.Б., Мания Г.М. и Меламедом И.А. (1985). Задача Золотарева и аналоги бесконечно делимых и устойчивых распределений в схеме суммирования случайного числа случайных величин. Эти распределения являются аналогами устойчивых распределений для случая, когда число слагаемых случайно, не зависит от распределения слагаемых и имеет геометрическое распределение. Геометрически стабильное распределение может быть симметричным или асимметричным. Симметричное геометрическое стабильное распределение также называют распределением Линника . Распределение Лапласа и асимметричное распределение Лапласа являются частными случаями геометрического устойчивого распределения. Распределение Миттаг-Леффлера также является частным случаем геометрически устойчивого распределения.

Геометрическое устойчивое распределение имеет приложения в теории финансов.

Характеристики

Для большинства геометрически устойчивых распределений функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения не имеют замкнутой формы. Однако геометрическое устойчивое распределение можно определить по его характеристической функции , которая имеет вид:

$\varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}$

где $\omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}$.

Параметр $\alpha$, который должен быть больше 0 и меньше или равен 2, является параметром формы или индексом устойчивости, который определяет, насколько тяжелы хвосты. Ниже $\alpha$ соответствует более тяжелым хвостам .

Параметр $\beta$, который должен быть больше или равен -1 и меньше или равен 1, является параметром асимметрии. Когда $\beta$ отрицательно, распределение смещено влево, и когда $\beta$ положительно, распределение смещено вправо. Когда $\beta$ равно нулю, распределение симметрично, и характеристическая функция сводится к:

$\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}$.

Симметричное геометрическое устойчивое распределение с $\mu =0$ также называется распределением Линника. Полностью перекошенное геометрическое устойчивое распределение, т. е. с $\beta =1$, $\alpha <1$, с $0<\mu <1$ также называется распределением Миттаг-Леффлера. Хотя $\beta$ определяет асимметрию распределения, его не следует путать с типичным коэффициентом асимметрии или третьим стандартизированным моментом , который в большинстве случаев не определен для геометрически устойчивого распределения.

Параметр $\lambda >0$ называется параметром масштаба и $\mu$ это параметр местоположения.

Когда $\alpha$ = 2, $\beta$ = 0 и $\mu$ = 0 (т.е. симметричное геометрическое устойчивое распределение или распределение Линника с $\alpha$=2), распределение становится симметричным распределением Лапласа со средним значением 0, который имеет функцию плотности вероятности :

$f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!$.

Распределение Лапласа имеет дисперсию, равную $2\lambda ^{2}$. Однако для $\alpha <2$ дисперсия геометрического устойчивого распределения бесконечна.

Связь со стабильными дистрибутивами

Стабильное распределение обладает тем свойством, что если $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ — независимые, одинаково распределенные случайные величины, взятые из такого распределения, сумма $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ имеет то же распределение, что и $X_{i}$это для некоторых $a_{n}$ и $b_{n}$.

Геометрические устойчивые распределения обладают аналогичным свойством, но в них количество элементов в сумме является геометрически распределенной случайной величиной. Если $X_{1},X_{2},\dots$ — независимые и одинаково распределенные случайные величины, взятые из геометрического устойчивого распределения, предела суммы $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ приближается к распределению $X_{i}$'s для некоторых коэффициентов $a_{N_{p}}$ и $b_{N_{p}}$ когда p приближается к 0, где $N_{p}$ является случайной величиной, не зависящей от $X_{i}$взято из геометрического распределения с параметром p. Другими словами:

$\Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.$

Распределение строго геометрически устойчиво только в том случае, если сумма $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ равно распределению $X_{i}$это для какого- . то

Существует также связь между характеристической функцией стабильного распределения и характеристической функцией геометрического устойчивого распределения. Устойчивое распределение имеет характерную функцию вида:

$\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],$

где

$\Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}$

Геометрическую стабильную характеристическую функцию можно выразить через стабильную характеристическую функцию следующим образом:

$\varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1}.$

См. также

• Распределение Миттаг-Леффлера