Принципы математики

О книге Исаака Ньютона, содержащей основные законы физики, см. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica .

Не путать с «Принципами математики» — еще одной книгой Рассела, опубликованной в 1903 году.

Титульный лист сокращенного Principia Mathematica до ✱56.

✱54.43 : «Из этого предложения, если определено арифметическое сложение, следует, что 1 + 1 = 2». – Том I, 1-е издание, с. 379 (с. 362 во 2-м издании; с. 360 в сокращенном варианте). (Доказательство фактически завершено в томе II, 1-м издании, стр. 86 , сопровождаемом комментарием: «Приведенное выше предложение иногда бывает полезно». Далее они говорят: «Оно используется по крайней мере три раза, в ✱113.66 и ✱120.123». .472.")

Я помню, как Бертран Рассел рассказал мне об ужасном сне. Он находился на верхнем этаже университетской библиотеки примерно в 2100 году нашей эры. Сотрудник библиотеки обходил полки с огромным ведром, снимал книги, осматривал их, возвращал их на полки или сбрасывал в ведро. Наконец он добрался до трёх больших томов, в которых Рассел мог признать последний сохранившийся экземпляр « Начал математики» . Он взял один из томов, перевернул несколько страниц, на мгновение как будто озадаченный любопытной символикой, закрыл том, подержал его в руке и заколебался...

Г.Х. Харди , Извинения математика (1940)

Однажды он [Рассел] сказал, после некоторого контакта с китайским языком, что с ужасом обнаружил, что язык Principia Mathematica был индоевропейским.

Джон Эденсор Литтлвуд , Сборник Литтлвуда (1986)

Principia Mathematica (часто сокращенно PM ) — трехтомный труд по основам математики, написанный математиками-философами Альфредом Нортом Уайтхедом и Бертраном Расселом и опубликованный в 1910, 1912 и 1913 годах. В 1925–1927 годах он вышел во втором издании. издание с важным введением ко второму изданию , Приложением A , которое заменило ✱9 новыми Приложением B и Приложением C. ПМ был задуман как продолжение книги Рассела « Принципы математики» 1903 года , но, как утверждает ПМ , это стало неработоспособным предложением по практическим и философским причинам: «Настоящая работа изначально была задумана нами как включение во второй том « Принципов математики». ... Но по мере нашего продвижения становилось все более очевидным, что эта тема гораздо шире, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые в предыдущей работе оставались неясными и сомнительными, мы теперь пришли к тому, что нашли. считаю удовлетворительными решениями».

ПМ , согласно его введению, преследовал три цели: (1) проанализировать в максимально возможной степени идеи и методы математической логики и свести к минимуму количество примитивных понятий , аксиом и правил вывода ; (2) точно выражать математические предложения в символической логике, используя наиболее удобные обозначения, которые допускает точное выражение; (3) разрешить парадоксы, которые преследовали логику и теорию множеств на рубеже 20-го века, такие как парадокс Рассела .

Эта третья цель мотивировала принятие теории типов в ПМ . Теория типов принимает грамматические ограничения на формулы, исключающие неограниченное понимание классов, свойств и функций. Результатом этого является то, что формулы, которые позволяли бы понимать объекты, подобные множеству Рассела, оказываются неправильно оформленными: они нарушают грамматические ограничения системы PM .

Премьер-министр вызвал интерес к символической логике и продвинул эту тему, популяризируя ее и демонстрируя ее силу. Современная библиотека поместила «PM» на 23-е место в списке 100 лучших англоязычных научно-популярных книг двадцатого века.

Объем заложенного фундамента

« Начала » охватывали только теорию множеств , кардинальные , порядковые и действительные числа . Более глубокие теоремы реального анализа не были включены, но к концу третьего тома экспертам стало ясно, что большая часть известной математики в принципе может быть развита в принятом формализме. Было также ясно, насколько длительным будет такое развитие событий.

четвертый том по основам геометрии Был запланирован , но авторы признались, что после завершения третьего тома они интеллектуально истощены.

Теоретическая основа

Как отмечается в критике теории Куртом Гёделем (ниже), в отличие от формалистической теории , «логистическая» теория PM не имеет «точного изложения синтаксиса формализма». Более того, в теории почти сразу можно заметить, что интерпретации (в смысле теории моделей ) представлены в терминах истинностных значений поведения символов «⊢» (утверждение истины), «~» (логическое нет). и «V» (логическое включающее ИЛИ).

Истинные ценности : ПМ встраивает понятия «истина» и «ложь» в понятие «примитивное суждение». Грубая (чистая) формалистическая теория не могла бы дать значения символов, образующих «примитивное суждение» — сами символы могли быть абсолютно произвольными и незнакомыми. Теория будет определять только то, как ведут себя символы, основываясь на грамматике теории . Позже, путем присвоения «значений», модель будет определять интерпретацию того, что говорят формулы. Таким образом, в приведенном ниже формальном наборе символов Клини «интерпретация» того, что обычно означают эти символы, и, как следствие, как они в конечном итоге используются, дается в круглых скобках, например, «¬ (нет)». Но это не чистая формалистская теория.

теории

Список предложений, названных по именам

предлагается следующая формалистическая теория В отличие от логистической теории ПМ . Современная формальная система будет построена следующим образом:

1. Используемые символы : Этот набор является начальным, и другие символы могут появляться, но только по определению, из этих начальных символов. Начальным набором может быть следующий набор, полученный из Клини 1952: логические символы : «→» (подразумевает, ЕСЛИ-ТО и «⊃»), «&» (и), «V» (или), «¬» ( нет), «∀» (для всех), «∃» (существует); символ предиката "=" (равно); функциональные символы «+» (арифметическое сложение), «∙» (арифметическое умножение), «'» (наследник); индивидуальный символ «0» (ноль); переменные « a », « b », « c » и т. д.; и круглые скобки "(" и ")".
2. Строки символов : теория строит «строки» этих символов путем конкатенации (сопоставления).
3. Правила формирования : теория определяет правила синтаксиса (правила грамматики), обычно в виде рекурсивного определения, которое начинается с «0» и определяет, как строить приемлемые строки или «правильно сформированные формулы» (wffs). Сюда входит правило «замены». строк для символов, называемых «переменными».
4. Правило(а) преобразования : аксиомы , определяющие поведение символов и последовательностей символов.
5. Правило вывода, отделения, modus ponens : Правило, которое позволяет теории «отделить» «вывод» от «посылок», которые к нему привели, и после этого отбросить «посылки» (символы слева от линии). │ или символы над линией, если она горизонтальная). Если бы это было не так, то замена привела бы к появлению все более и более длинных строк, которые пришлось бы переносить вперед. Действительно, после применения modus ponens не остается ничего, кроме заключения, остальное исчезает навсегда.
   Современные теории часто указывают в качестве своей первой аксиомы классический, или modus ponens , или «правило непривязанности»:
   А , А ⊃ Б | Б
   Символ «│» обычно пишется в виде горизонтальной линии, здесь «⊃» означает «подразумевает». Символы A и B являются «заменителями» строк; эта форма записи называется «схемой аксиом» (т. е. существует счетное количество конкретных форм, которые может принимать запись). Это можно прочитать аналогично IF-THEN, но с той разницей: данная строка символов IF A и A подразумевает B THEN B (и сохраняет только B для дальнейшего использования). Но у символов нет «интерпретации» (например, нет «таблицы истинности», «значений истинности» или «функций истинности»), и modus ponens действует механистически, посредством одной только грамматики.

Строительство

Теория ПМ имеет как существенные сходства, так и схожие различия с современной формальной теорией. Клини заявляет, что «этот вывод математики из логики был предложен как интуитивная аксиоматика. Аксиомы должны были верить или, по крайней мере, приниматься как правдоподобные гипотезы относительно мира». Действительно, в отличие от формалистической теории, которая манипулирует символами в соответствии с правилами грамматики, ПМ вводит понятие «истинных значений», т. е. истины и ложности в реальном смысле, а также «утверждение истины» почти сразу же в качестве пятого шага. и шестые элементы в структуре теории ( PM 1962:4–36):

1. Переменные
2. Использование различных букв
3. Фундаментальные функции предложений : «Противоречивая функция», символизируемая «~», и «Логическая сумма или дизъюнктивная функция», символизируемая «∨», рассматриваются как примитивная и определённая логическая импликация (следующий пример также используется для иллюстрации 9. Определение ниже). ) как
   п ⊃ q . = . ~ п ∨ q Df . ( ВС 1962:11)
   и логический продукт, определяемый как
   п . q . = . ~(~ п ∨ ~ q ) Df . ( ВС 1962:12)
4. Эквивалентность : логическая эквивалентность, а не арифметическая эквивалентность: «≡» указывается как демонстрация того, как используются символы, т.е. «Таким образом, ' p ≡ q ' означает '( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p )'». ( ПМ 1962:7). Обратите внимание, что при обсуждении нотации PM идентифицирует «мета»-нотацию как «[пробел] ... [пробел]»:
   Логическая эквивалентность снова появляется в виде определения :
   п ≡ q . = . ( п ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962:12),
   Обратите внимание на появление скобок. Это грамматическое употребление не указано и встречается спорадически; круглые скобки действительно играют важную роль в строках символов, например, обозначение «( x )» для современного «∀ x ».
5. Истинные ценности : «Истинное значение» предложения есть истина, если оно истинно, и ложь, если оно ложно» (эта фраза принадлежит Готлобу Фреге ) ( PM 1962:7).
6. Знак-утверждение : «'⊦.p может q 'верно, что'... таким образом, '⊦ ' верно p.⊃.q ' , быть прочитано что p подразумевает : ', тогда как ⊦.p.⊃⊦ означает ' как « q » означает « p истинно; следовательно, q истинно». Первое из них не обязательно предполагает истинность ни p, ни q , тогда как второе предполагает истинность обоих» ( PM 1962:92).
7. Вывод : ПМ предложенная версия modus ponens, . «[Если] '⊦ .p ' и '⊦ ( p ⊃ q )' произошли, то '⊦ .q ' произойдет, если желательно записать это. Процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственной записью является появление '⊦ ' q [другими словами, символы слева исчезают или могут быть стерты]» ( PM 1962:9).
8. Использование точек
9. Определения : здесь используется знак «=" с буквой «Df» на правом конце.
10. Краткое изложение предыдущих утверждений : краткое обсуждение примитивных идей «~ p », « p ∨ q » и «⊦», стоящих перед предложением.
11. Примитивные предложения : аксиомы или постулаты. Во втором издании это было существенно изменено.
12. Пропозициональные функции : Понятие «предложение» было значительно изменено во втором издании, включая введение «атомарных» предложений, связанных логическими знаками, для формирования «молекулярных» предложений, а также использование замены молекулярных предложений на атомарные или молекулярные предложения для создавать новые выражения.
13. Диапазон значений и общая вариация
14. Неоднозначное утверждение и реальная переменная : этот и следующие два раздела были изменены или оставлены во втором издании. различие между понятиями, определенными в разделах 15. Определение и реальная переменная и 16 предложений, связывающих реальные и кажущиеся переменные . В частности, во втором издании было оставлено
15. Формальная импликация и формальная эквивалентность
16. Личность
17. Классы и отношения
18. Различные описательные функции отношений
19. Множественные описательные функции
20. Классы единиц

Примитивные идеи

См. PM 1962:90–94, для первого издания:

• (1) Элементарные предложения .
• (2) Элементарные предложения функций .
• (3) Утверждение : вводит понятия «истина» и «ложь».
• (4) Утверждение пропозициональной функции .
• (5) Отрицание : «Если р — какое-либо предложение, то предложение «не- р » или « р ложно» будет представлено как «~ р »».
• (6) Дизъюнкция : «Если p и q — какие-либо предложения, то предложение « p или q» , т. е. «либо p истинно, либо q истинно», где альтернативы не должны быть взаимоисключающими, будет представлено как « p». ∨ q " ".
• (см. раздел Б)

Примитивные предложения

Первое . издание (см. обсуждение второго издания ниже) начинается с определения знака «⊃»

✱1.01 . п ⊃ q . = . ~ п ∨ q . Дф .

✱1.1 . Все, что подразумевается под истинным элементарным предложением, истинно. Pp modus ponens

( ✱1.11 был исключен во втором издании.)

✱1.2 . ⊦ : п ∨ п . ⊃ . п . Pp принцип тавтологии

✱1.3 . ⊦ : q . ⊃ . п ∨ q . Pp принцип сложения

✱1.4 . ⊦ : п ∨ q . ⊃ . q ∨ п . Pp принцип перестановки

✱1,5 . ⊦ : п ∨ ( q ∨ р ) . ⊃ . q ∨ ( п ∨ р ). пп Ассоциативный принцип

✱1.6 . ⊦ :. д ⊃ р . ⊃ : п ∨ q . ⊃ . п ∨ р . Пп принцип суммирования

✱1.7 . Если р — элементарное предложение, то ~ р — элементарное предложение. ПП

✱1,71 . Если p и q — элементарные предложения, то p ∨ q — элементарное предложение. ПП

✱1,72 . Если φ p и ψ p — элементарные пропозициональные функции, принимающие элементарные предложения в качестве аргументов, то φ p ∨ ψ p — элементарное предложение. ПП

Вместе с «Введением ко второму изданию» в Приложении А ко второму изданию отсутствует весь раздел ✱9 . Сюда входят шесть примитивных предложений с ✱9 по ✱9.15 вместе с аксиомами сводимости.

Пересмотренная теория осложняется введением штриха Шеффера («|»), символизирующего «несовместимость» (т. е., если оба элементарных предложения p и q истинны, их «штрих» p | q ложен), современная логика И-НЕ (не-И). В пересмотренной теории во Введении представлено понятие «атомарного суждения», «данного», которое «принадлежит к философской части логики». Они не имеют частей, которые являются предложениями и не содержат понятия «все» или «некоторые». Например: «это красное» или «это раньше того». Такие вещи могут существовать до бесконечности , т. е. даже «бесконечное перечисление» их для замены «общности» (т. е. понятия «для всех»). Затем ПМ «переходит к молекулярным предложениям», которые все связаны «ходом». Определения дают эквиваленты для «~», «∨», «⊃» и « . ».

Новое введение определяет «элементарные предложения» как атомные и молекулярные позиции вместе. Затем он заменяет все примитивные предложения с ✱1.2 по ✱1.72 одним примитивным предложением, сформулированным в терминах штриха:

«Если p , q , r — элементарные предложения, учитывая p и p |( q | r ), мы можем вывести r . Это примитивное предложение».

В новом введении сохранены обозначения «существует» (теперь преобразованные в «иногда верно») и «для всех» (переработанные в «всегда верно»). Приложение А усиливает понятие «матрицы» или «предикативной функции» («примитивная идея», PM 1962:164) и представляет четыре новых примитивных предложения как ✱8.1–✱8.13 .

✱88 . Мультипликативная аксиома

✱120 . Аксиома бесконечности

и аксиома

В простой теории типов объекты — это элементы различных непересекающихся «типов». Типы неявно создаются следующим образом. Если τ ₁ ,...,τ _m являются типами, то существует тип (τ ₁ ,...,τ _m ), который можно рассматривать как класс пропозициональных функций от τ ₁ ,...,τ _m ( которое в теории множеств по существу является множеством подмножеств τ ₁ ×...×τ _m ). В частности, существует тип () предложений и может существовать тип ι (йота) «индивидов», из которых строятся другие типы. Обозначения Рассела и Уайтхеда для создания типов из других типов довольно громоздки, и эти обозначения здесь принадлежат Черчу .

В теории разветвленных типов ПМ все объекты являются элементами различных непересекающихся разветвленных типов. Разветвленные типы неявно создаются следующим образом. Если τ ₁ ,...,τ _m ,σ ₁ ,...,σ _n — разветвленные типы, то, как и в простой теории типов, существует тип (τ ₁ ,...,τ _m ,σ ₁ ,... ,σ _n ) «предикативных» пропозициональных функций от τ ₁ ,...,τ _m ,σ ₁ ,...,σ _n . Однако существуют также разветвленные типы (τ ₁ ,...,τ _m |σ ₁ ,...,σ _n ), которые можно рассматривать как классы пропозициональных функций от τ ₁ ,...τ _m, полученные из пропозициональные функции типа (τ ₁ ,...,τ _m ,σ ₁ ,...,σ _n ) путем количественной оценки по σ ₁ ,...,σ _n . Когда n = 0 (поэтому нет σs), эти пропозициональные функции называются предикативными функциями или матрицами. Это может сбивать с толку, поскольку современная математическая практика не делает различия между предикативными и непредикативными функциями, и в любом случае PM никогда точно не определяет, что на самом деле представляет собой «предикативная функция»: это воспринимается как примитивное понятие.

Рассел и Уайтхед сочли невозможным развивать математику, сохраняя при этом разницу между предикативными и непредикативными функциями, поэтому они ввели аксиому сводимости , утверждающую, что для каждой непредикативной функции существует предикативная функция, принимающая те же значения. На практике эта аксиома по существу означает, что элементы типа (τ ₁ ,...,τ _m |σ ₁ ,...,σ _n ) можно отождествлять с элементами типа (τ ₁ ,...,τ _m ), что приводит к схлопыванию иерархии разветвленных типов до простой теории типов. (Строго говоря, PM допускает различие двух пропозициональных функций, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов; это отличается от современной математической практики, где обычно идентифицируют две такие функции.)

В теории множеств Цермело можно смоделировать теорию разветвленного типа ПМ следующим образом. Выбирается набор ι в качестве типа индивидов. Например, ι может быть набором натуральных чисел, или набором атомов (в теории множеств с атомами), или любым другим набором, который вас интересует. Тогда, если τ ₁ ,...,τ _m являются типами, тип (τ ₁ ,...,τ _m ) — это степенной набор произведения τ ₁ ×...×τ _m , который также можно неформально рассматривать как набор (пропозициональных предикативных) функций от этого произведения до 2 -element set {true, false}. Разветвленный тип (τ ₁ ,...,τ _m |σ ₁ ,...,σ _n ) можно смоделироватькак произведение типа (τ ₁ ,...,τ _m ,σ ₁ ,...,σ _n ) с набором последовательностей из n кванторов (∀ или ∃), указывающих, какой квантор следует применить к каждой переменной σ _я . (Можно немного изменить это, разрешив количественную оценку σ в любом порядке или позволив им возникать перед некоторыми из τ, но это не имеет большого значения, за исключением бухгалтерского учета.)

Во введении ко второму изданию предупреждается:

Одним из моментов, в отношении которого очевидно желательно улучшение, является аксиома сводимости… Эта аксиома имеет чисто прагматическое обоснование… но это явно не та аксиома, которой мы можем довольствоваться. Однако по этому вопросу нельзя сказать, что удовлетворительное решение еще достижимо. Доктор Леон Чвистек [Теория конструктивных типов] пошел героическим путем отказа от аксиомы, не приняв никакой замены; из его работ ясно, что этот курс заставляет нас пожертвовать многим из обычной математики. Есть еще один курс, рекомендованный Витгенштейном† (†Logico-Philosophicus Tractatus, *5.54ff) по философским соображениям. Это значит предположить, что функции предложений всегда являются функциями истинности и что функция может появляться в предложении только через его значения. (…) [Прорабатывая последствия] ... теория индуктивных кардиналов и порядковых чисел сохранилась; но кажется, что теория бесконечных дедекиндовых и хорошо упорядоченных рядов в значительной степени терпит крах, так что иррациональные числа и действительные числа в целом больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора о том, что 2n > n, неверно, если n не конечно.

Возможно, можно было бы пожертвовать бесконечными упорядоченными рядами ради логической строгости, но теория действительных чисел является неотъемлемой частью обычной математики и вряд ли может быть предметом разумных сомнений. Поэтому мы имеем право (sic) предположить, что некоторые истинные логические аксиомы оправдывают это. Требуемая аксиома может быть более ограниченной, чем аксиома сводимости, но если так, то ее еще предстоит открыть.

Обозначения

Основная статья: Глоссарий Principia Mathematica

Один автор отмечает, что «обозначения в этой работе были заменены последующим развитием логики в 20-м веке до такой степени, что у новичка вообще возникают проблемы с чтением PM»; хотя большая часть символического содержания может быть преобразована в современные обозначения, исходные обозначения сами по себе являются «предметом научных споров», а некоторые обозначения «воплощают в себе основные логические доктрины, поэтому их нельзя просто заменить современной символикой».

Курт Гёдель резко критиковал эти обозначения: «Прежде всего, не хватает точного определения синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств». Это отражено в приведенном ниже примере символов « p », « q », « r » и «⊃», которые можно сформировать в строку « p ⊃ q ⊃ r ». PM требует определения того, что означает эта строка символов с точки зрения других символов; в современных трактовках «правила образования» (синтаксические правила, ведущие к «правильно сформированным формулам») предотвратили бы образование этой строки.

Источник обозначений : Глава I «Предварительные пояснения идей и обозначений» начинается с источника элементарных частей обозначений (символов =⊃≡−ΛVε и системы точек):

«Обозначения, принятые в настоящей работе, основаны на обозначениях Пеано , и последующие объяснения в некоторой степени смоделированы на тех, которые он предваряет к своей Formulario Mathematico [т. е. Peano 1889]. Принято его использование точек в качестве скобок, и то же самое можно сказать и о многих его символах» ( PM 1927:4).

PM изменил Ɔ Пеано на ⊃, а также принял несколько более поздних символов Пеано, таких как ℩ и ι, а также практику Пеано переворачивать буквы вверх ногами.

Премьер-министр заимствует знак утверждения «⊦» из Begriffsschrift Фреге 1879 года :

«(I)t можно прочитать «это правда, что»

Таким образом, чтобы утверждать предложение p, PM пишет:

"⊦ .п " . ( ВС 1927:92)

(Обратите внимание, что, как и в оригинале, левая точка квадратная и большего размера, чем точка справа.)

Большую часть остальных обозначений в PM придумал Уайтхед.

Введение в обозначения «Раздел А Математическая логика» (формулы ✱1–✱5.71)

премьер - министра точки используются аналогично круглым скобкам. Каждая точка (или несколько точек) представляет собой левую или правую скобку или логический символ ∧. Более одной точки указывает на «глубину» скобок, например « . », « : » или « :. », « :: ». Однако положение соответствующей правой или левой скобки не указывается явно в обозначениях, а должно быть выведено из некоторых правил, которые являются сложными и порой неоднозначными. Более того, когда точки обозначают логический символ ∧, его левый и правый операнды необходимо выводить по аналогичным правилам. Сначала нужно решить, исходя из контекста, обозначают ли точки левую или правую скобку или логический символ. Затем нужно решить, насколько далеко находится другая соответствующая скобка: здесь продолжается до тех пор, пока не встретится либо большее количество точек, либо такое же количество следующих точек, имеющих равную или большую «силу», либо конец строки. Точки рядом со знаками ⊃, ≡, ∨, =Df имеют большую силу, чем точки рядом с ( x ), (∃ x ) и т. д., которые имеют большую силу, чем точки, обозначающие логическое произведение ∧.

Пример 1. Линия

✱ 3.4 . ⊢ : п . q . ⊃ . п ⊃ q

соответствует

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Две точки, стоящие вместе сразу после знака утверждения, указывают на то, что утверждается вся строка: поскольку их две, их область действия больше, чем у любой из одиночных точек справа от них. Они заменяются левой скобкой, стоящей на месте точек, и правой скобкой в ​​конце формулы, таким образом:

⊢ (п . q . ⊃ . p ⊃ q).

(На практике эти крайние круглые скобки, заключающие в себя всю формулу, обычно опускаются.) Первая из одиночных точек, стоящих между двумя пропозициональными переменными, представляет собой соединение. Он относится к третьей группе и имеет самую узкую сферу применения. Здесь он заменен современным символом союза «∧», таким образом

⊢ (р ∧ q . ⊃ . p ⊃ q).

Две оставшиеся одиночные точки обозначают главную связку всей формулы. Они иллюстрируют полезность точечной записи при выборе тех связок, которые относительно более важны, чем те, которые их окружают. Та, что слева от «⊃», заменяется парой круглых скобок, правая — там, где находится точка, а левая — настолько далеко влево, насколько это возможно, не пересекая группу точек большей силы, в в этом случае две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)

Точка справа от «⊃» заменяется левой скобкой, которая идет туда, где находится точка, и правой скобкой, которая идет настолько далеко вправо, насколько это возможно, не выходя за рамки, уже установленные группой точек большего размера. сила (в данном случае две точки, следующие за знаком утверждения). Таким образом, правая скобка, которая заменяет точку справа от «⊃», помещается перед правой скобкой, которая заменяет две точки после знака утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Пример 2 с двойными, тройными и четверными точками:

✱9.521 . ⊢ : : (∃x). φх. ⊃ . q : ⊃ : . (∃x). φх. в. р: ⊃. qvr

означает

((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

Пример 3, с двойной точкой, обозначающей логический символ (из тома 1, стр. 10):

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. p ⊃ r

означает

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r )⊃( p ⊃ r ))

где двойная точка представляет логический символ ∧ и может рассматриваться как имеющий более высокий приоритет, чем нелогическая одиночная точка.

Позже в разделе ✱14 появляются скобки «[ ]», а в разделах ✱20 и последующих — фигурные скобки «{ }». Неясно, имеют ли эти символы конкретное значение или предназначены только для визуального пояснения. К сожалению, одна точка (а также « : », « :. », « :: » и т. д.) также используется для обозначения «логического продукта» (современное логическое И, часто обозначаемое «&» или «∧»).

Логическая импликация представлена ​​буквой «Ɔ» Пеано, упрощенной до «⊃», логическое отрицание символизируется удлиненной тильдой, т. е. «~» (современное «~» или «¬»), логическое ИЛИ — «v». Символ «=" вместе с «Df» используется для обозначения «определяется как», тогда как в разделах ✱13 и последующих символ «=" определяется как (математически) «идентично», т. е. современное математическое «равенство» ( см. обсуждение в разделе ✱13 ). Логическая эквивалентность обозначается знаком «≡» (современное «тогда и только если»); «Элементарные» пропозициональные функции пишутся обычным образом, например, « f ( p )», но в дальнейшем знак функции появляется непосредственно перед переменной без скобок, например, «φ x », «χ x » и т. д.

Например, PM вводит определение «логического продукта» следующим образом:

✱3.01 . п . q . = . ~(~ п v ~ q ) Df .

« p.q » q — логическое произведение p и . где

✱3.02 . п ⊃ q ⊃ р . = . п ⊃ q . q ⊃ р Df .

Это определение служит лишь для сокращения доказательств.

Перевод формул в современные символы : разные авторы используют альтернативные символы, поэтому окончательный перевод дать невозможно. Однако из-за критики, подобной приведенной ниже критике Курта Гёделя , лучшие современные трактовки будут очень точными в отношении «правил формирования» (синтаксиса) формул.

Первую формулу можно преобразовать в современный символизм следующим образом:

( п & q ) знак равно _df (~ (~ п v ~ q ))

попеременно

( p & q ) = _df (¬(¬ p v ¬ q ))

попеременно

( п ∧ q ) знак равно _df (¬(¬ p v ¬ q ))

и т. д.

Вторую формулу можно преобразовать следующим образом:

( п → q → р ) знак равно _df ( п → q ) & ( q → р )

Но обратите внимание, что это (логически) не эквивалентно ни ( p → ( q → r )) ни (( p → q ) → r ), и эти два значения также не эквивалентны логически.

Введение в обозначения «Раздел B Теории кажущихся переменных» (формулы ✱8–✱14.34)

Эти разделы посвящены тому, что сейчас известно как логика предикатов и логика предикатов с тождеством (равенством).

• Примечание: В результате критики и достижений во втором издании PM (1927 г.) ✱9 заменяется новым ✱8 (Приложение А). Этот новый раздел устраняет проводимое в первом издании различие между реальными и кажущимися переменными, а также устраняет «примитивную идею «утверждение пропозициональной функции». Чтобы усложнить рассмотрение, ✱8 вводит понятие замены «матрицы» и штриха Шеффера :

• Матрица : В современном использовании PM матрица представляет собой (по крайней мере, для пропозициональных функций ) таблицу истинности , т. е. все истинностные значения пропозициональной или предикатной функции.
• Шеффер Штрих : Является ли современное логическое И-НЕ (НЕ-И), т.е. «несовместимость», означающая:

«Дано два предложения p и q , тогда ' p | q ' означает, что «предложение p несовместимо с предложением q », т. е. если оба предложения p и q оцениваются как истинные, тогда и только тогда p | q оцениваются как ложные». После раздела ✱8 штрих Шеффера не используется.

Раздел ✱10: Экзистенциальные и универсальные «операторы» : PM добавляет «( x )» для обозначения современного символизма «для всех x », ​​т.е. «∀ x », и использует букву E с обратной засечкой для обозначения «существует x». ", то есть "(Ǝx)", то есть современный "∃x". Типичные обозначения будут похожи на следующие:

«( x ) . φ x » означает «для всех значений переменной x функция φ оценивается как истина»

«(Ǝ x ) . φ x » означает «для некоторого значения переменной x функция φ оценивается как истина»

Разделы ✱10, ✱11, ✱12: Свойства переменной, распространяющиеся на всех людей : раздел ✱10 вводит понятие «свойства» «переменной». PM приводит пример: φ — это функция, которая указывает «является греком», ψ указывает «является человеком», а χ указывает «является смертным». Затем эти функции применяются к переменной x . Теперь премьер-министр может написать и оценить:

( х ) . ψ х

Обозначение выше означает «для всех x x — человек». Учитывая совокупность людей, можно оценить истинность или ложность приведенной выше формулы. Например, учитывая ограниченный набор людей {Сократ, Платон, Рассел, Зевс}, вышеизложенное оценивается как «истинное», если мы допускаем, что Зевс был человеком. Но это не удается для:

( х ) . φ х

потому что Рассел не грек. И это терпит неудачу для

( х ) . х х

потому что Зевс не смертный.

Оснащенный этими обозначениями, ПМ может создавать формулы, выражающие следующее: «Если все греки — люди, и если все люди — смертные, то все греки — смертные». ( ПМ 1962:138)

( х ) . φ Икс ⊃ ψ Икс : ( Икс ) . ψ Икс ⊃ χ Икс : ⊃ : ( Икс ) . φ x ⊃ χ x

Другой пример: формула:

✱10.01 . (Ǝ х ) . φ х . = . ~( х ) . ~φ x Df .

означает: «Символы, представляющие утверждение: «Существует по крайней мере один x , удовлетворяющий функции φ», определяются символами, представляющими утверждение: «Неверно, что при всех значениях x не существует значений x, удовлетворяющих φ».

Символизмы ⊃ _x и «≡ _x » появляются в ✱10.02 и ✱10.03 . Оба являются аббревиатурами универсальности (т. е. для всех), которые связывают переменную x с логическим оператором. В современных обозначениях вместо знака равенства («=") просто использовались круглые скобки:

✱10.02 φ Икс ⊃ _Икс ψ Икс . = . ( х ) . φ x ⊃ ψ x Df

Современные обозначения: ∀ x (φ( x ) → ψ( x )) (или вариант)

✱10.03 φ Икс ≡ _Икс ψ Икс . = . ( х ) . φ x ≡ ψ x Df

Современные обозначения: ∀ x (φ( x ) ↔︎ ψ( x )) (или вариант)

ПМ приписывает первый символизм Пеано.

В разделе ✱11 эта символика применяется к двум переменным. Таким образом, следующие обозначения: ⊃ _x , ⊃ _y , ⊃ _{x, y} могут появиться в одной формуле.

В разделе ✱12 вновь вводится понятие «матрица» (современная таблица истинности ), понятие логических типов и, в частности, понятия функций и высказываний первого и второго порядка .

Новый символизм «φ ! x » представляет любое значение функции первого порядка. Если над переменной ставится циркумфлекс «＾», то это «индивидуальное» значение y , что означает, что « ŷ » указывает на «индивидуумы» (например, строку в таблице истинности); это различие необходимо из-за матричной/экстенсиональной природы пропозициональных функций.

Теперь, вооружившись понятием матрицы, PM может утверждать свою спорную аксиому сводимости : функция одной или двух переменных (двух достаточно для PM использования ) , где все ее значения заданы (т. е. в ее матрице), (логически) эквивалент («≡») некоторой «предикативной» функции тех же переменных. Определение с одной переменной приведено ниже в качестве иллюстрации обозначений ( PM 1962: 166–167):

✱12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ _х . е ! х Пп ;

Pp — это «Примитивное суждение» («Предложения, принятые без доказательства») ( PM 1962:12, т.е. современные «аксиомы»), добавление к 7, определенным в разделе ✱1 (начиная с ✱1.1 modus ponens ). Их следует отличать от «примитивных идей», включающих знак утверждения «⊢», отрицание «~», логическое ИЛИ «V», понятия «элементарного суждения» и «элементарной пропозициональной функции»; они настолько близки, насколько ПМ подходит к правилам формирования обозначений, т. е. синтаксису .

Это означает: «Мы утверждаем истинность следующего: существует функция f со свойством, которая: при всех значениях x их оценки в функции φ (т. е. результирующая их матрица) логически эквивалентны некоторой f, вычисленной в тех же самых значениях. значения x (и наоборот, отсюда логическая эквивалентность)». Другими словами: для матрицы, определенной свойством φ, примененным к переменной x , существует функция f , которая при применении к x логически эквивалентна матрице. Или: каждая матрица φ x может быть представлена ​​функцией f, примененной к x , и наоборот.

✱13: Оператор идентификации «=" : это определение, в котором знак используется двумя разными способами, как отмечено в цитате из PM :

✱13.01 . х = у . = : (φ) : φ ! х . ⊃ . е ! y Df

означает:

«Это определение гласит, что x и y следует называть идентичными, когда каждая предикативная функция, которой удовлетворяет x, также удовлетворяется и y ... Обратите внимание, что второй знак равенства в приведенном выше определении сочетается с «Df» и, следовательно, не является на самом деле тот же самый символ, что и определяемый знак равенства».

Знак «не равно» «≠» появляется в качестве определения в ✱13.02 .

✱14: Описания :

« Описание — это фраза вида «термин y , который удовлетворяет φ ŷ , где φ ŷ — некоторая функция, удовлетворяемая одним и только одним аргументом».

Из этого PM использует два новых символа: прямую «E» и перевернутую йоту «℩». Вот пример:

✱14.02 . Э ! ( ℩ y ) (φ y ) . знак равно : ( Ǝ б ) : φ y . ≡ _й . y знак равно б Df .

Это имеет значение:

« Y, удовлетворяющий φŷ , существует», что справедливо тогда и только тогда, когда φŷ удовлетворяется одним значением y и никаким другим значением» ( PM 1967:173–174) .

Введение в обозначения теории классов и отношений

Текст переходит от раздела ✱14 непосредственно к основополагающим разделам ✱20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ и ✱21 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ . «Отношения» — это то, что известно в современной теории множеств как множества упорядоченных пар . В разделах ✱20 и ✱22 представлены многие символы, которые до сих пор используются. К ним относятся символы «ε», «⊂», «∩», «∪», «–», «Λ» и «V»: «ε» означает «является элементом» ( PM 1962:188); «⊂» ( ✱22.01 ) означает «содержится в», «является подмножеством»; «∩» ( ✱22.02 ) означает пересечение (логическое произведение) классов (множеств); «∪» ( ✱22.03 ) означает объединение (логическую сумму) классов (множеств); «–» ( ✱22.03 ) означает отрицание класса (множества); «Λ» означает нулевой класс; а «V» означает универсальный класс или вселенную дискурса.

Маленькие греческие буквы (кроме «ε», «ι», «π», «φ», «ψ», «χ» и «θ») обозначают классы (например, «α», «β», «γ»). ", "δ" и т. д.) ( PM 1962:188):

х е а

«Использование одной буквы вместо таких символов, как ẑ (φ z ) или ẑ (φ ! z ), практически необходимо, поскольку в противном случае обозначение быстро становится невыносимо громоздким. Таким образом, ' x ε α' будет означать, что ' x есть член класса α'". ( ПМ 1962:188)

α ∪ –α = V

Объединение множества и обратного ему множества есть универсальное (завершенное) множество.

α ∩ –α = Λ

Пересечение множества и обратного ему множества — это нулевое (пустое) множество.

Применительно к отношениям из раздела ✱23 «ИСЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ » символы «⊂», «∩», «∪» и «–» приобретают точку: например: «⊍», «∸».

Понятие и обозначения «класса» (множества) : В первом издании ПМ утверждает, что для определения того, что подразумевается под «классом», не требуется никаких новых примитивных идей, а только два новых «примитивных предложения», называемых аксиомами. сводимости классов и отношений соответственно ( PM 1962:25). Но прежде чем это понятие будет определено, ПМ считает необходимым создать своеобразную нотацию « ẑ (φ z )», которую он называет «фиктивным объектом». ( ПМ 1962:188)

⊢ : Икс ε ẑ (φ z ) . ≡ . (φ х )

«т. е. ' x является членом класса, определенного (φ ẑ )' [логически] эквивалентно ' x удовлетворяет (φ ẑ )' или '(φ x ) истинно.'». ( ВС 1962:25)

По крайней мере, ПМ может рассказать читателю, как ведут себя эти вымышленные объекты, потому что «Класс полностью определен, когда известен его членство, то есть не может быть двух разных классов, имеющих одинаковое членство» ( PM 1962:26). Это символизируется следующим равенством (аналогично ✱13.01 выше):

ẑ (φ z ) знак равно ẑ (ψ z ) . ≡ : ( Икс ) : φ Икс . ≡ . ψ х

«Последнее является отличительной характеристикой классов и дает нам право рассматривать ẑ (ψ z ) как класс, определяемый [функцией] ψ ẑ ». ( ПМ 1962:188)

Возможно, сказанное выше может быть прояснено обсуждением классов во Введении ко второму изданию , которое избавляется от аксиомы сводимости и заменяет ее понятием: «Все функции функций экстенсиональны» ( PM 1962:xxxix), т.е.

φ Икс ≡ _Икс ψ Икс . ⊃ . ( x ) : ƒ(φ ẑ ) ≡ ƒ(ψ ẑ ) ( PM 1962:xxxix)

Это имеет разумный смысл: «ЕСЛИ для всех значений x истинностные значения функций φ и ψ от x [логически] эквивалентны, ТО функции ƒ данного φ ẑ и ƒ ψ ẑ [логически] эквивалентны ." Премьер-министр утверждает, что это «очевидно»:

«Это очевидно, поскольку φ может появиться в ƒ(φ ẑ ) только путем замены значений φ на p, q, r, ... в [логической] функции, и, если φ x ≡ ψ x , замена φ x на p в [логической] функции дает то же истинностное значение функции истинности, что и замена ψ x , следовательно, больше нет никакой причины различать классы функций, поскольку мы имеем: в силу вышеизложенного,

φ Икс ≡ _Икс ψ Икс . ⊃ . ( х ) . φ ẑ = . ψ ẑ ".

Обратите внимание на изменение знака равенства «=" справа. Далее PM заявляет, что продолжит придерживаться обозначения « ẑ (φ z )», но это просто эквивалентно φ ẑ , и это класс. (все цитаты: PM 1962:xxxix).

и

Согласно «Логистическим основам математики» Карнапа , Рассел хотел создать теорию, о которой можно было бы правдоподобно сказать, что она выводит всю математику из чисто логических аксиом. Однако Principia Mathematica требовала, в дополнение к основным аксиомам теории типов, еще три аксиомы, которые, казалось, были неверны просто с точки зрения логики, а именно аксиома бесконечности , аксиома выбора и аксиома сводимости . Поскольку первые две были экзистенциальными аксиомами, Рассел сформулировал зависящие от них математические утверждения как условные. Но сводимость была необходима для того, чтобы быть уверенным, что формальные утверждения правильно выражают утверждения реального анализа, так что зависящие от нее утверждения не могут быть переформулированы как условные. Фрэнк Рэмси пытался доказать, что в разветвлении Расселом теории типов нет необходимости, чтобы можно было устранить сводимость, но эти аргументы казались неубедительными.

Помимо статуса аксиом как логических истин , можно задать следующие вопросы о любой системе, такой как ПМ:

• можно ли вывести противоречие из аксиом (вопрос о несогласованности ), и
• существует ли математическое утверждение , которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в системе (вопрос полноты ).

Логика высказываний сама по себе была известна как непротиворечивая, но то же самое не было установлено для Principia аксиом теории множеств . (См. вторую проблему Гильберта .) Рассел и Уайтхед подозревали, что система в PM неполна: например, они указывали, что она не кажется достаточно мощной, чтобы показать, что кардинал ℵ _ω существует. Однако можно задаться вопросом, является ли какое-то рекурсивно аксиоматизируемое его расширение полным и непротиворечивым.

Гёдель 1930, 1931

В 1930 году теорема Гёделя о полноте показала, что логика предикатов первого порядка сама по себе полна в гораздо более слабом смысле, то есть любое предложение, которое недоказуемо на основе данного набора аксиом, на самом деле должно быть ложным в некоторой модели аксиом. Однако это не более сильное чувство полноты, желаемое для Principia Mathematica, поскольку данная система аксиом (например, системы Principia Mathematica) может иметь множество моделей, в некоторых из которых данное утверждение истинно, а в других это утверждение ложно, так что аксиомы не решают это утверждение.

Теоремы Гёделя о неполноте пролили неожиданный свет на эти два взаимосвязанных вопроса.

Первая теорема Гёделя о неполноте показала, что никакое рекурсивное расширение «Начал» не может быть одновременно непротиворечивым и полным для арифметических утверждений. (Как упоминалось выше, уже было известно, что Principia сама по себе является неполной для некоторых неарифметических утверждений.) Согласно теореме, внутри каждой достаточно мощной рекурсивной логической системы (такой как Principia ) существует утверждение G , которое по существу гласит: « утверждение G невозможно доказать». Такое утверждение является своего рода « Уловкой-22» : если G доказуемо, то оно ложно, и, следовательно, система несовместна; и если G недоказуемо, то оно истинно, и, следовательно, система неполна.

Вторая теорема Гёделя о неполноте (1931 г.) показывает, что никакая формальная система, расширяющая базовую арифметику, не может использоваться для доказательства ее собственной непротиворечивости. нет противоречий Таким образом, утверждение «в системе Начал » не может быть доказано в системе «Начала» , если в системе нет противоречий (в этом случае его можно доказать как истинное, так и ложное).

Витгенштейн 1919, 1939

Ко второму изданию PM Рассел убрал свою аксиому о сводимости к новой аксиоме (хотя он и не формулирует ее как таковую). Гёдель 1944:126 описывает это так:

Это изменение связано с новой аксиомой, согласно которой функции могут появляться в предложениях только «через свои значения», т. е. экстенсионально (...) [это] совершенно не вызывает возражений даже с конструктивной точки зрения (...) при условии, что кванторы всегда Это изменение от квазиинтенсиональной позиции к полностью экстенсиональной позиции также ограничивает логику предикатов вторым порядком, то есть функциями функций: «Мы можем решить, что математика должна ограничиться функциями функций, которые подчиняются определенным порядкам». выше предположение».

- ПМ 2-е издание с. 401, Приложение С

Новое предложение привело к печальным последствиям. «Экстенсиональная позиция» и ограничение на логику предикатов второго порядка означают, что пропозициональная функция, распространенная на всех индивидов, например «Все «x» синие», теперь должна перечислять все «x», которые удовлетворяют (истинны в) предложение, перечислив их в возможно бесконечной конъюнкции: например, x ₁ ∧ x ₂ ∧ . . . ∧ Икс _п ∧ . . По иронии судьбы, это изменение произошло в результате критики со стороны Людвига Витгенштейна в его «Логико-философском трактате» 1919 года . Как описано Расселом во введении ко второму изданию PM :

Есть еще один курс, рекомендованный Витгенштейном† († Tractatus Logico-Philosophicus , *5.54ff) по философским соображениям. Это значит предположить, что функции предложений всегда являются функциями истинности и что функция может появляться в предложении только через его значения. (...) [Прорабатывая последствия] оказывается, что все в Vol. I остается верным (хотя часто требуются новые доказательства); теория индуктивных кардиналов и порядковых чисел сохранилась; но кажется, что теория бесконечных дедекиндовых и хорошо упорядоченных рядов в значительной степени терпит крах, так что иррациональные числа и действительные числа в целом больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора, что 2 ^н > n разрушается, если только n не конечно».

- PM, 2-е издание, перепечатано в 1962 г.: xiv, также ср. новое Приложение C)

Другими словами, тот факт, что бесконечный список не может быть реально определен, означает, что концепция «числа» в бесконечном смысле (т.е. континуум) не может быть описана новой теорией, предложенной во втором издании PM .

Витгенштейн в своих «Лекциях по основам математики» в Кембридже (1939 г.) критиковал «Начала» по разным причинам, например:

• Он претендует на раскрытие фундаментальных основ арифметики. Однако фундаментальными являются наши повседневные арифметические действия, такие как счет; возникло стойкое несоответствие ибо если бы между счетом и Principia , это было бы расценено как свидетельство ошибки в Principia (например, что Principia неправильно охарактеризовало числа или сложение), а не как свидетельство ошибки в повседневном счете.
• Методы расчета в Principia можно использовать на практике только с очень небольшими числами. Для вычислений с использованием больших чисел (например, миллиардов) формулы стали бы слишком длинными, и пришлось бы использовать какой-то сокращенный метод, который, несомненно, опирался бы на повседневные методы, такие как подсчет (или же на нефундаментальные и, следовательно, на нефундаментальные методы). сомнительные методы, такие как индукция). снова Итак, Principia зависит от повседневных техник, а не наоборот.

Однако Витгенштейн признавал, что «Начала», тем не менее, могут сделать некоторые аспекты повседневной арифметики более ясными.

Гёдель 1944 г.

Гёдель предложил «критическое, но сочувственное обсуждение логистического порядка идей» в своей статье 1944 года «Математическая логика Рассела». Он написал:

Приходится сожалеть, что этому первому всестороннему и основательному изложению математической логики и выведению из нее математики так сильно не хватает формальной точности в основаниях (содержащихся в ✱1–✱21 [ «Начал» т. е. разделы ✱1–✱5 (логика высказываний), ✱8–14 (логика предикатов с тождеством/равенством), ✱20 (введение в теорию множеств) и ✱21 (введение в теорию отношений)]), которые он представляет в этом отношении. значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Чего не хватает, прежде всего, так это точного определения синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств... Особенно сомнительно это в отношении правила замены и замены определенных символов их определениями ... это главным образом правило замены, которое надо доказать.

Содержание

Часть I Математическая логика. Том I с ✱1 по ✱43

В этом разделе описывается исчисление высказываний и исчисление предикатов, а также приводятся основные свойства классов, отношений и типов.

Часть II Пролегомены к кардинальной арифметике. Том I с ✱50 по ✱97

В этой части рассматриваются различные свойства отношений, особенно те, которые необходимы для кардинальной арифметики.

Часть III Кардинальная арифметика. Том II со 100 по 126 год

Здесь рассматриваются определение и основные свойства кардиналов. Кардинал определяется как класс эквивалентности подобных классов (в отличие от ZFC , где кардинал — это особый вид ординала фон Неймана). Каждый тип имеет свою собственную коллекцию кардиналов, связанных с ним, и для сравнения кардиналов разных типов требуется значительный объем бухгалтерского учета. PM определяет сложение, умножение и возведение в степень кардиналов и сравнивает различные определения конечных и бесконечных кардиналов. ✱120,03 — аксиома бесконечности.

Часть IV Относительно-арифметика. Том II со 150 по 186 год

«Число-отношение» — это класс эквивалентности изоморфных отношений. PM определяет аналоги сложения, умножения и возведения в степень для произвольных отношений. Сложение и умножение аналогично обычному определению сложения и умножения ординалов в ZFC, хотя определение возведения отношений в степень в PM не эквивалентно обычному определению, используемому в ZFC.

Часть V. Серия. Том II с ✱200 по ✱234 и том III с ✱250 по ✱276

Речь идет о сериях — термине ПМ, обозначающем то, что сейчас называется полностью упорядоченным множеством. В частности, он охватывает полные серии, непрерывные функции между рядами с порядковой топологией (хотя, конечно, они не используют эту терминологию), хорошо упорядоченные ряды и ряды без «пробелов» (те, в которых член находится строго между любыми двумя заданными членами). .

Часть VI Количество. Том III с ✱300 по ✱375

В этом разделе строится кольцо целых чисел, поля рациональных и действительных чисел, а также «семейства векторов», которые связаны с тем, что сейчас называют торсорами над абелевыми группами.

Сравнение с теорией множеств

В этом разделе система PM сравнивается с обычными математическими основами ZFC. Система ПМ примерно сравнима по силе с теорией множеств Цермело (или, точнее, с ее версией, в которой аксиома разделения ограничивает все кванторы).

• Система логики высказываний и исчисления предикатов в ПМ по существу такая же, как и сейчас, за исключением того, что изменились обозначения и терминология.
• Наиболее очевидное различие между ПМ и теорией множеств состоит в том, что в ПМ все объекты принадлежат к одному из множества непересекающихся типов. Это означает, что для каждого (бесконечного) типа все дублируется: например, каждый тип имеет свои порядковые номера, кардиналы, действительные числа и т. д. Это приводит к большому объему бухгалтерского учета для связи различных типов друг с другом.
• В ZFC функции обычно кодируются как наборы упорядоченных пар. В PM функции рассматриваются несколько иначе. Прежде всего, «функция» означает «пропозициональную функцию», нечто, принимающее значения «истинно» или «ложно». Во-вторых, функции не определяются своими значениями: возможно иметь несколько разных функций, принимающих одни и те же значения (например, можно рассматривать 2 x +2 и 2( x +1) как разные функции на том основании, что компьютерные программы для оценки они разные). Функции в ZFC, заданные наборами упорядоченных пар, соответствуют тому, что PM называет «матрицами», а более общие функции в PM кодируются путем количественного определения некоторых переменных. В частности, PM различает функции, определенные с использованием количественной оценки, и функции, не определенные с использованием количественной оценки, тогда как ZFC не делает этого различия.
• У ПМ нет аналога аксиомы замены , хотя практического значения это не имеет, так как эта аксиома очень мало используется в математике за пределами теории множеств.
• ПМ подчеркивает отношения как фундаментальную концепцию, тогда как в современной математической практике именно функции, а не отношения рассматриваются как более фундаментальные; например, теория категорий делает упор на морфизмы или функции, а не на отношения. (Однако существует аналог категорий, называемый аллегориями , который моделирует отношения, а не функции, и очень похож на систему типов PM.)
• В PM кардиналы определяются как классы схожих классов, тогда как в ZFC кардиналы представляют собой специальные порядковые номера. В PM для каждого типа имеется свой набор кардиналов с некоторыми сложными механизмами перемещения кардиналов между типами, тогда как в ZFC есть только один тип кардиналов. Поскольку PM не имеет эквивалента аксиомы замены, он не может доказать существование кардиналов, больших, чем ℵ _ω .
• В PM ординалы рассматриваются как классы эквивалентности хорошо упорядоченных множеств, и, как и в случае с кардиналами, для каждого типа существует свой набор ординалов. В ZFC существует только один набор ординалов, обычно определяемый как ординалы фон Неймана . Одна странная особенность PM заключается в том, что у них нет порядкового номера, соответствующего 1, что приводит к многочисленным ненужным усложнениям их теорем. Определение порядкового возведения в степень α ^б в PM не эквивалентно обычному определению в ZFC и обладает некоторыми весьма нежелательными свойствами: например, оно не непрерывно по β и не упорядочено (поэтому не является даже ординалом).
• Конструкции целых, рациональных и действительных чисел в ZFC со временем были значительно упрощены по сравнению с конструкциями в PM.

Различия между редакциями

За исключением исправлений опечаток, основной текст ПМ не изменился между первым и вторым изданиями. Основной текст в первом и втором томах был обнулен, чтобы в каждом он занимал меньше страниц. Во втором издании том 3 не был сброшен, а был перепечатан фотографически с той же нумерацией страниц; исправления все же были внесены. Общее количество страниц (без форзацев) в первом издании — 1996; во втором - 2000. В первый том добавлено пять новых дополнений:

• 54-страничное введение Рассела, описывающее изменения, которые они бы внесли, если бы у них было больше времени и энергии. Основное изменение, которое он предлагает, — это устранение спорной аксиомы сводимости, хотя он признает, что не знает ей удовлетворительной замены. Он также кажется более благосклонным к идее, что функция должна определяться ее значениями (как это обычно бывает в современной математической практике).
• Приложение А под номером *8, 15 страниц, посвящено инсульту Шеффера.
• Приложение B под номером *89, в котором обсуждается индукция без аксиомы сводимости.
• Приложение C, 8 страниц, обсуждает пропозициональные функции.
• В конце 8-страничный список определений, дающий столь необходимый указатель примерно 500 использованных обозначений.

В 1962 году издательство Кембриджского университета опубликовало сокращенное издание в мягкой обложке, содержащее части второго издания тома 1: новое введение (и старое), основной текст до *56 и приложения A и C.

Издания

• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1910). Принципы математики . Том. 1 (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . hdl : 2027/miun.aat3201.0001.001 . ЯФМ   41.0083.02 . LCCN   а11002789 .
• ——————————; ———————— (1912). Принципы математики . Том. 2 (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. hdl : 2027/miun.aat3201.0001.001 . ЯФМ   43.0093.03 . LCCN   а11002789 .
• ——————————; ———————— (1913). Принципы математики . Том. 3 (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. hdl : 2027/miun.aat3201.0001.001 . ЯФМ   44.0068.01 . LCCN   а11002789 .
• ——————————; ———————— (1925). Принципы математики . Том. 1 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. hdl : loc.rbc/General.15133v1.1 . ISBN  978-0521067911 . ЯФМ   51.0046.06 . LCCN   25015133 .
• ——————————; ———————— (1927). Принципы математики . Том. 2 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. hdl : loc.rbc/General.15133v2.1 . ISBN  978-0521067911 . ЯФМ   53.0038.02 . LCCN   25015133 .
• ——————————; ———————— (1927). Принципы математики . Том. 3 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. hdl : loc.rbc/General.15133v3.1 . ISBN  978-0521067911 . ЯФМ   53.0038.02 . LCCN   25015133 .
• ——————————; ———————— (1997) [1962]. Principia Mathematica до ✱56 . Кембриджская математическая библиотека (сокращенное изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511623585 . ISBN  0-521-62606-4 . МР   1700771 . Збл   0877.01042 .

Первое издание было переиздано в 2009 году издательством Merchant Books. ISBN   978-1-60386-182-3 , ISBN   978-1-60386-183-0 , ISBN   978-1-60386-184-7 .

Наследие

Эндрю Д. Ирвин говорит, что ПМ вызвал интерес к символической логике и продвинул эту тему, популяризировав ее; он продемонстрировал силу и возможности символической логики; и оно показало, как достижения философии математики и символической логики могут идти рука об руку с огромной плодотворностью. Частично ПМ был вызван интересом к логицизму , взгляду, согласно которому все математические истины являются логическими истинами. Несмотря на свои недостатки, ПМ оказал влияние на несколько более поздних достижений в металогике, включая теоремы Гёделя о неполноте .

Логическое обозначение в PM не получило широкого распространения, возможно, потому, что его основы часто считаются формой теории множеств Цермело-Френкеля .

Научный, исторический и философский интерес к ПМ велик и постоянен, и математики продолжают работать с ПМ , либо по историческим причинам понимания текста или его авторов, либо для дальнейшего понимания формализации математики и логики.

Современная библиотека поместила «PM» на 23-е место в списке 100 лучших англоязычных научно-популярных книг двадцатого века.

См. также

• Аксиоматическая теория множеств
• Булева алгебра
• Язык обработки информации - первая вычислительная демонстрация теорем в PM
• Введение в математическую философию

Ссылки

• Эндертон, Герберт Б. (2001) [1972]. Математическое введение в логику (2-е изд.). Сан-Диего, Калифорния: Academic Press . ISBN  0-12-238452-0 .
• Гёдель, Курт (1944). «Математическая логика Рассела». В Шилппе, Пол Артур (ред.). Философия Бертрана Рассела . Библиотека живых философов. Том. 5 (1-е изд.). Чикаго: Издательство Северо-Западного университета . стр. 123–153. LCCN   44006786 . OCLC   2007378 . ОЛ   6467049М .
• Гёдель, Курт (1990). Феферман, Соломон ; и др. (ред.). Собрание сочинений, том II, публикации 1938–1974 гг . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-503972-6 .
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней 1870–1940 гг . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-05857-1 .
• Харди, GH (2004) [1940]. Извинения математика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-42706-7 .
• Клини, Стивен Коул (1952). Введение в метаматематику (6-е переиздание). Амстердам, Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии . LCCN   53001848 . OCLC   9296141 .
• Литтлвуд, Дж. Э. (1986). Боллобас, Бела (ред.). Сборник Литтлвуда . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-33058-0 . МР   0872858 .
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (3-е печатное издание). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета . ISBN  0-674-32449-8 .
• Вебер, Мишель ; Десмонд, Уильям младший, ред. (2008). Справочник по процессуальному мышлению Уайтхеда, Том 1 . Heusenstamm: Ontos Verlag . ISBN  978-3-938793-92-3 . Проверено 13 сентября 2023 г. - через Academia.edu .
• Витгенштейн, Людвиг (2009). Основные труды: Избранные философские сочинения . Нью-Йорк: ХарперКоллинз . ISBN  978-0-06-155024-9 .

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • Principia Mathematica - А.Д. Ирвин
  • Обозначения в Principia Mathematica - Бернард Лински.
• Предложение ✱54.43 в более современных обозначениях ( Метаматематика )