Случайная матрица

В теории вероятности и математической физике -это случайная матрица случайная , матрица а также матрица, в которой некоторые или все его записи выбраны случайным образом из распределения вероятностей . Теория случайной матрицы (RMT) - это изучение свойств случайных матриц, часто когда они становятся большими. RMT предоставляет методы, такие как теория среднего поля , диаграммы, метод полости или метод реплики для расчета величин, таких как следы , спектральные плотности или скалярные продукты между собственными векторами. таких как спектр ядер Много физических явлений , тяжелых атомов, теплопроводность , решетки или появление хаоса квантового может быть смоделирован математически как проблемы, касающиеся больших, случайных матриц.

Приложения

Физика

У ядерной физики введите случайные матрицы Юджин Вигнер для моделирования ядер тяжелых атомов. Вигнер предположил, что пространства между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать пространства между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии базовой эволюции. При твердотельной физике случайные матрицы моделируют поведение крупных неупорядоченных гамильтонов в приближении среднего поля .

В квантовом хаосе предполагает, что спектральная статистика квантовых систем чьи классические аналоги демонстрируют, что спектральная статистика квантовых систем (BGS) демонстрирует, что спектральная статистика квантовых систем.

В квантовой оптике преобразования, описанные случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых по сравнению с классическими вычислениями (см. Например, модель выборки бозон ). Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть непосредственно реализованы в оптической схеме, отображая их параметры с компонентами оптической цепи (то есть разделения луча и фазовых переключателей).

Теория случайной матрицы также обнаружила приложения к оператору хирального дирака в квантовой хромодинамике , квантовая гравитация в двух измерениях, Мезоскопическая физика , крутящий момент спина , дробный квантовый эффект холла , Андерсон локализация , квантовые точки , и сверхпроводники

Математическая статистика и числовой анализ

В многомерной статистике внедрили случайные матрицы Джона Вишарта , который стремился оценить ковариационные матрицы крупных образцов. Чернофф -, Бернштейн -и неравенство -тип Hoeffding, как правило, может быть укреплено при применении к максимальному собственному значению (то есть собственным значениям наибольшей величины) конечной суммы случайных эрмитовых матриц . Теория случайной матрицы используется для изучения спектральных свойств случайных матриц, таких как выборки ковариации выборки, которые представляют особый интерес к высокоразмерной статистике . Теория случайной матрицы также видела приложения в нейрональных сетях и глубокое обучение , с недавней работой, использующей случайные матрицы, чтобы показать, что настройки гиперпараметра могут быть дешево переданы между большими нейронными сетями без необходимости повторного обучения.

В численном анализе использовались случайные матрицы с момента работы Джона фон Неймана и Германа Голдстана Чтобы описать ошибки вычисления в таких операциях, как умножение матрицы . Хотя случайные записи являются традиционными «общими» входами в алгоритм, концентрация меры, связанная со случайными распределениями матрицы, подразумевает, что случайные матрицы не будут проверять большие части входного пространства алгоритма.

Теория чисел

В теории числа распределение нулей функции Zeta Riemann (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. Связь была впервые обнаружена Хью Монтгомери и Фримен Дайсоном . Он связан с гипотезой Гильберта -Пола .

Бесплатная вероятность

Отношение свободной вероятности со случайными матрицами является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности у других предметов. Voiculescu представил концепцию Freeness в 1983 году в алгебраическом контексте оператора; В начале не было никакого отношения со случайными матрицами. Эта связь была выявлена ​​только позже в 1991 году Voiculescu; Он был мотивирован тем фактом, что распределение лимитов, которое он обнаружил в своей теореме свободного центрального предела, появилось ранее в законе Вигнера о полукруге в контексте случайной матрицы.

Вычислительная нейробиология

В области вычислительной нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами в мозге. Было показано, что динамические модели нейрональных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу Когда дисперсия синаптических весов пересекает критическое значение, на пределе бесконечного размера системы. Результаты по случайным матрицам также показали, что динамика моделей случайной матрицы нечувствительна к средней прочности соединения. Вместо этого стабильность колебаний зависит от изменения силы подключения И время синхронности зависит от топологии сети.

В анализе массовых данных, таких как FMRI , была применена теория случайной матрицы для выполнения уменьшения измерений. При применении алгоритма, такого как PCA , важно иметь возможность выбрать количество значимых компонентов. Критерии выбора компонентов могут быть множественными (на основе объясненной дисперсии, метода Кайзера, собственного значения и т. Д.). Теория случайной матрицы в этом контенте имеет свое представительство распределение Marchenko-Pastur , которое гарантирует теоретические высокие и низкие пределы собственных значений, связанных со случайной переменной ковариационной матрицей. Эта матрица, рассчитанная таким образом, становится нулевой гипотезой, которая позволяет найти собственные значения (и их собственные векторы), которые отклоняются от теоретического случайного диапазона. Исключенные компоненты становятся уменьшенным пространством размерных (см. Примеры в MRI ).

Оптимальный контроль

В оптимальной теории контроля эволюция переменных состояния N во времени зависит в любое время от их собственных значений и от значений k -переменных. При линейной эволюции матрицы коэффициентов появляются в уравнении состояния (уравнение эволюции). В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах с уверенностью не известны, и в этом случае в уравнении состояния существуют случайные матрицы, и проблема известна как один из стохастического контроля . Ключевым результатом в случае линейно-квадратического управления со стохастическими матрицами является то, что принцип эквивалентности определенности не применяется: в то время как в отсутствие неопределенности множителя (то есть с лишь аддитивной неопределенностью) оптимальная политика с функцией квадратичной потери совпадает с Что будет решено, если бы неопределенность была проигнорирована, оптимальная политика может отличаться, если уравнение состояния содержит случайные коэффициенты.

Вычислительная механика

В вычислительной механике эпистемические неопределенности, лежащие в основе отсутствия знаний о физике смоделированной системы, вызывают математические операторы, связанные с вычислительной моделью, которая недостаточно в определенном смысле. Таким операторам не хватает определенных свойств, связанных с неизменной физикой. Когда такие операторы дискретизируются для выполнения вычислительного моделирования, их точность ограничена отсутствующей физикой. Чтобы компенсировать этот недостаток математического оператора, этого недостаточно, чтобы сделать параметры модели случайным, необходимо рассмотреть математический оператор, который является случайным и, таким образом, может генерировать семейства вычислительных моделей в надежде, что один из них захватывает пропавшие физика. Случайные матрицы использовались в этом смысле, С приложениями в виброакустике, распространении волн, материаловедении, механике жидкости, теплопередачи и т. Д.

Инженерный

с множественным выходом ( MIMO ). Теория случайной матрицы может быть применена к усилиям по исследованиям в области электротехники и коммуникаций по изучению, моделированию и разработке массивных радиостанций

История

Теория случайной матрицы сначала привлекла внимание за пределами математической литературы в контексте ядерной физики. Эксперименты Энрико Ферми и других продемонстрировали доказательства того, что отдельные нуклеоны не могут быть аппроксимированы, чтобы двигаться независимо, что привело к тому, что Нильс Бор сформулировал идею составного ядра . Поскольку не было никаких знаний о прямых взаимодействиях нуклеона-нуклеона, Юджин Вигнер и Леонард Эйзенбуд приблизились, что ядерный гамильтониан может быть смоделирован как случайная матрица. Для более крупных атомов распределение собственных значений энергии гамильтониана может быть рассчитано для приближения рассеяния поперечных сечений, вызывая распределение Вишарта .

Гауссовые ансамбли

Наиболее обстоятельными изученными распределениями случайных матриц являются гауссовые ансамбли: Goe, Gue и GSE. Они часто обозначаются их индексом Dyson , β = 1 для GOE, β = 2 для GUE и β = 4 для GSE. Этот индекс считает количество реальных компонентов на элемент матрицы.

Определения

Гауссовый унитарный ансамбль ${\text{GUE}}(n)$ описывается гауссовой мерой с плотностью $${\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}$$ на месте $n\times n$ Отшельники $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$Полем Здесь $$Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$$ является постоянной нормализацией, выбранной таким образом, чтобы интеграл плотности равен единице. Термин унитарный относится к тому факту, что распространение является инвариантным при унитарном спрятке. Гауссовые унитарные ансамблевые модели гамильтонианцев не имеют симметрии с обращением времени.

Гауссовый ортогональный ансамбль ${\text{GOE}}(n)$ описывается гауссовой мерой с плотностью $${\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}$$ На пространстве n × n настоящие симметричные матрицы h = ( h _ij ) ^не
_{я , j = 1} . Его распространение инвариантно при ортогональном сопряжении, и оно моделирует гамильтонианцев с симметрией по времени. Эквивалентно, он генерируется $H=(G+G^{T})/{\sqrt {2n}}$, где $G$ является $n\times n$ Матрица с образцами IID из стандартного нормального распределения.

Гауссовый симплексный ансамбль ${\text{GSE}}(n)$ описывается гауссовой мерой с плотностью $${\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}$$ На пространстве n × n гермитовых кватернионных матриц , например, симметричные квадратные матрицы, состоящие из кватернионов , h = ( h _ij ) ^не
_{я , j = 1} . Его распределение инвариантно подключено к симплектической группе , и оно моделирует гамильтонианцев с симметрией по времени, но без ротационной симметрии.

Точечные корреляционные функции

Ансамбли, как _{определено} здесь $$\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm},$$ из которых все более высокие корреляции следуют теоремой Иссерлиса .

Момент генерирования функций

Момент генерирования функции для GOE $$E[e^{tr(VH)}]=e^{{\frac {1}{4N}}\|V+V^{T}\|_{F}^{2}}$$где $\|\cdot \|_{F}$ это норм Фросениуса .

Спектральная плотность

Спектральная плотность GOE/GUE/GSE, как $N=2^{0},2^{1},...,2^{5}$Полем Они нормализованы так, что распределения сходились к распределению полукруга . Количество «горбов» равно N.

сустава Плотность вероятности для собственных значений λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n gue/goe/gse дается

$${\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta }{4}}\lambda _{k}^{2}}\prod _{i<j}\left|\lambda _{j}-\lambda _{i}\right|^{\beta }~,$$ ( 1 )

где z _{β , n} - это константа нормализации, которая может быть явно вычислена, см. Selberg Integral . В случае GUE ( β = 2) формула (1) описывает детерминант -точечный процесс . Собственные значения отталкивают, поскольку суставная плотность вероятности имеет ноль (из $\beta$Порядок) для совпадения собственных значений $\lambda _{j}=\lambda _{i}$.

Распределение крупнейшего собственного значения для GOE и Gue, явно разрешается. Они сходятся к распределению Трейси -Видома после соответствующего изменения и масштабирования.

Сходимость к полукруглую распределению Wigner

Спектр, разделенный на ${\sqrt {N\sigma ^{2}}}$, сходится в распределении в полукруглое распределение на интервале $[-2,+2]$: $\rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}$Полем Здесь $\sigma ^{2}$ является дисперсией вне диагональных записей. Разница в диагональных записях не имеет значения.

Распределение уровней расстояний

Из упорядоченной последовательности собственных значений $\lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots$, один определяет нормализованные пространства $s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle$, где $\langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle$ это среднее расстояние. Распределение вероятностей расстояний приблизительно дано, $$p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,e^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}$$ для ортогонального ансамбля $\beta =1$, $$p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}$$ Для унитарного ансамбля Gue $\beta =2$, и $$p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}e^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}$$ Для симплексного ансамбля GSE $\beta =4$.

Числовые константы таковы, что $p_{\beta }(s)$ нормализован: $$\int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1$$ и среднее расстояние, это, $$\int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,$$ для $\beta =1,2,4$.

Обобщения

Матрицы Wigner - случайные гермитовые матрицы ${\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$ так что записи $$\left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}$$ Над основными диагоналями находятся независимые случайные переменные с нулевым средним и имеют идентичные вторые моменты.

Ансамбли инвариантных матриц - это случайные германианские матрицы с плотностью в пространстве реальных симметричных/эрмитовых/кватернионных гермитовых матриц, которые имеют форму ${\textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-nV(\mathrm {tr} (H))}~,}$ где функция V называется потенциалом.

Гауссовые ансамбли являются единственными общими особыми случаями этих двух классов случайных матриц. Это является следствием теоремы Портера и Розенцвейга.

Спектральная теория случайных матриц

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений как размер матрицы идет в бесконечность.

Эмпирическая спектральная мера

Эмпирическая спектральная мера μ _H от H определяется $$\mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .$$

Обычно предел $\mu _{H}$ является детерминированной мерой; Это особый случай самооценки . Совокупная функция распределения ограничивающей меры называется интегрированной плотностью состояний и обозначена N ( λ ). Если интегрированная плотность состояний дифференцируется, его производная называется плотностью состояний и обозначена ρ ( λ ).

Альтернативные выражения

$$\mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}$$

Типы конвергенции

Учитывая матричный ансамбль, мы говорим, что его спектральные меры слабо сходятся к $\rho$ IFF для любого измеримого набора $A$, Средне-среднее сходящиеся в ансамбле: $$\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)$$Сходимость слабо почти почти верно : если мы пробуем $H_{1},H_{2},H_{3},\dots$ независимо от ансамбля, затем с вероятностью 1, $$\lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)$$Для любого измеримого набора $A$.

В другом смысле , слабая почти уверенная сходимость означает, что мы выберите $H_{1},H_{2},H_{3},\dots$, не самостоятельно, но путем «растущего» ( стохастический процесс ), затем с вероятностью 1, $\lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)$ Для любого измеримого набора $A$.

Например, мы можем «выращивать» последовательность матриц из гауссового ансамбля следующим образом:

• Выберите бесконечную вдвойне бесконечную последовательность стандартных случайных величин $\{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }$.
• Определить каждый $H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}$ где $G_{n}$ Матрица сделана из записей $\{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}$.

Обратите внимание, что общие ансамбли матрицы не позволяют нам расти, но большинство общих, такие как три гауссовых ансамбля, позволяют нам расти.

Глобальный режим

В глобальном режиме кто -то заинтересован в распределении линейной статистики формы $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$.

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Wigner был описан Юджином Вигнером ; См. Распределение полукруга Wigherer и Wigner предполагает . Что касается выборки ковариационных матриц, то теория была разработана Marčenko и Tastur .

Предел эмпирической спектральной меры инвариантных ансамблей матрицы описывается определенным интегральным уравнением, которое возникает из потенциальной теории .

Колебания

Для линейной статистики n _{f , h} = n ⁻¹ Σ f ( λ _j ) , один также интересуется колебаниями около ∫ f ( λ ) dn ( λ ). Для многих классов случайных матриц, центральная предельная теорема формы $${\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)$$ известен.

Вариационная проблема для унитарных ансамблей

Рассмотрим меру

$\mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-H_{N}(\lambda )}\mathrm {d} \lambda ,\qquad H_{N}(\lambda )=-\sum \limits _{j\neq k}\ln |\lambda _{j}-\lambda _{k}|+N\sum \limits _{j=1}^{N}Q(\lambda _{j}),$

где $Q(M)$ потенциал ансамбля и пусть $\nu$ быть эмпирической спектральной мерой.

Мы можем переписать $H_{N}(\lambda )$ с $\nu$ как

$H_{N}(\lambda )=N^{2}\left[-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x)\right],$

мера вероятности сейчас из формы

$\mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-N^{2}I_{Q}(\nu )}\mathrm {d} \lambda ,$

где $I_{Q}(\nu )$ Вышеуказанный функционал внутри квадратных кронштейнов.

Пусть сейчас

$M_{1}(\mathbb {R} )=\left\{\nu :\nu \geq 0,\ \int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} \nu =1\right\}$

быть пространством одномерных мер по вероятности и рассмотреть минимизацию

$E_{Q}=\inf \limits _{\nu \in M_{1}(\mathbb {R} )}-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x).$

Для $E_{Q}$ существует уникальная мера равновесия $\nu _{Q}$ Благодаря вариационным условиям Эйлера-Лагранжа для некоторой реальной постоянной $l$

$2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)=l,\quad x\in J$

$2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb {R} \setminus J$

где $J=\bigcup \limits _{j=1}^{q}[a_{j},b_{j}]$ является поддержкой меры и определяет

$q(x)=-\left({\frac {Q'(x)}{2}}\right)^{2}+\int {\frac {Q'(x)-Q'(y)}{x-y}}\mathrm {d} \nu _{Q}(y)$.

Равновесная мера $\nu _{Q}$ имеет следующую плотность радона -немов

${\frac {\mathrm {d} \nu _{Q}(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {q(x)}}.$

Мезоскопический режим

Типичное утверждение полукруглого закона Wigner эквивалентно следующему утверждению: для каждого фиксированного интервала $[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]$ в центре в точке $\lambda _{0}$, как $N$, количество измерений гауссового ансамбля увеличивается, доля собственных значений, попадающих в интервал, сходится к $\int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt$, где $\rho (t)$ является плотностью полукруглого распределения.

Если $\Delta \lambda$ может быть разрешено уменьшаться как $N$ Увеличивается, затем мы получаем строго более сильные теоремы, названные «местные законы» или «мезоскопический режим».

Мезоскопический режим промежуточный между местным и глобальным. В мезоскопическом режиме кто -то интересуется ограниченным распределением собственных значений в наборе, который сокращается до нуля, но достаточно медленно, так что количество собственных значений внутри $\to \infty$.

Например, ансамбль Ginibre имеет мезоскопический закон: для любой последовательности сокращающихся дисков с областями $u$Внутри диска Unite, если у дисков есть область $A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })$Условное распределение спектра внутри дисков также сходится к равномерному распределению. То есть, если мы сократим сокращающиеся диски вместе со спектром, падающим внутри дисков, тогда масштабируйте диски вплоть до области единицы, мы увидим спектры, сходящиеся к плоскому распределению на дисках.

Местный режим

В местном режиме кто -то заинтересован в предельном распределении собственных значений в наборе, который так быстро сокращается, что количество собственных значений остается $O(1)$.

Как правило, это означает изучение пространств между собственными значениями и, в целом, в совместном распределении собственных значений в интервале длины порядка 1/ n . Один из них различает объемную статистику , относящиеся к интервалу внутри поддержки ограничивающей спектральной меры и статистики края , относящиеся к интервалу вблизи границы поддержки.

Статистика

Формально, исправить $\lambda _{0}$ в интерьере поддержки ​ ​ $N(\lambda )$Полем Затем рассмотрим точечный процесс $$\Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,$$ где $\lambda _{j}$ являются собственными значениями случайной матрицы.

Точечный процесс $\Xi (\lambda _{0})$ захватывает статистические свойства собственных значений в окрестностях $\lambda _{0}$Полем Для гауссовых ансамблей предел $\Xi (\lambda _{0})$ известно; Таким образом, для GUE это детерминант -точечный процесс с ядром $$K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}$$ ( синусоидальное ядро ).

Принцип универсальности постулирует, что предел $\Xi (\lambda _{0})$ как $n\to \infty$ должно зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (и ни от конкретной модели случайных матриц, ни на $\lambda _{0}$) Строгие доказательства универсальности известны инвариантными ансамблями матрицы и матрицы Вигнера.

Край Статистика

Основная статья: распределение Трейси -Видома

Одним из примеров статистики краев является распределение Трейси -Видома .

В качестве другого примера рассмотрим ансамбль Джинибра. Это может быть реальным или сложным. Настоящий ансамбль Ginibre имеет стандартные записи IID Гаусса ${\mathcal {N}}(0,1)$и в сложном ансамбле Ginibre есть стандартные комплексные записи IID Гауссовые записи ${\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)$.

Теперь пусть $G_{n}$ быть отобранным из реального или сложного ансамбля и пусть $\rho (G_{n})$ быть абсолютным значением его максимального собственного значения: $$\rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|$$У нас есть следующая теорема для статистики края:

Края статистики ансамбля Джинибра - для $G_{n}$ и $\rho \left(G_{n}\right)$ Как указано выше, с вероятностью, одна, $$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1$$

Более того, если $\gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))$ и $$Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),$$ затем $Y_{n}$ сходится в распределении к закону огулков , то есть мера вероятности на $\mathbb {R}$ с совокупной функцией распределения $F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}$.

Эта теорема уточняет круглый закон ансамбля Джинибра . Слова, круговой закон гласит, что спектр ${\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}$ Почти верно падает на единицу диска. и теорема о статистике края гласит, что радиус почти единичного диска о $1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}$и колеблется в масштабе ${\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}$, согласно закону о Gumbel.

Корреляционные функции

Плотность вероятности сустава собственных значений $n\times n$ Случайные германианские матрицы $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$, с функциями разделения формы $$Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}$$ где $$V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}$$ и $d\mu _{0}(M)$ Стандартная мера Lebesgue в пространстве $\mathbf {H} ^{n\times n}$ Эрмитоана $n\times n$ матрицы даны $$p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.$$ А $k$-Дякните корреляционные функции (или маргинальные распределения ) определены как $$R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$$ которые являются симметричными функциями их переменных. В частности, одноточечная корреляционная функция или состояний плотность $$R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$$ Его интеграл по набору бореля $B\subset \mathbf {R}$ дает ожидаемое количество собственных значений, содержащихся в $B$: $$\int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).$$

Следующий результат выражает эти корреляционные функции как детерминанты матриц, образованных при оценке соответствующего интегрального ядра в парах $(x_{i},x_{j})$ точек, появляющихся в корреляторе.

Теорема [Dyson-Mehta] Для любого $k$, $1\leq k\leq n$ а $k$-Поверьте корреляционную функцию $R_{n,V}^{(k)}$ может быть написан как определяющий $$R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),$$ где $K_{n,V}(x,y)$ является $n$Ядро Христоффель-Дарбу $$K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),$$ связан с $V$написано в терминах квазиполиномов $$\psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},$$ где $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ Полная последовательность монических полиномов, указанных градусов, удовлетворяющих ортогонильными условиями $$\int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.$$

Другие классы случайных матриц

Матрицы Вишарта

Основная статья: дистрибуция Wishart

Матрицы Wishart - это n × n случайные матрицы формы h = x x ^* , где x - n × m случайная матрица ( m ≥ n ) с независимыми записями и x ^* его сопряженное транспонирование . В важном специальном случае, рассмотренном Wishart, записи X идентично распределенные гауссовые случайные переменные (реальные или сложные).

предел эмпирической спектральной меры матриц Вишарта Был обнаружен by Vladimir Marchenko and Leonid Pastur .

Случайные унитарные матрицы

Основная статья: Круговые ансамбли

Не-имитские случайные матрицы

Основная статья: Циркулярное право

Выбранная библиография

Книги

• Mehta, ML (2004). Случайные матрицы . Амстердам: Elsevier/Academic Press. ISBN  0-12-088409-7 .
• Андерсон, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). Введение в случайные матрицы . Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19452-5 .
• Akemann, G.; Baik, J.; Di Francesco, P. (2011). Оксфордский справочник по теории случайной матрицы . Оксфорд: издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-957400-1 .
• Поттерс, Марк; Буша, Жан-Филипп (2020-11-30). Первый курс по теории случайной матрицы: для физиков, инженеров и ученых данных . Издательство Кембриджского университета. doi : 10.1017/9781108768900 . ISBN  978-1-108-76890-0 .

Статьи обследования

• Эдельман, А.; Rao, NR (2005). «Теория случайной матрицы». Acta Numerica . 14 : 233–297. Bibcode : 2005acnum..14..233e . doi : 10.1017/s0962492904000236 . S2CID   16038147 .
• Pastur, LA (1973). «Спектры случайных операторов самостоятельного следования». Русс Математика Выживший ​ 28 (1): 1–67. Bibcode : 1973rumas..28 .... 1p . doi : 10.1070/rm1973v028n01abeh001396 . S2CID   250796916 .
• Diaconis, Persi (2003). «Образцы в собственных значениях: 70 -я лекция Джозии Уиллард Гиббс» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 40 (2): 155–178. doi : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . MR   1962294 .
• Diaconis, Persi (2005). "Что такое ... случайная матрица?" Полем Уведомления об американском математическом обществе . 52 (11): 1348–1349. ISSN   0002-9920 . MR   2183871 .
• Эйнард, Бертран; Кумура, Тейн; Ribault, Sylvain (2015-10-15). "Случайный туттер" arxiv : 1510.0430V2 [ Math- ph

Исторические работы

• Вигнер Э. (1955). «Характерные векторы граничных матриц с бесконечными размерами». Анналы математики . 62 (3): 548–564. doi : 10.2307/1970079 . JSTOR   1970079 .
• Wishart, J. (1928). «Обобщенное распространение моментов продукта в образцах». Биометрика . 20А (1–2): 32–52. doi : 10.1093/biomet/20a.1-2.32 .
• фон Нейман, Дж.; Goldstine, HH (1947). «Числовое инвертирование матриц высокого порядка» . Бык Амер. Математика Соц ​ 53 (11): 1021–1099. doi : 10.1090/s0002-9904-1947-08909-6 .

Внешние ссылки

• Fyodorov, Y. (2011). «Теория случайной матрицы» . Scholaredia . 6 (3): 9886. Bibcode : 2011schpj ... 6.9886f . doi : 10.4249/Scholaredia.9886 .
• Вейсштейн, EW "Случайная матрица" . Wolfram Mathworld.