Обобщенное обратное распределение Гаусса

Обобщенный обратный Гауссиан

Функция плотности вероятности
Параметры	а > 0, б > 0, р действ.
Поддерживать	х > 0
PDF	$f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2}$
Иметь в виду	$\operatorname {E} [x]={\frac {{\sqrt {b}}\ K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {a}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}$ $\operatorname {E} [x^{-1}]={\frac {{\sqrt {a}}\ K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {b}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}-{\frac {2p}{b}}$ $\operatorname {E} [\ln x]=\ln {\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a}}}+{\frac {\partial }{\partial p}}\ln K_{p}({\sqrt {ab}})$
Режим	${\frac {(p-1)+{\sqrt {(p-1)^{2}+ab}}}{a}}$
Дисперсия	$\left({\frac {b}{a}}\right)\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-\left({\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}\right)^{2}\right]$
МГФ	$\left({\frac {a}{a-2t}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2t)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}$
CF	$\left({\frac {a}{a-2it}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2it)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}$

В теории вероятностей и статистике обобщенное обратное распределение Гаусса ( GIG ) представляет собой трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей с функцией плотности вероятности.

$f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,$

где K _p — модифицированная функция Бесселя второго рода, a > 0, b > 0 и p — вещественный параметр. Оно широко используется в геостатистике , статистической лингвистике, финансах и т. д. Впервые это распределение было предложено Этьеном Халфеном . Оно было заново открыто и популяризировано Оле Барндорфом-Нильсеном , который назвал его обобщенным обратным распределением Гаусса. Его статистические свойства обсуждаются в конспектах лекций Бента Йоргенсена.

Характеристики

Альтернативная параметризация

Установив $\theta ={\sqrt {ab}}$ и $\eta ={\sqrt {b/a}}$, мы можем альтернативно выразить распределение GIG как

$f(x)={\frac {1}{2\eta K_{p}(\theta )}}\left({\frac {x}{\eta }}\right)^{p-1}e^{-\theta (x/\eta +\eta /x)/2},$

где $\theta$ – параметр концентрации, а $\eta$ является параметром масштабирования.

Суммирование

Барндорф-Нильсен и Халгрин доказали, что распределение GIG бесконечно делимо .

Энтропия

Энтропия обобщенного обратного распределения Гаусса задается как

${\begin{aligned}H={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {b}{a}}\right)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&{}+{\frac {\sqrt {ab}}{2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\left(K_{p+1}\left({\sqrt {ab}}\right)+K_{p-1}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)\end{aligned}}$

где $\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}$ является производной модифицированной функции Бесселя второго рода по порядку $\nu$ оценивается в $\nu =p$

Характеристика Функция

Характеристика случайной величины $X\sim GIG(p,a,b)$ имеет вид (вывод характеристической функции см. в дополнительных материалах )

$E(e^{itX})=\left({\frac {a}{a-2it}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}\left({\sqrt {(a-2it)b}}\right)}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}$

для $t\in \mathbb {R}$ где $i$ обозначает мнимое число .

Связанные дистрибутивы

Особые случаи

Обратное распределение Гаусса и гамма- распределение являются частными случаями обобщенного обратного распределения Гаусса для p = -1/2 и b = 0 соответственно. В частности, обратное распределение Гаусса вида

$f(x;\mu ,\lambda )=\left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp {\left({\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right)}$

это концерт с $a=\lambda /\mu ^{2}$, $b=\lambda$, и $p=-1/2$. Гамма-распределение формы

$g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

это концерт с $a=2\beta$, $b=0$, и $p=\alpha$.

Другие особые случаи включают обратное гамма-распределение для a = 0.

Сопряженное априорное значение для гауссова

Распределение GIG сопряжено с нормальным распределением , когда оно служит смешанным распределением в нормальной смеси дисперсии и среднего . Пусть априорное распределение некоторой скрытой переменной, скажем, $z$, будь ГИГ:

$P(z\mid a,b,p)=\operatorname {GIG} (z\mid a,b,p)$

и пусть будет $T$ наблюдаемые точки данных, $X=x_{1},\ldots ,x_{T}$, с нормальной функцией правдоподобия, обусловленной $z:$

$P(X\mid z,\alpha ,\beta )=\prod _{i=1}^{T}N(x_{i}\mid \alpha +\beta z,z)$

где $N(x\mid \mu ,v)$ это нормальное распределение со средним значением $\mu$ и дисперсия $v$. Затем задняя часть для $z$, учитывая, что данные также GIG:

$P(z\mid X,a,b,p,\alpha ,\beta )={\text{GIG}}\left(z\mid a+T\beta ^{2},b+S,p-{\frac {T}{2}}\right)$

где $\textstyle S=\sum _{i=1}^{T}(x_{i}-\alpha )^{2}$.

распространение серпа

Распределение серпа результаты, когда GIG используется в качестве распределения смешивания для Пуассона параметра $\lambda$.

См. также

• Обратное распределение Гаусса
• Гамма-распределение