Квадратриса Гиппия

Квадратриса , или трисектриса Гиппия (также квадратриса Динострата ) — это кривая созданная равномерным движением. Это один из старейших примеров кинематической кривой (кривой, созданной в результате движения). Его открытие приписывается греческому софисту Гиппию из Элиды , который использовал его около 420 г. до н.э. в попытке решить проблему трисекции угла (отсюда и трисектриса ). Позже, около 350 г. до н. э., Диностратус использовал его в попытке решить проблему квадратуры круга (отсюда и квадратрисы ).

Определение

Квадратриса как плоская кривая длины стороны $a=1$

Рассмотрим квадрат $ABCD$ , и вписанную дугу четверти круга с центром в $A$ радиус которого равен стороне квадрата. Позволять $E$ — точка, которая движется с постоянной угловой скоростью по дуге от $D$ к $B$ , и пусть $F$ точка, движущаяся одновременно с постоянной скоростью от $D$ к $A$ вдоль отрезка ${\overline {AD}}$ , так что $E$ и $F$ начать в то же время в $D$ и прибыть в то же время в $B$ и $A$ . Тогда квадратриса определяется как место пересечения отрезка ${\overline {AE}}$ с параллельной линией ${\overline {AB}}$ через $F$ . ^[1]^[2]

Если разместить такой квадрат $ABCD$ с длиной стороны $a$ в (декартовой) системе координат со стороной ${\overline {AB}}$ на $x$ -ось и с вершиной $A$ в начале координат, то квадратикс описывается плоской кривой $\gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}}]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ с $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2a}{\pi }}t\cot(t)\\{\frac {2a}{\pi }}t\end{pmatrix}}$ Это описание также можно использовать для того, чтобы дать аналитическое, а не геометрическое определение квадратрисы и расширить его за пределы $(0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ интервал . Однако оно остается неопределенным в особенностях $\cot(t)$ за исключением случая $t=0$ где особенность устранима благодаря $\lim _{t\to 0}t\cot(t)=1$ и, следовательно, дает непрерывную плоскую кривую на интервале $(-\pi ,\pi )$ . ^[3]^[4]

Чтобы описать квадратрису как простую функцию , а не как плоскую кривую, полезно поменять местами $y$ -ось и $x$ -ось, то есть разместить сторону ${\overline {AB}}$ на $y$ -оси, а не на $x$ -ось. Тогда квадратриса образует график функции ^[5]^[6] $f(x)=x\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot x\right)$

Угловая трисекция

Трисекция произвольного угла с помощью только линейки и циркуля невозможна. Однако если в качестве дополнительного инструмента разрешена квадратриса, то можно разделить произвольный угол на $n$ равные отрезки и, следовательно, трисекция ( $n=3$ ) становится возможным. На практике квадратрису можно нарисовать с помощью шаблона или циркуля (см. рисунок). ^[1]^[2]

Поскольку по определению квадратрисы пройденный угол пропорционален пройденному отрезку стороны соответствующего квадрата, делящему этот отрезок на стороне на $n$ равные части также дают разбиение соответствующего угла. Разделив отрезок на $n$ равные части с линейкой и циркулем возможны благодаря теореме о пересечении .

Для заданного угла $\angle BAE$ (не более 90°) построить квадрат $ABCD$ над его ногой ${\overline {AB}}$ . Другая катет угла пересекает квадратрису квадрата в точке $G$ и параллельная линия ноге ${\overline {AB}}$ через $G$ пересекает сторону ${\overline {AD}}$ площади в $F$ . Теперь сегмент ${\overline {AF}}$ соответствует углу $\angle BAE$ и в силу определения квадратрисы любое деление отрезка ${\overline {AF}}$ в $n$ равные отрезки дают соответствующее деление угла $\angle BAE$ в $n$ равные углы. Чтобы разделить сегмент ${\overline {AF}}$ в $n$ равные отрезки, нарисуйте любой луч, начиная с $A$ с $n$ на нем равные отрезки (произвольной длины). Подключите конечную точку $O$ последнего сегмента до $F$ и провести линии, параллельные ${\overline {OF}}$ через все конечные точки оставшихся $n-1$ сегменты на ${\overline {AO}}$ . Эти параллельные прямые делят отрезок ${\overline {AF}}$ в $n$ равные сегменты. Теперь нарисуйте параллельные линии ${\overline {AB}}$ через конечные точки этих сегментов на ${\overline {AF}}$ , пересекающая трисектрису. Соединив их точки пересечения с $A$ дает разбиение угла $\angle BAE$ в $n$ равные углы. ^[5]

Поскольку не все точки трисектрисы можно построить только с помощью круга и циркуля, он действительно необходим в качестве дополнительного инструмента рядом с циркулем и кругом. Однако с помощью окружности и циркуля можно построить плотное подмножество трисектрисы, поэтому гарантировать точное деление угла на $n$ частей без заданной трисектрисы, можно построить сколь угодно близкое приближение только с помощью окружности и циркуля. ^[2]^[3]

Квадратура круга

Квадратирование круга только с помощью линейки и циркуля невозможно. Однако если в качестве дополнительного инструмента построения использовать квадратрису Гиппия, квадратура круга становится возможной благодаря теореме Динострата . Он позволяет превратить четверть круга в квадрат той же площади , следовательно, квадрат с удвоенной длиной стороны имеет ту же площадь, что и полный круг.

Согласно теореме Динострата квадратриса делит одну из сторон соответствующего квадрата в отношении ${\tfrac {2}{\pi }}$ . ^[1] Для данной четверти круга радиуса r строится соответствующий квадрат ABCD со стороной r . Квадратриса пересекает сторону AB в J с $\left|{\overline {AJ}}\right|={\tfrac {2}{\pi }}r$ . строится отрезок JK длины r перпендикулярный , AB Теперь . Тогда прямая, проходящая через A и K, пересекает продолжение стороны BC в L и из теоремы о пересечении следует $\left|{\overline {BL}}\right|={\tfrac {\pi }{2}}r$ . Продолжение AB вправо новым отрезком $\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}$ дает прямоугольник BLNO со сторонами BL и BO, площадь которого совпадает с площадью четверти круга. Этот прямоугольник можно преобразовать в квадрат той же площади с помощью теоремы Евклида о среднем геометрическом . Сторону ON продлевают на отрезок прямой. $\left|{\overline {OQ}}\right|=\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}$ и рисует полукруг справа от NQ , которого равен NQ диаметр . Расширение BO пересекает полукруг в R , и по теореме Фалеса отрезок OR является высотой прямоугольного треугольника QNR . Следовательно, можно применить теорему о среднем геометрическом, а это означает, что OR образует сторону квадрата OUSR той же площади, что и прямоугольник BLNO и, следовательно, как четверть круга. ^[7]

Заметим, что точка J , где квадратриса пересекает сторону AB соответствующего квадрата, является одной из точек квадратрисы, которую невозможно построить только с помощью линейки и циркуля и даже с помощью циркуля-квадратрисы, основанного на исходной геометрической определение (см. рисунок). Это связано с тем, что две равномерно движущиеся линии совпадают и, следовательно, не существует единственной точки пересечения. Однако если полагаться на обобщенное определение квадратрисы как функции или плоской кривой, можно предположить, что J является точкой на квадратрисе. ^[8]^[9]

Исторические источники

Квадратриса упоминается в трудах Прокла (412–485), Паппа Александрийского (3 и 4 вв.) и Ямвлиха (ок. 240 – ок. 325). Прокл называет Гиппия изобретателем кривой, называемой квадратрисой, и где-то в другом месте описывает, как Гиппий применил эту кривую к задаче трисекции. и другие использовали кривую, называемую квадратрисой, Папп только упоминает, как Динострат, Никомед для квадратуры круга. Он не упоминает Гиппия и не приписывает изобретение квадратрисы конкретному человеку. Ямвлих просто пишет в одной строке, что Никомед использовал кривую, называемую квадратрисой, для квадратуры круга. ^[10]^[11]^[12]

Судя по названию кривой, данному Проклом, можно предположить, что сам Гиппий использовал ее для квадратуры круга или какой-либо другой криволинейной фигуры. Однако большинство историков математики полагают, что Гиппий изобрел кривую, но использовал ее только для трисекции углов. Согласно этой теории, его использование для квадратуры круга произошло только десятилетия спустя и благодаря таким математикам, как Динострат и Никомед. Такая трактовка исторических источников восходит к немецкому математику и историку Морицу Кантору . ^[11]^[12]

См. также

Греческая математика

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Хишер, Хорст (2000), «Классические проблемы античности - примеры «исторической привязки» » (PDF) , в Бланкенагеле, Юрген; Шпигель, Вольфганг (ред.), Дидактика математики из энтузиазма по отношению к математике - Festschrift for Harald Scheid , Штутгарт/Дюссельдорф/Лейпциг: Klett, стр. 97–118.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Хенн, Ханс-Вольфганг (2003), «Квадратура круга», Элементарная геометрия и алгебра , Verlag Vieweg+Teubner, стр. 45–48.
^ Jump up to: ^а ^б Янке, Ханс Нильс (2003), История анализа , Американское математическое общество , стр. 30–31, ISBN 0821826239 ; отрывок , с. 30, в Google Книгах
^ Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратриса Гиппия» , MathWorld
^ Jump up to: ^а ^б Дадли, Андервуд (1994), Трисектора , Cambridge University Press, стр. 6–8, ISBN 0883855143 ; отрывок , с. 6, в Google Книгах
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Квадратриса Гиппия» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , стр. дворняга
^ Холм, Аудун (2010), Геометрия: наше культурное наследие , Springer, стр. 114–116, ISBN 9783642144400
^ Делаэ, Жан-Поль (1999), $\pi$ – Die Story , Springer, с. 71, ISBN 3764360569
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Диностратус» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , с. био
^ ван дер Варден, Бартель Леендерт (1961), «Пробуждение науки» , Oxford University Press, стр. 146
^ Jump up to: ^а ^б Гоу, Джеймс (2010), Краткая история греческой математики , Cambridge University Press, стр. 162–164, ISBN 9781108009034
^ Jump up to: ^а ^б Хит, Томас Литтл (1921), История греческой математики, Том 1: От Фалеса до Евклида , Clarendon Press, стр. 182, 225–230

Дальнейшее чтение

Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . МАА 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 146–147 ( отрывок , стр. 146, в Google Книгах )
Феликс Кляйн : Знаменитые задачи элементарной геометрии . Козимо 2007 (перепечатка), ISBN 9781602064171 , стр. 57–58 ( отрывок , стр. 57, в Google Книгах ) ( полная онлайн-копия на archive.org )

Внешние ссылки

Майкл Д. Хуберти, Ко Хаяши, Чиа Ванг: Квадритриса Гиппия
Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратриса Гиппия» , MathWorld
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Квадратриса Гиппия» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , стр. дворняга

[Hischer-1] Jump up to: ^а ^б ^с Хишер, Хорст (2000), «Классические проблемы античности - примеры «исторической привязки» » (PDF) , в Бланкенагеле, Юрген; Шпигель, Вольфганг (ред.), Дидактика математики из энтузиазма по отношению к математике - Festschrift for Harald Scheid , Штутгарт/Дюссельдорф/Лейпциг: Klett, стр. 97–118.

[Henn-2] Jump up to: ^а ^б ^с Хенн, Ханс-Вольфганг (2003), «Квадратура круга», Элементарная геометрия и алгебра , Verlag Vieweg+Teubner, стр. 45–48.

[Jahnke-3] Jump up to: ^а ^б Янке, Ханс Нильс (2003), История анализа , Американское математическое общество , стр. 30–31, ISBN 0821826239 ; отрывок , с. 30, в Google Книгах

[MathWorld-4] Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратриса Гиппия» , MathWorld

[Underwood-5] Jump up to: ^а ^б Дадли, Андервуд (1994), Трисектора , Cambridge University Press, стр. 6–8, ISBN 0883855143 ; отрывок , с. 6, в Google Книгах

[MactTutor1-6] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Квадратриса Гиппия» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , стр. дворняга

[Holme-7] Холм, Аудун (2010), Геометрия: наше культурное наследие , Springer, стр. 114–116, ISBN 9783642144400

[Delahaye-8] Делаэ, Жан-Поль (1999), $\pi$ – Die Story , Springer, с. 71, ISBN 3764360569

[MactTutor2-9] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Диностратус» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , с. био

[Van_der_Waerden-10] ван дер Варден, Бартель Леендерт (1961), «Пробуждение науки» , Oxford University Press, стр. 146

[Gow-11] Jump up to: ^а ^б Гоу, Джеймс (2010), Краткая история греческой математики , Cambridge University Press, стр. 162–164, ISBN 9781108009034

[Heath-12] Jump up to: ^а ^б Хит, Томас Литтл (1921), История греческой математики, Том 1: От Фалеса до Евклида , Clarendon Press, стр. 182, 225–230

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]