Измерение в квантовой механике

В квантовой физике измерение — это тестирование или манипулирование физической системой для получения числового результата. Фундаментальной особенностью квантовой теории является то, что ее предсказания носят вероятностный характер . Процедура поиска вероятности включает в себя объединение квантового состояния , которое математически описывает квантовую систему, с математическим представлением измерения, которое необходимо выполнить в этой системе. Формула для этого расчета известна как правило Борна . Например, квантовая частица, такая как электрон, может быть описана квантовым состоянием, которое связывает с каждой точкой пространства комплексное число, называемое амплитудой вероятности . Применение правила Борна к этим амплитудам дает вероятности того, что электрон будет обнаружен в той или иной области, когда будет проведен эксперимент по его местонахождению. Это лучшее, что может сделать теория; он не может сказать наверняка, где будет найден электрон. То же самое квантовое состояние можно использовать и для предсказания того, как будет вести себя электрон. движется, если эксперимент проводится для измерения его импульса, а не его положения. Принцип неопределенности подразумевает, что каким бы ни было квантовое состояние, диапазон предсказаний положения электрона и диапазон предсказаний его импульса не могут одновременно быть узкими. Некоторые квантовые состояния предполагают почти точное предсказание результата измерения положения, но результат измерения импульса будет крайне непредсказуемым, и наоборот. Более того, тот факт, что природа нарушает статистические условия, известные как неравенства Белла, указывает на то, что непредсказуемость результатов квантовых измерений нельзя объяснить незнанием « локальных скрытых переменных » внутри квантовых систем.

Измерение квантовой системы обычно меняет квантовое состояние, описывающее эту систему. Это центральная особенность квантовой механики, одновременно математически сложная и концептуально тонкая. Математические инструменты для прогнозирования того, какие результаты измерений могут произойти и как могут измениться квантовые состояния, были разработаны в 20 веке и используют линейную алгебру и функциональный анализ . Квантовая физика доказала свой эмпирический успех и широкое применение. Однако на более философском уровне продолжаются дебаты о значении концепции измерения.

Математический формализм

«Наблюдаемые» как самосопряженные операторы

Основная статья: Каноническое квантование

Дополнительная информация: аксиомы Дирака – фон Неймана.

В квантовой механике каждой физической системе сопоставлено гильбертово пространство , каждый элемент которого представляет возможное состояние физической системы. Подход, систематизированный Джоном фон Нейманом, представляет собой измерение физической системы с помощью самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, называемом «наблюдаемой». Эти наблюдаемые играют роль измеримых величин, знакомых из классической физики: положение, импульс , энергия , угловой момент и так далее. Размерность гильбертова пространства может быть бесконечной, как и пространство интегрируемых с квадратом функций на прямой, которое в квантовой физике используется для определения непрерывной степени свободы. Альтернативно, гильбертово пространство может быть конечномерным, как это происходит со спиновыми степенями свободы. Многие трактовки теории сосредоточены на конечномерном случае, поскольку используемая математика несколько менее требовательна. Действительно, вводные тексты по квантовой механике часто замалчивают математические тонкости, возникающие для непрерывных наблюдаемых и бесконечномерных гильбертовых пространств, такие как различие между ограниченными и неограниченными операторами ; вопросы сходимости (принадлежит ли предел последовательности элементов гильбертова пространства также гильбертовому пространству), экзотические возможности для множеств собственных значений, таких как канторовы множества ; и так далее. Эти проблемы могут быть удовлетворительно решены с помощью спектральной теории ; в настоящей статье мы будем избегать их, когда это возможно.

Проективное измерение

См. Также: Проекционная мера.

Собственные векторы наблюдаемой фон Неймана образуют ортонормированный базис гильбертова пространства, и каждый возможный результат этого измерения соответствует одному из векторов, составляющих базис. Оператор плотности — это положительно-полуопределенный оператор в гильбертовом пространстве, след которого равен 1. Для каждого измерения, которое может быть определено, распределение вероятностей по результатам этого измерения может быть вычислено с помощью оператора плотности. Процедурой для этого является правило Борна , которое гласит, что

$P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),$

где $\rho$ – оператор плотности, а $\Pi _{i}$ — оператор проецирования на базисный вектор, соответствующий результату измерения $x_{i}$. Среднее значение собственных значений наблюдаемой фон Неймана, взвешенное по вероятностям правила Борна, является математическим ожиданием этой наблюдаемой. Для наблюдаемого $A$, математическое ожидание данного квантового состояния $\rho$ является

$\langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).$

Оператор плотности, являющийся проекцией ранга 1, известен как чистое квантовое состояние, а все нечистые квантовые состояния называются смешанными . Чистые состояния также известны как волновые функции . Присвоение квантовой системе чистого состояния подразумевает уверенность в результате некоторого измерения этой системы (т. е. $P(x)=1$ ради какого-то результата $x$). Любое смешанное состояние можно записать как выпуклую комбинацию чистых состояний, хотя и не единственным способом . Пространство состояний квантовой системы — это набор всех состояний, чистых и смешанных, которые можно ей приписать.

Правило Борна связывает вероятность с каждым единичным вектором в гильбертовом пространстве таким образом, что сумма этих вероятностей равна 1 для любого набора единичных векторов, содержащего ортонормированный базис. Более того, вероятность, связанная с единичным вектором, является функцией оператора плотности и единичного вектора, а не дополнительной информации, такой как выбор базиса для встраивания этого вектора. Теорема Глисона устанавливает обратное: все присвоения вероятностей единичные векторы (или, что то же самое, проектирующие на них операторы), удовлетворяющие этим условиям, принимают форму применения правила Борна к некоторому оператору плотности.

Обобщенное измерение (POVM)

Основная статья: ПОВМ

В функциональном анализе и квантовой теории измерения мера с положительным операторным знаком (POVM) — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM представляют собой обобщение проекционнозначных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM. Грубо говоря, POVM по отношению к PVM — то же самое, что смешанное состояние по отношению к чистому состоянию. Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. теорему Шредингера-ХЮВ ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполненного в более крупной системе. POVM — это наиболее общий вид измерений в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM представляет собой набор положительных полуопределенных матриц. $\{F_{i}\}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ эта сумма равна единичной матрице ,

$\sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .$

В квантовой механике элемент POVM $F_{i}$ связан с результатом измерения $i$, такой, что вероятность его получения при измерении квантового состояния $\rho$ дается

${\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})$,

где $\operatorname {tr}$ является оператором трассировки . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием $|\psi \rangle$ эта формула сводится к

${\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle$.

Изменение состояния в результате измерения

Основная статья: Квантовая операция

Измерение квантовой системы обычно приводит к изменению квантового состояния этой системы. Написание POVM не дает полной информации, необходимой для описания процесса изменения состояния. Чтобы исправить это, дополнительная информация уточняется путем разложения каждого элемента POVM на продукт:

$E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.$

Крауса Операторы $A_{i}$, названные в честь Карла Крауса , предоставляют спецификацию процесса изменения состояния. Они не обязательно самосопряжены, но произведения $A_{i}^{\dagger }A_{i}$ являются. Если при выполнении измерения результат $E_{i}$ получено, то исходное состояние $\rho$ обновляется до

$\rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.$

Важным частным случаем является правило Людерса, названное в честь Герхарта Людерса . Если POVM сама является PVM, то операторы Крауса можно считать проекторами на собственные пространства наблюдаемой фон Неймана:

$\rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.$

Если исходное состояние $\rho$ чист, а проекторы $\Pi _{i}$ имеют ранг 1, их можно записать как проекторы на векторы $|\psi \rangle$ и $|i\rangle$, соответственно. Таким образом, формула упрощается до

$\rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.$

Правило Людерса исторически было известно как «сокращение волнового пакета» или « коллапс волновой функции ». Чистое состояние $|i\rangle$ подразумевает предсказание с вероятностью единица для любой наблюдаемой фон Неймана, которая имеет $|i\rangle$ как собственный вектор. Вводные тексты по квантовой теории часто выражают это, говоря, что если квантовое измерение повторяется в быстрой последовательности, оба раза произойдет один и тот же результат. Это чрезмерное упрощение, поскольку физическая реализация квантового измерения может включать в себя такой процесс, как поглощение фотона; после измерения фотон не существует, чтобы его можно было измерить снова.

Мы можем определить линейную, сохраняющую следы, полностью положительную карту , суммируя все возможные состояния POVM после измерения без нормализации:

$\rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.$

Это пример квантового канала , и может быть интерпретировано как выражение того, как изменяется квантовое состояние, если измерение выполняется, но результат этого измерения теряется.

Примеры

Представление состояний в сфере Блоха (синим цветом) и оптимальная POVM (красным цветом) для однозначного распознавания квантовых состояний о штатах $|\psi \rangle =|0\rangle$ и $|\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}$. Заметим, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны.

Прототипическим примером конечномерного гильбертова пространства является кубит , квантовая система, гильбертово пространство которого двумерно. Чистое состояние кубита можно записать как линейную комбинацию двух ортогональных базисных состояний. $|0\rangle$ и $|1\rangle$ с комплексными коэффициентами:

$|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$

Измерение в $(|0\rangle ,|1\rangle )$ базис даст результат $|0\rangle$ с вероятностью $|\alpha |^{2}$ и результат $|1\rangle$ с вероятностью $|\beta |^{2}$, поэтому путем нормализации

$|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.$

Произвольное состояние кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые обеспечивают основу для $2\times 2$ самосопряженные матрицы:

$\rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),$

где реальные цифры $(r_{x},r_{y},r_{z})$ - координаты точки внутри единичного шара и

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Элементы POVM могут быть представлены аналогичным образом, хотя след элемента POVM не фиксирован равным 1. Матрицы Паули не имеют следов и ортогональны друг другу относительно внутреннего произведения Гильберта – Шмидта , поэтому координаты $(r_{x},r_{y},r_{z})$ государства $\rho$ — это средние значения трех измерений фон Неймана, определенных матрицами Паули. Если такое измерение применить к кубиту, то по правилу Людерса состояние обновится до собственного вектора этой матрицы Паули, соответствующего результату измерения. Собственные векторы $\sigma _{z}$ являются базовыми состояниями $|0\rangle$ и $|1\rangle$и измерение $\sigma _{z}$ часто называют измерением на «вычислительной основе». После измерения в вычислительной базе результат $\sigma _{x}$ или $\sigma _{y}$ измерение максимально неопределенно.

Пара кубитов вместе образуют систему, гильбертово пространство которой четырехмерно. Одним из важных измерений фон Неймана в этой системе является измерение, определяемое базисом Белла : набор из четырех максимально запутанных состояний:

${\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}$

Плотность вероятности $P_{n}(x)$ для результата измерения положения с учетом собственного состояния энергии $|n\rangle$ одномерного гармонического осциллятора.

Распространенным и полезным примером квантовой механики, примененной к непрерывной степени свободы, является квантовый гармонический осциллятор . Эта система определяется гамильтонианом

${H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},$

где ${H}$, оператор импульса ${p}$ и оператор позиции ${x}$ являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом на действительной прямой . Собственные состояния энергии решают независимое от времени уравнение Шредингера :

${H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

Можно показать, что эти собственные значения задаются формулой

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),$

и эти значения дают возможные численные результаты измерения энергии генератора. Множество возможных результатов измерения положения гармонического генератора является непрерывным, поэтому предсказания формулируются в терминах функции плотности вероятности. $P(x)$ что дает вероятность того, что результат измерения лежит в бесконечно малом интервале от $x$ к $x+dx$.

История концепции измерения

«Старая квантовая теория»

Основная статья: Старая квантовая теория

Старая квантовая теория представляет собой сборник результатов 1900–1925 годов. которые предшествовали современной квантовой механике . Теория никогда не была полной или самосогласованной, а скорее представляла собой набор эвристических поправок к классической механике . Теория теперь понимается как полуклассическое приближение. к современной квантовой механике. Известные результаты этого периода включают Планком расчет спектра излучения черного тела , фотоэлектрического объяснение Эйнштейном эффекта , Эйнштейна и Дебая работы по удельной теплоемкости твердых тел, Бора и ван Леувена доказательство того , что классическая физика не может объяснить для диамагнетизма Бора — модель атома водорода и Арнольдом Зоммерфельдом расширение модели Бора , включившее релятивистские эффекты .

Эксперимент Штерна-Герлаха: атомы серебра перемещаются через неоднородное магнитное поле и отклоняются вверх или вниз в зависимости от их спина; (1) печь, (2) пучок атомов серебра, (3) неоднородное магнитное поле, (4) классически ожидаемый результат, (5) наблюдаемый результат

Эксперимент Штерна -Герлаха , предложенный в 1921 году и реализованный в 1922 году, стал прототипным примером квантового измерения, имеющего дискретный набор возможных результатов. В первоначальном эксперименте атомы серебра проходили через пространственно изменяющееся магнитное поле, которое отклоняло их до того, как они попадали на экран детектора, например, на предметное стекло. Частицы с ненулевым магнитным моментом отклоняются из-за градиента магнитного поля от прямого пути. частиц На экране видны дискретные точки накопления, а не непрерывного распределения из-за квантованного спина .

Переход к «новой» квантовой теории

Статья Гейзенберга 1925 года , известная на английском языке как « Квантово-теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений », ознаменовала поворотный момент в становлении квантовой физики. Гейзенберг стремился разработать теорию атомных явлений, опирающуюся только на «наблюдаемые» величины. В то время, в отличие от более позднего стандартного представления квантовой механики, Гейзенберг не считал положение электрона, связанного внутри атома, «наблюдаемым». Вместо этого его основными интересующими величинами были частоты света, излучаемого или поглощаемого атомами.

принцип неопределенности К этому периоду относится . Его часто приписывают Гейзенбергу, который ввел эту концепцию при анализе мысленного эксперимента , в котором пытались одновременно измерить положение и импульс электрона . Однако Гейзенберг не дал точных математических определений того, что означает «неопределенность» в этих измерениях. Точная математическая формулировка принципа неопределенности положения-импульса принадлежит Кеннарду , Паули и Вейлю , а его обобщение на произвольные пары некоммутирующих наблюдаемых принадлежит Робертсону и Шрёдингеру .

Письмо ${x}$ и ${p}$ для самосопряженных операторов, представляющих положение и импульс соответственно, стандартное отклонение положения можно определить как

$\sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},$

и то же самое для импульса:

$\sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.$

Соотношение неопределенностей Кеннарда – Паули – Вейля имеет вид

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.$

Это неравенство означает, что никакая подготовка квантовой частицы не может одновременно предполагать точные предсказания для измерения положения и измерения импульса. Неравенство Робертсона обобщает это на случай произвольной пары самосопряженных операторов. $A$ и $B$. Коммутатором является этих двух операторов

$[A,B]=AB-BA,$

и это дает нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.$

Подставляя в каноническое коммутационное соотношение $[{x},{p}]=i\hbar$, выражение, впервые постулированное Максом Борном в 1925 году, восстанавливает формулировку принципа неопределенности Кеннарда-Паули-Вейля.

От неопределенности к «отсутствию скрытых переменных»

Основные статьи: парадокс ЭПР , теорема Белла и тест Белла.

Существование принципа неопределенности естественным образом ставит вопрос о том, можно ли понимать квантовую механику как приближение к более точной теории. Существуют ли « скрытые переменные », более фундаментальные, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы сделать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория? Ряд результатов, в первую очередь теорема Белла , продемонстрировал, что широкие классы таких теорий скрытых переменных фактически несовместимы с квантовой физикой.

Белл опубликовал теорему, теперь известную под его именем, в 1964 году, более глубоко исследуя мысленный эксперимент, первоначально предложенный в 1935 году Эйнштейном , Подольским и Розеном . Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты теста Белла будут ограничены определенным, поддающимся количественной оценке образом. Если тест Белла проводится в лаборатории и результаты таким образом не ограничены, то они несовместимы с гипотезой о существовании локальных скрытых переменных. Такие результаты подтверждают позицию о том, что не существует способа объяснить явления квантовой механики с точки зрения более фундаментального описания природы, которое больше соответствовало бы правилам классической физики . Многие типы тестов Белла проводились в физических лабораториях, часто с целью решения проблем, связанных с планированием или постановкой эксперимента, которые в принципе могли повлиять на достоверность результатов более ранних тестов Белла. Это известно как «закрытие лазеек в тестах Белла ». На сегодняшний день тесты Белла показали, что гипотеза о локальных скрытых переменных несовместима с поведением физических систем.

Квантовые системы как измерительные приборы

Принцип неопределенности Робертсона-Шредингера устанавливает, что, когда две наблюдаемые не коммутируют, между ними возникает компромисс в предсказуемости. Теорема Вигнера -Араки-Янасе демонстрирует еще одно следствие некоммутативности: наличие закона сохранения ограничивает точность, с которой могут быть измерены наблюдаемые величины, которые не могут коммутировать с сохраняющейся величиной. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к формулировке перекоса информации Вигнера-Янасе .

Исторически эксперименты в квантовой физике часто описывались в полуклассических терминах. Например, вращение атома в эксперименте Штерна-Герлаха можно рассматривать как квантовую степень свободы, в то время как атом рассматривается как движущийся в магнитном поле, описываемом классической теорией уравнений Максвелла . Но устройства, используемые для создания экспериментальной установки, сами по себе являются физическими системами, и поэтому квантовая механика должна быть применима и к ним. Начиная с 1950-х годов Розенфельд , фон Вайцзеккер и другие пытались разработать условия согласованности, которые выражали бы возможность рассматривать квантово-механическую систему как измерительный прибор. Одно из предложений по критерию относительно того, когда система, используемая как часть измерительного устройства, может быть смоделирована квазиклассическим способом, основано на функции Вигнера , квазивероятностном распределении , которое можно рассматривать как распределение вероятностей в фазовом пространстве в тех случаях, когда оно всюду неотрицательно. .

Декогеренция

Основная статья: Квантовая декогеренция

Квантовое состояние несовершенно изолированной системы обычно развивается и переплетается с квантовым состоянием окружающей среды. Следовательно, даже если начальное состояние системы является чистым, состояние в более поздний момент, найденное путем частичного отслеживания совместного состояния системы и окружающей среды, будет смешанным. Этот феномен запутанности, возникающий в результате взаимодействия системы и окружающей среды, имеет тенденцию скрывать более экзотические особенности квантовой механики, которые в принципе может проявлять система. Квантовая декогеренция, как называют этот эффект, впервые подробно изучалась в 1970-х годах. (Более ранние исследования того, как классическая физика может быть получена как предел квантовой механики, изучали тему несовершенно изолированных систем, но роль запутанности не была полностью оценена. ) Значительная часть усилий, прилагаемых к квантовым вычислениям, направлена ​​на то, чтобы избежать пагубных последствий декогеренции.

Для иллюстрации позвольте $\rho _{S}$ обозначают начальное состояние системы, $\rho _{E}$ исходное состояние окружающей среды и $H$ гамильтониан, определяющий взаимодействие системы и окружающей среды. Оператор плотности $\rho _{E}$ можно диагонализировать и записать в виде линейной комбинации проекторов на его собственные векторы:

$\rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.$

Выражение временной эволюции для продолжительности $t$ унитарным оператором $U=e^{-iHt/\hbar }$, состояние системы после этой эволюции равно

$\rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },$

который оценивается как

$\rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .$

Величины, окружающие $\rho _{S}$ могут быть идентифицированы как операторы Крауса, и поэтому это определяет квантовый канал.

Определение формы взаимодействия между системой и окружающей средой может установить набор «состояний указателя», состояний системы, которые (приблизительно) стабильны, за исключением общих фазовых факторов, по отношению к колебаниям окружающей среды. Набор состояний указателя определяет предпочтительный ортонормированный базис гильбертова пространства системы.

Квантовая информация и вычисления

Квантовая информатика изучает, как информатика и ее применение в качестве технологии зависят от квантово-механических явлений. Понимание измерений в квантовой физике важно для этой области во многих отношениях, некоторые из которых кратко рассмотрены здесь.

Измерение, энтропия и различимость

Энтропия фон Неймана — это мера статистической неопределенности, представленной квантовым состоянием. Для матрицы плотности $\rho$, энтропия фон Неймана равна

$S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );$

письмо $\rho$ с точки зрения базиса собственных векторов,

$\rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,$

энтропия фон Неймана равна

$S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.$

Это энтропия Шеннона набора собственных значений, интерпретируемая как распределение вероятностей, и поэтому энтропия фон Неймана — это энтропия Шеннона случайной величины, определяемой путем измерения в собственном базисе $\rho$. Следовательно, энтропия фон Неймана исчезает, когда $\rho$ чистый. Энтропия фон Неймана $\rho$ эквивалентно может быть охарактеризован как минимальная энтропия Шеннона для измерения с учетом квантового состояния. $\rho$, с минимизацией по всем POVM с элементами ранга 1.

Многие другие величины, используемые в квантовой теории информации, также находят обоснование и обоснование с точки зрения измерений. Например, расстояние следа между квантовыми состояниями равно наибольшей разнице в вероятности , которую эти два квантовых состояния могут подразумевать для результата измерения:

${\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].$

Точно так же точность двух квантовых состояний, определяемая формулой

$F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},$

выражает вероятность того, что одно государство пройдет тест на выявление успешной подготовки другого. Расстояние следа определяет границы точности с помощью неравенств Фукса – Ван де Граафа :

$1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.$

Квантовые схемы

Схематическое изображение измерения. Одна линия слева обозначает кубит, а две линии справа представляют собой классический бит.

Основная статья: Квантовая схема

Квантовые схемы — это модель , квантовых вычислений в которой вычисление представляет собой последовательность квантовых вентилей, за которыми следуют измерения. Ворота представляют собой обратимые преобразования квантовомеханического аналога n - битного регистра . Эта аналогичная структура называется n - кубитным регистром . Измерения, нарисованные на принципиальной схеме в виде стилизованных стрелок, указывают, где и как получается результат от квантового компьютера после выполнения этапов вычислений. Без ограничения общности можно работать со стандартной схемотехнической моделью, в которой набор вентилей представляет собой однокубитные унитарные преобразования и управляемые вентили НЕ на парах кубитов, а все измерения лежат в вычислительной основе.

Квантовые вычисления на основе измерений

Основная статья: Односторонний квантовый компьютер

Квантовые вычисления на основе измерений (MBQC) — это модель квантовых вычислений , в которой ответ на вопрос, неформально говоря, создается в процессе измерения физической системы, которая служит компьютером.

Квантовая томография

Основная статья: Квантовая томография

Томография квантовых состояний — это процесс, с помощью которого на основе набора данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется квантовое состояние, соответствующее результатам этих измерений. Названа по аналогии с томографией — реконструкцией трехмерных изображений из срезов, взятых через них, как при компьютерной томографии . Томографию квантовых состояний можно расширить до томографии квантовых каналов. и даже измерений.

Квантовая метрология

Основная статья: Квантовая метрология

Квантовая метрология — это использование квантовой физики для измерения величин, которые обычно имели значение в классической физике, например, использование квантовых эффектов для повышения точности измерения длины. Знаменитый пример — введение сжатого света в эксперимент LIGO , что повысило его чувствительность к гравитационным волнам .

Лабораторные внедрения

Диапазон физических процедур, к которым может быть применена математика квантовых измерений, очень широк. В первые годы существования предмета лабораторные процедуры включали запись спектральных линий , затемнение фотопленки, наблюдение мерцаний , поиск следов в камерах Вильсона и прослушивание щелчков счетчиков Гейгера . Язык той эпохи сохраняется, например, абстрактное описание результатов измерений как «щелчки детектора».

Эксперимент с двумя щелями — прототипическая иллюстрация квантовой интерференции , обычно описываемой с помощью электронов или фотонов. Первым интерференционным экспериментом, проведенным в режиме, где существенны как волновые, так и корпускулярные аспекты поведения фотонов, был эксперимент Дж. Тейлора в 1909 году. Тейлор использовал экраны из дымчатого стекла для ослабления света, проходящего через его аппарат. до такой степени, что, выражаясь современным языком, только один фотон будет освещать щели интерферометра одновременно. Он записывал интерференционные картины на фотопластинки; для самого тусклого света необходимое время выдержки составляло примерно три месяца. В 1974 году итальянские физики Пьер Джорджио Мерли, Джан Франко Миссироли и Джулио Поцци осуществили эксперимент с двумя щелями, используя одиночные электроны и телевизионную трубку . Четверть века спустя группа из Венского университета провела интерференционный эксперимент с бакиболами , в ходе которого бакиболы, прошедшие через интерферометр, ионизировались лазером , а ионы затем вызывали эмиссию электронов, выбросы которых, в свою очередь, вызывали эмиссию электронов. усиливается и детектируется электронным умножителем .

В современных экспериментах по квантовой оптике можно использовать однофотонные детекторы . Например, в «тесте BIG Bell» 2018 года в нескольких лабораторных установках использовались однофотонные лавинные диоды . Другая лабораторная установка использовала сверхпроводящие кубиты . Стандартный метод проведения измерений сверхпроводящих кубитов заключается в соединении кубита с резонатором таким образом, чтобы характеристическая частота резонатора смещалась в зависимости от состояния кубита, и обнаружении этого сдвига путем наблюдения за тем, как резонатор реагирует на зонд. сигнал.

Интерпретации квантовой механики

Основная статья: Интерпретации квантовой механики

Нильс Бор и Альберт Эйнштейн , изображенные здесь, в доме Пауля Эренфеста в Лейдене (декабрь 1925 года), долго вели коллегиальный спор о том, какое значение квантовая механика имеет для природы реальности.

Несмотря на согласие среди ученых о том, что квантовая физика на практике является успешной теорией, разногласия сохраняются на более философском уровне. Многие дебаты в области, известной как квантовые основы, касаются роли измерения в квантовой механике. Среди повторяющихся вопросов: какая интерпретация теории вероятностей лучше всего подходит для вероятностей, рассчитанных по правилу Борна; и является ли кажущаяся случайность результатов квантовых измерений фундаментальной или следствием более глубокого детерминированного процесса. Мировоззрения, дающие ответы на подобные вопросы, известны как «интерпретации» квантовой механики; как однажды пошутил физик Н. Дэвид Мермин : «Новые интерпретации появляются каждый год. Ни одна из них никогда не исчезает».

Центральной проблемой квантовых основ является « проблема квантовых измерений », хотя то, как разграничивается эта проблема и следует ли ее считать одним вопросом или несколькими отдельными проблемами, является спорной темой. Главный интерес представляет кажущееся несоответствие между очевидно различными типами временной эволюции. Фон Нейман заявил, что квантовая механика содержит «два фундаментально разных типа» изменения квантового состояния. Во-первых, есть изменения, связанные с процессом измерения, а во-вторых, существует унитарная временная эволюция в отсутствие измерения. Первое является стохастическим и прерывистым, пишет фон Нейман, а второе детерминированным и непрерывным. Эта дихотомия задала тон для многих последующих дискуссий. Некоторые интерпретации квантовой механики находят неприятным использование двух разных типов временной эволюции и рассматривают двусмысленность того, когда использовать тот или иной метод, как недостаток исторического представления квантовой теории. Чтобы поддержать эти интерпретации, их сторонники работали над поиском способов рассматривать «измерение» как второстепенное понятие и выводить кажущийся стохастическим эффект процессов измерения как приближений к более фундаментальной детерминистской динамике. Однако среди сторонников правильного способа реализации этой программы и, в частности, того, как оправдать использование правила Борна для расчета вероятностей, не было достигнуто консенсуса. Другие интерпретации рассматривают квантовые состояния как статистическую информацию о квантовых системах, утверждая таким образом, что резкие и прерывистые изменения квантовых состояний не являются проблематичными, а просто отражают обновления доступной информации. По поводу этой мысли Белл спросил: « Чья информация? Информация о чем ?» Ответы на эти вопросы различаются среди сторонников информационно-ориентированных интерпретаций.

См. также

• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Теорема Холево
• Квантовая коррекция ошибок
• Квантовый предел
• Квантовая логика
• Так же, как Зенон
• кот Шредингера
• НИЦ-ПОВМ

Дальнейшее чтение

• Уилер, Джон А .; Журек, Войцех Х. , ред. (1983). Квантовая теория и измерения . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-08316-2 .
• Брагинский Владимир Борисович ; Халили, Фарид Я. (1992). Квантовые измерения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-41928-4 .
• Гринштейн, Джордж С.; Зайонц, Артур Г. (2006). Квантовый вызов: современные исследования основ квантовой механики (2-е изд.). ISBN  978-0763724702 .
• Альтер, Орли; Ямамото, Ёсихиса (2001). Квантовые измерения одиночной системы . Нью-Йорк: Уайли. дои : 10.1002/9783527617128 . ISBN  9780471283089 .
• Джордан, Эндрю Н .; Сиддики, Ирфан А. (2024). Квантовые измерения: теория и практика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1009100069 .