Разделить нормальное распределение
В теории вероятностей и статистике , расщепленное нормальное распределение также известное как двухчастное нормальное распределение, возникает в результате объединения в моде соответствующих половин двух нормальных распределений с одинаковым режимом , но с разными дисперсиями . Это утверждают Джонсон и др. [1] что это распределение было введено Гиббонсом и Милрой. [2] и Джоном. [3] Но это два из нескольких независимых повторных открытий Zweiseitige Gauss'sche Gesetz, представленных в посмертно опубликованном Kollektivmasslehre (1897). [4] Густава Теодора Фехнера (1801–1887), см. Уоллис (2014). [5] Еще одно открытие появилось совсем недавно в финансовом журнале. [6]
Обозначения | |||
---|---|---|---|
Параметры | — режим ( локация , реальный ) — левостороннее стандартное отклонение ( масштаб , действительное значение ) — правостороннее стандартное отклонение ( масштаб , действительное значение ) | ||
Поддерживать | |||
Иметь в виду | |||
Режим | |||
Дисперсия | |||
асимметрия |
Определение
[ редактировать ]Расщепленное нормальное распределение возникает в результате слияния двух противоположных половин двух функций плотности вероятности (PDF) нормальных распределений в их общем режиме .
PDF разделенного нормального распределения определяется выражением [1]
где
Обсуждение
[ редактировать ]Расщепленное нормальное распределение возникает в результате слияния двух половин нормального распределения. В общем случае «родительские» нормальные распределения могут иметь разные дисперсии, что означает, что объединенная PDF не будет непрерывной . Чтобы гарантировать, что полученный PDF-файл интегрируется до 1, нормализующая константа A. используется
В частном случае, когда расщепленное нормальное распределение сводится к нормальному распределению с дисперсией .
Когда σ 2 ≠σ 1, константа А отличается от константы нормального распределения. Однако, когда константы равны.
Знак его третьего центрального момента определяется разностью (σ 2 -σ 1 ). Если эта разница положительна, распределение перекошено вправо, а если отрицательное, то оно перекошено влево.
Другие свойства расщепленной нормальной плотности обсуждались Джонсоном и др. [1] и Хулио. [7]
Альтернативные составы
[ редактировать ]Обсуждаемая выше формулировка исходит от Иоанна. [3] В литературе предлагаются две математически эквивалентные альтернативные параметризации. Бриттон, Фишер и Уитли [8] предложите параметризацию, если условия моды, дисперсии и нормированной асимметрии, обозначаемые . Параметр μ является модой и эквивалентен моде в формулировке Джона. Параметр σ 2 >0 сообщает о дисперсии (масштабе), и его не следует путать с дисперсией. Третий параметр, γ ∈ (-1,1), представляет собой нормализованную асимметрию.
Вторая альтернативная параметризация используется в сообщениях Банка Англии , записывается в терминах моды, дисперсии и ненормированной асимметрии и обозначается . В этой формулировке параметр μ является модой и идентичен параметру Джона. [3] и Бриттон, Фишер и Уитли [8] формулировка. Параметр σ 2 сообщает о дисперсии (масштабе) и совпадает с формулировкой Бриттона, Фишера и Уитли. Параметр ξ равен разнице между средним значением и модой распределения и может рассматриваться как ненормированная мера асимметрии.
Три параметризации математически эквивалентны, что означает, что между параметрами существует строгая связь и можно переходить от одной параметризации к другой. Имеют место следующие отношения: [9]
Многомерные расширения
[ редактировать ]Многомерное обобщение расщепленного нормального распределения было предложено Виллани и Ларссоном. [10] Они предполагают, что каждая из главных компонент имеет одномерное расщепленное нормальное распределение с различным набором параметров µ, σ 2 и σ 1 .
Оценка параметров
[ редактировать ]Джон [3] предлагает оценивать параметры методом максимального правдоподобия . Он показывает, что функцию правдоподобия можно выразить в интенсивной форме, в которой параметры масштаба σ 1 и σ 2 являются функцией параметра местоположения µ. Вероятность в интенсивной форме равна:
и его необходимо максимизировать численно только по отношению к одному параметру µ.
Учитывая оценку максимального правдоподобия остальные параметры принимают значения:
где N — количество наблюдений.
Виллани и Ларссон [10] предлагаю использовать либо максимального правдоподобия метод , либо байесовскую оценку и предоставить некоторые аналитические результаты как для одномерного, так и для многомерного случая.
Приложения
[ редактировать ]Разделенное нормальное распределение использовалось в основном в эконометрике и временных рядах. Замечательной областью применения является построение веерной диаграммы , представляющей распределение прогноза инфляции , сообщаемое центральными банками, таргетирующими инфляцию, по всему миру. [7] [11]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Джонсон, Н.Л., Коц, С. и Балакришнан, Н. (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1 . Джон Уайли и сыновья. п. 173. ИСБН 978-0-471-58495-7 .
{{cite book}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ Гиббонс, Дж. Ф.; Милрой, С. (1973). «Оценка профилей примесей в ионно-имплантированных аморфных мишенях с использованием объединенных полугауссовских распределений». Письма по прикладной физике . 22 (11): 568–569. Бибкод : 1973АпФЛ..22..568Г . дои : 10.1063/1.1654511 .
- ^ Jump up to: а б с д Джон, С. (1982). «Трехпараметрическое, состоящее из двух частей нормальное семейство распределений и его подгонка». Коммуникации в статистике - теория и методы . 11 (8): 879–885. дои : 10.1080/03610928208828279 .
- ^ Фехнер, GT (изд. Липпс, GF) (1897). Теория коллективной меры . Энгельманн, Лейпциг.
- ^ Уоллис, К.Ф. (2014). Двухчастичное нормальное, бинормальное или двойное распределение Гаусса: его происхождение и повторные открытия. Статистическая наука , том. 29, нет. 1, стр. 106-112. doi: 10.1214/13-STS417.
- ^ де Роон, Ф. и Каренке, П. (2016). Простое асимметричное распределение с приложениями для оценки активов. Обзор финансов , 2016, 1-29.
- ^ Jump up to: а б Хуан Мануэль Хулио (2007). Веерная диаграмма: технические детали новой реализации . Банко де ла Республика . Проверено 11 сентября 2010 г. , прямая ссылка.
{{cite conference}}
: Внешняя ссылка в
( помощь ) CS1 maint: постскриптум ( ссылка )|postscript=
- ^ Jump up to: а б Бриттон, Э.; П. Фишер; Уитли, Дж. (1998). «Прогнозы отчета по инфляции: понимание веерной диаграммы». Ежеквартальный бюллетень . Февраль 1998 г.: 30–37.
- ^ Банерджи, Н.; А. Дас (2011). Веерная диаграмма: методология и ее применение к прогнозированию инфляции в Индии . Серия рабочих документов Резервного банка Индии.
- ^ Jump up to: а б Виллани, Маттиас; Рольф Ларссон (2006). «Многомерное расщепление нормального распределения и анализ асимметричных главных компонент». Коммуникации в статистике - теория и методы . 35 (6): 1123–1140. CiteSeerX 10.1.1.533.4095 . дои : 10.1080/03610920600672252 . ISSN 0361-0926 . S2CID 124959166 .
- ^ Банк Англии, Отчет об инфляции , заархивированный 13 августа 2010 г. в Wayback Machine.