Разделить нормальное распределение

В теории вероятностей и статистике , расщепленное нормальное распределение также известное как двухчастное нормальное распределение, возникает в результате объединения в моде соответствующих половин двух нормальных распределений с одинаковым режимом , но с разными дисперсиями . Это утверждают Джонсон и др. что это распределение было введено Гиббонсом и Милрой. и Джоном. Но это два из нескольких независимых повторных открытий Zweiseitige Gauss'sche Gesetz, представленных в посмертно опубликованном Kollektivmasslehre (1897). Густава Теодора Фехнера (1801–1887), см. Уоллис (2014). Еще одно открытие появилось совсем недавно в финансовом журнале.

Сплит-нормальный

Обозначения	${\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma _{1},\sigma _{2})$
Параметры	$\mu \in \Re$ — режим ( локация , реальный ) $\sigma _{1}>0$ — левостороннее стандартное отклонение ( масштаб , действительное значение ) $\sigma _{2}>0$ — правостороннее стандартное отклонение ( масштаб , действительное значение )
Поддерживать	$x\in \Re$
PDF	$A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu$ $A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise,}}$ ${\text{where}}\quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}$
Иметь в виду	$\mu +{\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})$
Режим	$\mu$
Дисперсия	$(1-2/\pi )(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}$
асимметрия	$\gamma _{3}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right]$

Определение

Расщепленное нормальное распределение возникает в результате слияния двух противоположных половин двух функций плотности вероятности (PDF) нормальных распределений в их общем режиме .

PDF разделенного нормального распределения определяется выражением

$f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu$

$f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise}}$

где

$\quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}.$

Обсуждение

Расщепленное нормальное распределение возникает в результате слияния двух половин нормального распределения. В общем случае «родительские» нормальные распределения могут иметь разные дисперсии, что означает, что объединенная PDF не будет непрерывной . Чтобы гарантировать, что полученный PDF-файл интегрируется до 1, нормализующая константа A. используется

В частном случае, когда $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}$ расщепленное нормальное распределение сводится к нормальному распределению с дисперсией $\sigma _{*}^{2}$.

Когда σ ₂ ≠σ _1, константа А отличается от константы нормального распределения. Однако, когда $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}$ константы равны.

Знак его третьего центрального момента определяется разностью (σ ₂ -σ ₁ ). Если эта разница положительна, распределение перекошено вправо, а если отрицательное, то оно перекошено влево.

Другие свойства расщепленной нормальной плотности обсуждались Джонсоном и др. и Хулио.

Альтернативные составы

Обсуждаемая выше формулировка исходит от Иоанна. В литературе предлагаются две математически эквивалентные альтернативные параметризации. Бриттон, Фишер и Уитли предложите параметризацию, если условия моды, дисперсии и нормированной асимметрии, обозначаемые ${\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\gamma )$. Параметр μ является модой и эквивалентен моде в формулировке Джона. Параметр σ ² >0 сообщает о дисперсии (масштабе), и его не следует путать с дисперсией. Третий параметр, γ ∈ (-1,1), представляет собой нормализованную асимметрию.

Вторая альтернативная параметризация используется в сообщениях Банка Англии , записывается в терминах моды, дисперсии и ненормированной асимметрии и обозначается ${\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi )$. В этой формулировке параметр μ является модой и идентичен параметру Джона. и Бриттон, Фишер и Уитли формулировка. Параметр σ ² сообщает о дисперсии (масштабе) и совпадает с формулировкой Бриттона, Фишера и Уитли. Параметр ξ равен разнице между средним значением и модой распределения и может рассматриваться как ненормированная мера асимметрии.

Три параметризации математически эквивалентны, что означает, что между параметрами существует строгая связь и можно переходить от одной параметризации к другой. Имеют место следующие отношения:

${\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\sigma _{1}^{2}(1+\gamma )=\sigma _{2}^{2}(1-\gamma )\\\gamma &={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}+\sigma _{1}^{2}}}\\\xi &={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\\\gamma &=\operatorname {sgn} (\xi ){\sqrt {1-\left({\frac {{\sqrt {1+2\beta }}-1}{\beta }}\right)^{2}}},\quad {\text{where}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}$

Многомерные расширения

Многомерное обобщение расщепленного нормального распределения было предложено Виллани и Ларссоном. Они предполагают, что каждая из главных компонент имеет одномерное расщепленное нормальное распределение с различным набором параметров µ, σ ₂ и σ ₁ .

Оценка параметров

Джон предлагает оценивать параметры методом максимального правдоподобия . Он показывает, что функцию правдоподобия можно выразить в интенсивной форме, в которой параметры масштаба σ ₁ и σ ₂ являются функцией параметра местоположения µ. Вероятность в интенсивной форме равна:

$L(\mu )=-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}$

и его необходимо максимизировать численно только по отношению к одному параметру µ.

Учитывая оценку максимального правдоподобия ${\hat {\mu }}$ остальные параметры принимают значения:

${\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},$

${\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},$

где N — количество наблюдений.

Виллани и Ларссон предлагаю использовать либо максимального правдоподобия метод , либо байесовскую оценку и предоставить некоторые аналитические результаты как для одномерного, так и для многомерного случая.

Приложения

Разделенное нормальное распределение использовалось в основном в эконометрике и временных рядах. Замечательной областью применения является построение веерной диаграммы , представляющей распределение прогноза инфляции , сообщаемое центральными банками, таргетирующими инфляцию, по всему миру.