Процесс рождения

Чтобы узнать о биологическом процессе, см. рождение .

Процесс рождения с показателями рождаемости $\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},...$.

В теории вероятностей процесс рождения или чистый процесс рождения. является частным случаем марковского процесса с непрерывным временем и обобщением пуассоновского процесса . Он определяет непрерывный процесс, который принимает значения натуральных чисел и может увеличиваться только на единицу («рождение») или оставаться неизменным. Это тип процесса рождения-смерти без смертей. Частота рождаемости задается экспоненциальной случайной величиной , параметр которой зависит только от текущего значения процесса.

Определение

Определение рождаемости

Процесс рождения с показателями рождаемости $(\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )$ и начальная стоимость $k\in \mathbb {N}$ — минимальный непрерывный справа процесс $(X_{t},t\geq 0)$ такой, что $X_{0}=k$ и время прибытия $T_{i}=\inf\{t\geq 0:X_{t}=i+1\}-\inf\{t\geq 0:X_{t}=i\}$ являются независимыми экспоненциальными случайными величинами с параметром $\lambda _{i}$.

Бесконечно малое определение

Родовой процесс с нормами $(\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )$ и начальная стоимость $k\in \mathbb {N}$ это процесс $(X_{t},t\geq 0)$ такой, что:

• $X_{0}=k$
• $\forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{s}\leq X_{t}$
• $\mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_{t}}h+o(h)$
• $\mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t})=o(h)$
• $\forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{t}-X_{s}$ не зависит от $(X_{u},u<s)$

(Третье и четвертое условия практически не используют обозначение o .)

Эти условия гарантируют, что процесс начнется в $i$, не снижается и имеет постоянные независимые одиночные роды с темпом $\lambda _{n}$, когда процесс имеет значение $n$.

Определение цепи Маркова с непрерывным временем

Процесс рождения можно определить как Марковский процесс с непрерывным временем (CTMC). $(X_{t},t\geq 0)$ с ненулевыми элементами Q-матрицы $q_{n,n+1}=\lambda _{n}=-q_{n,n}$ и первоначальное распространение $i$ (случайная величина, принимающая значение $i$ с вероятностью 1).

$Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}$

Вариации

Некоторые авторы требуют, чтобы процесс рождения начинался с 0, т.е. чтобы $X_{0}=0$, в то время как другие допускают, чтобы начальное значение было задано распределением вероятностей натуральных чисел. Пространство состояний может включать бесконечность в случае взрывного процесса рождения. Коэффициенты рождаемости еще называют интенсивностью.

Характеристики

Что касается ЦТМК, то процесс рождения обладает марковским свойством . Определения CTMC для связи классов, неприводимости и т. д. применимы к процессам рождения. По условиям повторяемости и скоротечности процесса рождения-смерти , любой процесс рождения преходящ. Матрицы перехода $((p_{i,j}(t))_{i,j\in \mathbb {N} }),t\geq 0)$ процесса рождения удовлетворяют прямому и обратному уравнениям Колмогорова .

Обратные уравнения:

$p'_{i,j}(t)=\lambda _{i}(p_{i+1,j}(t)-p_{i,j}(t))$ (для $i,j\in \mathbb {N}$)

Прямые уравнения:

$p'_{i,i}(t)=-\lambda _{i}p_{i,i}(t)$ (для $i\in \mathbb {N}$)

$p'_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}p_{i,j-1}(t)-\lambda _{j}p_{i,j}(t)$ (для $j\geq i+1$)

Из прямых уравнений следует, что:

$p_{i,i}(t)=e^{-\lambda _{i}t}$ (для $i\in \mathbb {N}$)

$p_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}e^{-\lambda _{j}t}\int _{0}^{t}e^{\lambda _{j}s}p_{i,j-1}(s)\,{\text{d}}s$ (для $j\geq i+1$)

В отличие от процесса Пуассона, процесс рождения может иметь бесконечное количество рождений за конечное время. Мы определяем $T_{\infty }=\sup\{T_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ и сказать, что процесс рождения взрывается, если $T_{\infty }$ конечно. Если $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}<\infty$ тогда процесс взрывной с вероятностью 1; в противном случае он невзрывоопасен с вероятностью 1 («честный»).

Примеры

Процесс Пуассона является частным случаем процесса рождения.

Процесс Пуассона – это процесс рождения, при котором уровень рождаемости постоянен, т.е. $\lambda _{n}=\lambda$ для некоторых $\lambda >0$.

Простой процесс рождения

Простой процесс рождения, при котором уровень рождаемости равен численности нынешнего населения.

Простой процесс рождения – это процесс рождения с нормами $\lambda _{n}=n\lambda$. Он моделирует популяцию, в которой каждая особь рожает неоднократно и независимо со скоростью $\lambda$. Удный Юл изучал эти процессы, поэтому их можно назвать юловскими процессами .

Число рождений во времени $t$ от простого процесса рождения населения $n$ дается:

$p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{m}}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{n-m}+o(h)$

В точной форме число рождений представляет собой отрицательное биномиальное распределение с параметрами $n$ и $e^{-\lambda t}$. Для особого случая $n=1$, это геометрическое распределение с показателем успеха $e^{-\lambda t}$.

Ожидание этого процесса растет в геометрической прогрессии; в частности, если $X_{0}=1$ затем $\mathbb {E} (X_{t})=e^{\lambda t}$.

Простой процесс рождения с иммиграцией представляет собой модификацию этого процесса с нормами $\lambda _{n}=n\lambda +\nu$. Это моделирует население с рождаемостью каждого члена населения в дополнение к постоянному уровню иммиграции в систему.

Ссылки

• Гриметт, Греция ; Стирзакер, Д.Р. (1992). Вероятность и случайные процессы (второе изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0198572220 .
• Карлин, Сэмюэл ; МакГрегор, Джеймс (1957). «Классификация процессов рождения и смерти» (PDF) . Труды Американского математического общества . 86 (2): 366–400.
• Норрис, младший (1997). Марковские цепи . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780511810633 .
• Росс, Шелдон М. (2010). Введение в вероятностные модели (десятое изд.). Академическая пресса. ISBN  9780123756862 .
• Аптон, Г.; Кук, И. (2014). Статистический словарь (третье изд.). ISBN  9780191758317 .