Нецентральное F -распределение

В теории вероятностей и статистике нецентральное — F -распределение это непрерывное распределение вероятностей , которое является нецентральным обобщением (обычного) F - распределения . Он описывает распределение частного ( X / n ₁ )/( Y / n ₂ ), где числитель X имеет нецентральное распределение хи-квадрат с n ₁ степенями свободы, а знаменатель Y имеет центральное распределение хи-квадрат с n ₂ степени свободы. Также требуется, чтобы X и Y были статистически независимы друг от друга.

Это распределение тестовой статистики при анализе дисперсионных задач, когда нулевая гипотеза неверна. Нецентральное F -распределение используется для нахождения степенной функции такого теста.

Возникновение и спецификация

Если $X$ - нецентральная случайная величина хи-квадрат с параметром нецентральности $\lambda$ и $\nu _{1}$ степени свободы и $Y$ представляет собой случайную величину хи-квадрат с $\nu _{2}$ степеней свободы, статистически независимых от $X$, затем

$F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}$

является нецентральной F -распределенной случайной величиной.Функция плотности вероятности (pdf) для нецентрального F -распределения равна

$p(f)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{k}}{B\left({\frac {\nu _{2}}{2}},{\frac {\nu _{1}}{2}}+k\right)k!}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+k}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+\nu _{1}f}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+k}f^{\nu _{1}/2-1+k}$

когда $f\geq 0$ и ноль в противном случае.Степени свободы $\nu _{1}$ и $\nu _{2}$ являются положительными.Термин $B(x,y)$ – бета-функция , где

$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.$

Кумулятивная функция распределения для нецентрального F -распределения равна

$F(x\mid d_{1},d_{2},\lambda )=\sum \limits _{j=0}^{\infty }\left({\frac {\left({\frac {1}{2}}\lambda \right)^{j}}{j!}}e^{-\lambda /2}\right)I\left({\frac {d_{1}x}{d_{2}+d_{1}x}}{\bigg |}{\frac {d_{1}}{2}}+j,{\frac {d_{2}}{2}}\right)$

где $I$ – регуляризованная неполная бета-функция .

Среднее значение и дисперсия нецентрального F -распределения равны

$\operatorname {E} [F]\quad {\begin{cases}={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}&{\text{if }}\nu _{2}>2\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 2\\\end{cases}}$

и

$\operatorname {Var} [F]\quad {\begin{cases}=2{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\right)^{2}&{\text{if }}\nu _{2}>4\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 4.\\\end{cases}}$

Особые случаи

Когда λ = 0, нецентральное F -распределение становится F -распределение .

Связанные дистрибутивы

Z имеет нецентральное распределение хи-квадрат, если

$Z=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}F$

где F имеет нецентральное F -распределение.

См. также нецентральное t-распределение .

Реализации

Нецентральное F -распределение реализовано на языке R (например, функция pf), в MATLAB (функции ncfcdf, ncfinv, ncfpdf, ncfrnd и ncfstat в наборе инструментов статистики), в Mathematica (функция NoncentralFRatioDistribution), в NumPy (random.noncentral_f) и в библиотеках Boost C++ .

Совместная вики-страница реализует интерактивный онлайн-калькулятор, запрограммированный на языке R, для нецентральных распределений t, хи-квадрат и F в Институте статистики и эконометрики Школы бизнеса и экономики Берлинского университета имени Гумбольдта.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В .; и др. «Нецентральное F -распределение» . Математический мир . Вольфрам Рисерч, Инк . Проверено 20 августа 2011 г.