Возведенное в степень распределение Вейбулла

В статистике возведенное в степень семейство Вейбулла вероятностных распределений было введено Мудхолкаром и Шриваставой (1993) как расширение семейства Вейбулла, полученного путем добавления второго параметра формы .

Кумулятивная функция распределения для возведенного в степень распределения Вейбулла равна

$F(x;k,\lambda ;\alpha )=\left[1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\right]^{\alpha }\,$

для x > 0 и F ( x ; k ; λ; α ) = 0 для x < 0. Здесь k > 0 — первый параметр формы , α > 0 — второй параметр формы, а λ > 0 — параметр масштаба распространение.

Плотность

$f(x;k,\lambda ;\alpha )=\alpha {\frac {k}{\lambda }}\left[{\frac {x}{\lambda }}\right]^{k-1}\left[1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\right]^{\alpha -1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$

Есть два важных особых случая:

• α = 1 дает распределение Вейбулла ;
• k = 1 дает возведенное в степень экспоненциальное распределение .

Фон

Семейство распределителей включает унимодальные модели в форме ванны * и монотонная отказов интенсивность . Подобное распределение было введено Заксом в 1984 году и названо экспоненциальным распределением Вейбулла (Zacks 1984). Crevecoeur применил его для оценки надежности стареющих механических устройств и показал, что он учитывает в форме ванны отказов частоту (1993, 1994). Мудхолкар, Шривастава и Коллия (1996) применили обобщенное распределение Вейбулла для моделирования данных о выживаемости. Они показали, что распределение имеет возрастающую, убывающую, ванную и унимодальную функции опасности . Мудхолкар, Шривастава и Фреймер (1995), Мудхолкар и Хатсон (1996), а также Нассар и Эйсса (2003) изучали различные свойства возведенного в степень распределения Вейбулла. Мудхолкар и др. (1995) применили возведенное в степень распределение Вейбулла для моделирования данных об отказах. Мудхолкар и Хатсон (1996) применили возведенное в степень распределение Вейбулла к данным экстремальных значений . Они показали, что возведенное в степень распределение Вейбулла имеет возрастающую, убывающую, ванную и унимодальную степень опасности. Возведенный в степень экспоненциальное распределение, предложенное Гуптой и Кунду (1999, 2001), является частным случаем возведенного в степень семейства Вейбулла. Позже моменты распределения EW были получены Чоудхури (2005). Кроме того, М. Пал, М. М. Али, Дж. Ву (2006) изучили распределение EW и сравнили его с двухпараметрическим распределением Вейбулла и гамма-распределением относительно частоты отказов.

Ссылки

• Чоудри, А. (2005). «Простой вывод моментов возведенного в степень распределения Вейбулла». Метрика . 62 (1): 17–22. дои : 10.1007/s001840400351 .
• Кревекёр, Гу (1993). «Модель оценки целостности стареющих ремонтопригодных систем». Транзакции IEEE о надежности . 42 (1): 148–155. дои : 10.1109/24.210287 .
• Кревекёр, Гу (1994). «Оценка надежности устаревших операционных систем». Европейский журнал машиностроения . 39 (4): 219–228.
• Лю, Дж.; Ван, Ю. (2013). «О модели частоты отказов Кревекера в форме ванны». Вычислительная статистика и анализ данных . 57 (1): 645–660. дои : 10.1016/j.csda.2012.08.002 .
• Мудхолкар, Г.С.; Хатсон, AD (1996). «Возведенное в степень семейство Вейбуллов: некоторые свойства и приложение для сбора данных о наводнениях». Коммуникации в статистике - теория и методы . 25 : 3059–3083. дои : 10.1080/03610929608831886 .
• Мудхолкар, Г.С.; Шривастава, ДК (1993). «Возведенное в степень семейство Вейбулла для анализа данных о показателях отказов ванн». Транзакции IEEE о надежности . 42 (2): 299–302. дои : 10.1109/24.229504 .
• Мудхолкар, Г.С.; Шривастава, ДК; Фреймер, М. (1995). «Возведенное в степень семейство Вейбуллов; повторный анализ данных о неисправности двигателя автобуса». Технометрика . 37 (4): 436–445. дои : 10.2307/1269735 . JSTOR   1269735 .
• Нассар, ММ; Эйсса, FH (2003). «О возведенном в степень распределении Вейбулла». Коммуникации в статистике - теория и методы . 32 : 1317–1336. дои : 10.1081/STA-120021561 .
• Ладонь.; Али, ММ; Ву, Дж. (2006). «Показательное распределение Вейбулла». Статистика . 66 (2): 139–147.
• Закс, С. (1984). «Оценка перехода к изнашиванию систем, имеющих экспоненциальное распределение ресурса Вейбулла». Исследование операций . 32 (3): 741–749. дои : 10.1287/opre.32.3.741 .

Дальнейшее чтение

• Надараджа, С.; Гупта, АК (2005). «О моментах возведенного в степень распределения Вейбулла». Коммуникации в статистике - теория и методы . 34 (2): 253–256. дои : 10.1081/STA-200047460 .