Обозначения для дифференцирования

В дифференциальном исчислении не существует единого единого обозначения дифференцирования . различные обозначения производной функции переменной или Вместо этого разные математики предлагали . Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда бывает выгодно использовать более одной нотации в данном контексте. наиболее распространенные обозначения дифференцирования (и его противоположной операции — антидифференциации или неопределенного интегрирования Ниже перечислены ).

Обозначения Лейбница

ты

дх

д ² и

дх ²

Первая и вторая производные y по x в обозначениях Лейбница.

Основная статья: обозначения Лейбница

Оригинальные обозначения, использованные Готфридом Лейбницем, используются во всей математике. Это особенно распространено, когда уравнение y = f ( x ) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными y и x . Обозначения Лейбница делают это соотношение явным, записывая производную как

${\frac {dy}{dx}}.$

Кроме того, поэтому производная f в точке x записывается

${\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).$

Высшие производные записываются как

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.$

Это наводящий на размышления прием обозначения, возникающий в результате формальных манипуляций с символами, например:

${\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Значение производной y в точке x = a можно выразить двумя способами, используя обозначения Лейбница:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)$.

Обозначения Лейбница позволяют указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных . Это также позволяет правило цепочки легко запомнить и распознать :

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

Обозначение Лейбница для дифференцирования не требует присвоения значения таким символам, как dx или dy (известным как дифференциалы ), как таковым, и некоторые авторы не пытаются придавать значение этим символам. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые . Более поздние авторы присвоили им другие значения, например, бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные . Обычно dx оставляют неопределенным или приравнивают к $\Delta x$, в то время как dy присваивается значение в терминах dx через уравнение

$dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,$

что также можно записать, например

$df=f'(x)\cdot dx$

(см. ниже ). Такие уравнения порождают терминологию, встречающуюся в некоторых текстах, где производная называется «дифференциальным коэффициентом» (т.е. коэффициентом при dx ) .

Некоторые авторы и журналы пишут дифференциальный символ d прямым шрифтом вместо курсива : d x . Руководство по научному стилю ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Обозначение Лейбница для антидифференцировки

$\int y\,dx$
$\iint y\,dx^{2}$

Одинарный и двойной неопределенные интегралы от y по x в обозначениях Лейбница.

Для функций двух или более переменных см. Множественный интеграл .

Лейбниц ввел интегральный символ ∫ в «Анализ тетрагонистической части секунды» и «Методи тангенциум инверса экземпла» (оба 1675 г.). Теперь это стандартный символ интеграции .

${\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}$

Обозначения Лагранжа

ж ′ ( Икс )

Функция f от x , дифференцированная один раз в обозначениях Лагранжа.

Одно из наиболее распространенных современных обозначений дифференцирования названо в честь Жозефа Луи Лагранжа , хотя на самом деле оно было изобретено Эйлером и только что популяризировано первым. В обозначениях Лагранжа штрих обозначает производную. Если f — функция, то ее производная, вычисленная в точке x, записывается

$f'(x)$.

Впервые оно появилось в печати в 1749 году.

Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как в $f''(x)$ для второй производной и $f'''(x)$ для третьей производной . Использование повторяющихся штрихов со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры , обычно в нижнем регистре. как в

$f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,$

для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высоких порядков. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, например:

$f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .$

Эти обозначения также позволяют описать n -ю производную, где n — переменная. Это написано

$f^{(n)}(x).$

Символы Юникода, связанные с обозначениями Лагранжа, включают

• U+2032 ◌′ ПРЕМЬЕР (производная)
• U + 2033 ◌″ DOUBLE PRIME (двойная производная)
• U + 2034 ◌‴ ТРОЙНОЕ ПРАЙМ (третья производная)
• U + 2057 ◌⁗ ЧЕТВЕРТНОЕ ПРОСТОЕ (четвертая производная)

Когда есть две независимые переменные для функции f ( x , y ), можно следовать следующему соглашению:

${\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}$

Обозначение Лагранжа для антидифференцировки

ж ⁽⁻¹⁾ ( х )
ж ⁽⁻²⁾ ( х )

Одинарный и двойной неопределенные интегралы от f по x в обозначениях Лагранжа.

Принимая первообразную, Лагранж следовал обозначениям Лейбница:

$f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.$

Однако, поскольку интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, обозначения Лагранжа для производных более высокого порядка распространяются и на интегралы. Повторные интегралы от f можно записать как

$f^{(-1)}(x)$ для первого интеграла (его легко спутать с обратной функцией $f^{-1}(x)$),

$f^{(-2)}(x)$ для второго интеграла

$f^{(-3)}(x)$ для третьего интеграла и

$f^{(-n)}(x)$ для n- го интеграла.

D-нотация

Д _х у
Д ² ж

Производная x от y и вторая производная от f , обозначение Эйлера.

Это обозначение иногда называют Обозначение Эйлера, хотя оно было введено Луи Франсуа Антуаном Арбогастом , и кажется, что Леонард Эйлер не использовал его.

В этом обозначении используется дифференциальный оператор , обозначаемый как D ( оператор D ) или D̃ ( оператор Ньютона–Лейбница ). Применительно к функции f ( x ) она определяется формулой

$(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.$

Высшие производные обозначаются как «степени» D (где верхние индексы обозначают повторяющуюся композицию D ) , как в

$D^{2}f$ для второй производной,

$D^{3}f$ для третьей производной и

$D^{n}f$ для n -й производной.

D-нотация оставляет неявной переменную, по которой проводится дифференцирование. Однако эту переменную также можно сделать явной, поместив ее имя в виде нижнего индекса: если f является функцией переменной x , это можно сделать, написав

$D_{x}f$ для первой производной,

$D_{x}^{2}f$ для второй производной,

$D_{x}^{3}f$ для третьей производной и

$D_{x}^{n}f$ для n -й производной.

Когда f является функцией нескольких переменных, обычно используется « ∂ », стилизованная строчная буква d, а не « D ». Как и выше, нижние индексы обозначают принимаемые производные. Например, вторые частные производные функции f ( x , y ) :

${\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}$

См. § Частные производные .

D-нотация полезна при изучении дифференциальных уравнений и в дифференциальной алгебре .

D-нотация для первообразных

Д ⁻¹
_х у
Д ⁻² ж

Первообразная x от y и вторая первообразная от f , обозначение Эйлера.

D-нотацию можно использовать для первообразных так же, как нотацию Лагранжа. следующее

$D^{-1}f(x)$ для первой первообразной,

$D^{-2}f(x)$ для второй первообразной и

$D^{-n}f(x)$ для n -й первообразной.

Обозначения Ньютона

ẋ ẍ

Первая и вторая производные x , обозначения Ньютона.

Исаака Ньютона Обозначение дифференцирования (также называемое точечной записью , флюксиями или иногда, грубо говоря, обозначением мухи) для дифференциации) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией t , то производная y по t равна

${\dot {y}}$

Высшие производные обозначаются несколькими точками, как в

${\ddot {y}},{\overset {...}{y}}$

Ньютон расширил эту идею довольно далеко:

${\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}$

Символы Юникода, связанные с обозначениями Ньютона, включают:

• U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
• U + 0308 ◌̈ КОМБИНИРОВАНИЕ ДИЭРЕЗА (двойная производная)
• U+20DB ◌⃛ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диарезиса» + «объединение точки выше».
• U+20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменено на «объединение диэрезиса».
• U + 030D ◌̍ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (целое)
• U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
• U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (целый)
• U+20DE ◌⃞ ОБЪЕДИНЯЮЩИЙ КВАДРАТ (целый)
• U+1DE0 ◌ᷠ СОЕДИНЕНИЕ ЛАТИНСКОЙ СТРОЧНОЙ БУКВЫ N ( n- я производная)

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время . Если местоположение y является функцией t , то ${\dot {y}}$ обозначает скорость и ${\ddot {y}}$ обозначает ускорение . Это обозначение популярно в физике и математической физике . Оно также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения .

При взятии производной зависимой переменной y = f ( x ) существует альтернативное обозначение:

${\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.$

Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X ( ⵋ ). Определения, данные Уайтсайдом, приведены ниже:

${\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}$

Обозначение Ньютона для интегрирования

х̍ х̎

Первая и вторая первообразные x в одной из обозначений Ньютона.

Ньютон разработал множество различных обозначений для интегрирования в своей Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах : он писал небольшую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ( y̍ ), прямоугольник с префиксом ( ▭ y ) или заключение термина в прямоугольник ( y ) для обозначения плавного или временного интеграла ( absement ).

${\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}$

Чтобы обозначить кратные интегралы, Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа ( y̎ ) или комбинацию предыдущих символов ▭ y̍   y̍ , чтобы обозначить второй интеграл по времени (абситность).

${\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}$

Интегралы по времени высшего порядка были следующими:

${\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}$

Эта математическая запись не получила широкого распространения из-за трудностей с печатью и разногласий по поводу исчисления Лейбница-Ньютона .

Частные производные

е _х е _ху

Функция f дифференцируется по x , затем по x и y .

Когда необходимы более конкретные типы дифференциации, например, в многомерном исчислении или тензорном анализе , обычно используются другие обозначения.

Для функции f одной независимой переменной x мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:

${\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}$

Этот тип обозначений особенно полезен для получения частных производных функции нескольких переменных.

⁠ ∂f / ∂x ⁠

Функция f, дифференцированная по x .

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d символом « ∂ ». Например, мы можем указать частную производную f ( x , y , z ) по x , но не по y или z несколькими способами:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.$

Важность этого различия заключается в том, что нечастная производная, такая как $\textstyle {\frac {df}{dx}}$ может , в зависимости от контекста, интерпретироваться как скорость изменения $f$ относительно $x$ когда всем переменным разрешено изменяться одновременно, тогда как с частной производной, такой как $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}$ очевидно, что изменяться должна только одна переменная.

Другие обозначения можно найти в различных разделах математики, физики и техники; см., например, соотношения Максвелла в термодинамике . Символ $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}$ является производной температуры T по объему V при сохранении постоянной энтропии (индекс) S , а $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}$ производная температуры по объему при постоянном давлении P. — Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, так что приходится выбирать, какие другие переменные следует оставить фиксированными.

Частные производные более высокого порядка по одной переменной выражаются как

${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}$

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.$

В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:

${\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}$

Так называемая многоиндексная нотация используется в ситуациях, когда приведенная выше нотация становится громоздкой или недостаточно выразительной. При рассмотрении функций на $\mathbb {R} ^{n}$мы определяем мультииндекс как упорядоченный список $n$ неотрицательные целые числа: $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$. Затем мы определяем, для $f:\mathbb {R} ^{n}\to X$, обозначение

$\partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f$

Таким образом, некоторые результаты (например, правило Лейбница ), которые утомительно записывать другими способами, могут быть кратко выражены - некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексах .

Обозначения в векторном исчислении

исчисление касается дифференцирования и интегрирования векторных Векторное или скалярных полей . Некоторые обозначения, характерные для случая трехмерного евклидова пространства, являются общими.

Предположим, что ( x , y , z ) — заданная декартова система координат , что A — векторное поле с компонентами $\mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})$, и это $\varphi =\varphi (x,y,z)$ является скалярным полем .

Дифференциальный оператор, введенный Уильямом Роуэном Гамильтоном , обозначаемый ∇ и называемый del или nabla, символически определяется в виде вектора,

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,$

где терминология символически отражает то, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

∇ φ

Градиент скалярного поля φ .

• Градиент : Градиент $\mathrm {grad\,} \varphi$ скалярного поля $\varphi$ — вектор, который символически выражается умножением ∇ и скалярного поля $\varphi$,

${\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}$

∇∙ A

Дивергенция векторного поля A .

• Дивергенция : Дивергенция $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ векторного поля A является скаляром, который символически выражается скалярным произведением ∇ и вектора A ,

${\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}$

∇ ² ж

Лапласиан скалярного поля φ .

• Лапласиан : Лапласиан $\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi$ скалярного поля $\varphi$ является скаляром, который символически выражается скалярным умножением ∇ ² и скалярное поле φ ,

${\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}$

∇× A

Ротор векторного поля A .

• Вращение : Вращение $\mathrm {curl} \,\mathbf {A}$, или $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$, векторного поля A является вектором, который символически выражается векторным произведением ∇ и вектора A ,

${\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$

Многие символические операции над производными можно напрямую обобщить с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения с одной переменной имеет прямой аналог умножения скалярных полей с применением оператора градиента, как в

$(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).$

Многие другие правила исчисления одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, ротора и лапласиана.

Дальнейшие обозначения были разработаны для более экзотических типов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского , оператор Даламбера также называемый волновым оператором Даламбера или квадратным оператором, представляется как $\Box$или как $\Delta$ когда это не противоречит символу лапласиана.

См. также

• Аналитическое общество - британская группа XIX века, которая пропагандировала использование лейбницианского или аналитического исчисления в отличие от ньютоновского исчисления. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Производная – мгновенная скорость изменения (математика)
• Fluxion - Историческая математическая концепция; форма производной
• Матрица Гессе - (математическая) матрица вторых производных.
• Матрица Якобиана — матрица всех частных производных первого порядка векторной функции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Список математических символов по предметам : значения символов, используемых в математике. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Операционное исчисление

Внешние ссылки

• Самое раннее использование символов исчисления , поддерживается Джеффом Миллером ( архивировано 26 июля 2020 г. в Wayback Machine ).