Jump to content

Многомерное t -распределение

Многомерное т
Обозначения
Параметры местоположение ( реальное вектор )
масштабная матрица ( положительно-определенная действительная матрица )
(действительный) представляет степени свободы
Поддерживать
PDF
CDF Аналитического выражения нет, но приблизительные значения см. в тексте.
Иметь в виду если ; еще неопределенное
медиана
Режим
Дисперсия если ; еще неопределенное
асимметрия 0

В статистике многомерное многомерное распределение t -распределение (или Стьюдента ) является многомерным распределением вероятностей . Это обобщение на случайные векторы , Стьюдента t -распределения которое применимо к одномерным случайным величинам . Хотя случай случайной матрицы можно рассматривать в рамках этой структуры, матричное t -распределение отличается и использует особую матричную структуру.

Определение

[ редактировать ]

Один распространенный метод построения многомерного t -распределения для случая размеров, основан на наблюдении, что если и независимы и распределены как и (т.е. многомерное нормальное распределение и распределение хи-квадрат ) соответственно, матрица представляет собой матрицу p × p , и — постоянный вектор, то случайная величина имеет плотность [1]

и называется распределённым как многомерное t -распределение с параметрами . Обратите внимание, что не является ковариационной матрицей, поскольку ковариация определяется выражением (для ).

Конструктивное определение многомерного t -распределения одновременно служит алгоритмом выборки:

  1. Генерировать и , независимо.
  2. Вычислить .

Эта формулировка приводит к иерархическому представлению многомерного t -распределения как смеси масштабов нормалей: где указывает на гамма-распределение с плотностью, пропорциональной , и условно следует .

В особом случае , распределение является многомерным распределением Коши .

На самом деле существует много кандидатов на многомерное обобщение Стьюдента t -распределения . Обширное исследование месторождения было проведено Коцем и Надараджей (2004). Существенным вопросом является определение функции плотности вероятности нескольких переменных, которая является подходящим обобщением формулы для одномерного случая. В одном измерении ( ), с и , мы имеем функцию плотности вероятности

и один из подходов заключается в использовании соответствующей функции нескольких переменных. Это основная идея эллиптической теории распределения , в которой записывают соответствующую функцию переменные который заменяет квадратичной функцией всех . Понятно, что это имеет смысл только тогда, когда все маргинальные распределения имеют одинаковые степени свободы. . С , имеется простой выбор многомерной функции плотности

это стандартный, но не единственный выбор.

Важным частным случаем является стандартное двумерное t -распределение , p = 2:

Обратите внимание, что .

Теперь, если – единичная матрица, плотность –

Трудность стандартного представления обнаруживается в этой формуле, которая не учитывает произведение маргинальных одномерных распределений. Когда диагонально, можно показать, что стандартное представление имеет нулевую корреляцию , но маргинальные распределения не являются статистически независимыми .

Примечательным спонтанным появлением эллиптического многомерного распределения является его формальное математическое появление, когда методы наименьших квадратов применяются к многомерным нормальным данным, таким как классическое эконометрическое решение Марковица с минимальной дисперсией для портфелей активов. [2]

Кумулятивная функция распределения

[ редактировать ]

Определение кумулятивной функции распределения (cdf) в одном измерении можно распространить на несколько измерений, определив следующую вероятность (здесь действительный вектор):

Не существует простой формулы для , но его можно аппроксимировать численно с помощью интегрирования Монте-Карло . [3] [4] [5]

Условное распределение

[ редактировать ]

Это было разработано Мюрхедом. [6] и Корнуолл. [7] но позже получено Ротом с использованием более простого представления отношения хи-квадрат, приведенного выше. [1] и Дин. [8] Пусть вектор следовать многомерному распределению t и разделить на два подвектора элементы:

где известные средние векторы и масштабная матрица .

Рот и Дин находят условное распределение. быть новым t -распределением с измененными параметрами.

Эквивалентное выражение у Kotz et. ал. несколько менее лаконичен.

Формируем сначала промежуточное распределение , явное условное распределение отображается как:

где

Эффективные степени свободы, дополненные неиспользуемыми переменными.
является условным средним значением
является Шура дополнением ; условная ковариация.
- квадрат Махаланобиса расстояния от с масштабной матрицей

Копулы на основе многомерного t

[ редактировать ]

Использование таких распределений вызывает новый интерес благодаря приложениям в математических финансах Стьюдента , особенно благодаря использованию t- копулы . [9]

Эллиптическое представление

[ редактировать ]

Построенное как эллиптическое распределение , [10] возьмем простейший централизованный случай со сферической симметрией и без масштабирования, , то многомерный t -PDF принимает вид

где и = степени свободы, определенные Мюрхедом [6] раздел 1.5. Ковариация является

Цель состоит в том, чтобы преобразовать декартов PDF в радиальный. Кибрия и Джоардер, [11] определить радиальную меру и, учитывая, что плотность зависит только от r 2 , получаем

что эквивалентно дисперсии -элемент вектора рассматривается как одномерная случайная последовательность с тяжелым хвостом и нулевым средним с некоррелированными, но статистически зависимыми элементами.

Радиальное распределение

[ редактировать ]

соответствует Fisher-Snedecor или распределение:

имеющий среднее значение . -распределения естественным образом возникают при тестировании сумм квадратов выборочных данных после нормализации по выборочному стандартному отклонению.

Заменой случайной величины на в приведенном выше уравнении, сохраняя -вектор , у нас есть и распределение вероятностей

которое представляет собой обычное бета-простое распределение имеющий среднее значение .

Кумулятивное радиальное распределение

[ редактировать ]

Учитывая бета-простое распределение, радиальная кумулятивная функция распределения известно:

где является неполной бета-функцией и применяется со сферической предположение.

В скалярном случае , распределение эквивалентно Стьюденту- t с эквивалентностью , переменная t имеет двусторонние хвосты для целей CDF, т. е. «t-критерий с двумя хвостами».

Радиальное распределение также можно получить с помощью прямого преобразования координат из декартовой в сферическую. Поверхность постоянного радиуса при с PDF представляет собой поверхность изоплотности. Учитывая это значение плотности, квант вероятности на оболочке с площадью поверхности и толщина в является .

Прилагаемый -сфера радиуса имеет площадь поверхности . Замена на показывает, что оболочка имеет элемент вероятности что эквивалентно функции радиальной плотности

что еще больше упрощает где это бета-функция .

Изменение радиальной переменной на возвращает предыдущий дистрибутив Beta Prime

Чтобы масштабировать радиальные переменные без изменения функции радиальной формы, определите матрицу масштабирования. , что дает 3-параметрическую декартову функцию плотности, т.е. вероятность в элементе объема является

или, в терминах скалярной радиальной переменной ,

Радиальные моменты

[ редактировать ]

Моменты всех радиальных переменных в предположении сферического распределения могут быть получены из простого бета-распределения. Если затем , известный результат. Таким образом, для переменной у нас есть

Моменты являются

при вводе масштабной матрицы урожайность

Моменты, относящиеся к радиальной переменной находятся путем установки и после чего

Линейные комбинации и аффинное преобразование

[ редактировать ]

Полное преобразование ранга

[ редактировать ]

Это тесно связано с многомерным нормальным методом и описано у Коца и Надараджи, Кибрии и Джоардера, Рота и Корниша. Начиная с несколько упрощенной версии центрального MV-t pdf: , где является константой и произвольно, но фиксировано, пусть быть матрицей полного ранга и форм-вектором . Тогда непосредственной заменой переменных

Матрица частных производных и якобиан становится . Таким образом

Знаменатель сводится к

Полностью:

что является регулярным распределением MV -t .

В общем, если и имеет полный ранг затем

Предельные распределения

[ редактировать ]

Это частный случай приведенного ниже линейного преобразования, понижающего ранг. Коц определяет маргинальные распределения следующим образом. Раздел на два подвектора элементы:

с , означает , масштабная матрица

затем , такой, что

Если преобразование построено в виде

затем вектор , как обсуждается ниже, имеет то же распределение, что и предельное распределение .

Линейное преобразование с понижением ранга

[ редактировать ]

В случае линейного преобразования, если представляет собой прямоугольную матрицу , ранга Результатом является уменьшение размерности. Вот, якобиан кажется прямоугольным, но значение в знаменателе pdf тем не менее правильный. В Эйткене обсуждаются детерминанты произведения прямоугольной матрицы. [12] В общем, если и имеет полный ранг затем

В крайнем случае , если m = 1 и становится вектором-строкой, тогда скаляр Y следует одномерному двустороннему распределению Стьюдента, определяемому формулой с тем же самым степени свободы. Кибрия и др. ал. используйте аффинное преобразование, чтобы найти маргинальные распределения, которые также являются MV- t .

  • При аффинных преобразованиях переменных с эллиптическими распределениями все векторы в конечном итоге должны происходить из одного исходного изотропного сферического вектора. элементы которого остаются «запутанными» и не являются статистически независимыми.
  • Вектор независимых t- выборок студента не согласуется с многомерным t- распределением.
  • Добавление двух выборочных многомерных векторов t , сгенерированных с помощью независимых выборок хи-квадрат и разных ценности: не приведет к внутренне согласованным распределениям, хотя и приведет к проблеме Беренса-Фишера . [13]
  • Талеб сравнивает множество примеров эллиптических и неэллиптических многомерных распределений с толстым хвостом.
[ редактировать ]
  • В одномерной статистике Стьюдента t -критерий использует Стьюдента. t -распределение
  • Эллиптическое многомерное распределение t возникает спонтанно в решениях методом наименьших квадратов с линейными ограничениями, включающих многомерные нормальные исходные данные, например, решение Марковица с глобальной минимальной дисперсией в анализе финансового портфеля. [14] [15] [2] который обращается к ансамблю нормальных случайных векторов или случайной матрице. Это не возникает в обычном методе наименьших квадратов (OLS) или множественной регрессии с фиксированными зависимыми и независимыми переменными, где проблема имеет тенденцию создавать нормальные вероятности ошибок с хорошим поведением.
  • -квадрат Хотеллинга Т Распределение — это распределение, возникающее в многомерной статистике.
  • Матричное . t -распределение представляет собой распределение случайных величин, организованное в матричную структуру

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б Рот, Майкл (17 апреля 2013 г.). «О многомерном распределении t» (PDF) . Группа автоматического управления. Университет Линчёпина, Швеция . Архивировано (PDF) из оригинала 31 июля 2022 года . Проверено 1 июня 2022 г.
  2. ^ Jump up to: а б Боднар, Т; Охрин Ю (2008). «Свойства сингулярного, обратного и обобщенного обратного разделенного распределения Уишарта» (PDF) . Журнал многомерного анализа . 99 (уравнение 20): 2389–2405.
  3. ^ Ботев З.; Чен, Ю.-Л. (2022). «Глава 4: Усеченные многомерные вычисления Стьюдента посредством экспоненциального наклона». . В Ботеве, Здравко; Келлер, Александр; Лемье, Кристиан; Таффин, Бруно (ред.). Достижения в моделировании и симуляции: Festschrift для Пьера Л'Экуайера . Спрингер. стр. 65–87. ISBN  978-3-031-10192-2 .
  4. ^ Ботев З.И.; Л'Экуйер, П. (6 декабря 2015 г.). «Эффективная оценка вероятности и моделирование усеченного многомерного распределения Стьюдента». Зимняя конференция по моделированию (WSC) 2015 . Хантингтон-Бич, Калифорния, США: IEEE. стр. 380–391. дои : 10.1109/WSC.2015.7408180 .
  5. ^ Генц, Алан (2009). Вычисление многомерных нормальных и t вероятностей . Конспект лекций по статистике. Том. 195. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-01689-9 . ISBN  978-3-642-01689-9 . Архивировано из оригинала 27 августа 2022 г. Проверено 5 сентября 2017 г.
  6. ^ Jump up to: а б Мюрхед, Робб (1982). Аспекты многомерной статистической теории . США: Уайли. С. 32–36 Теорема 1.5.4. ISBN  978-0-47 1-76985-9 .
  7. ^ Корниш, Э.А. (1954). «Многомерное t-распределение, связанное с набором нормальных выборочных отклонений» . Австралийский физический журнал . 7 : 531–542. дои : 10.1071/PH550193 .
  8. ^ Дин, Пэн (2016). «Об условном распределении многомерного распределения» . Американский статистик . 70 (3): 293–295. arXiv : 1604.00561 . дои : 10.1080/00031305.2016.1164756 . S2CID   55842994 .
  9. ^ Демарта, Стефано; Макнил, Александр (2004). «Т-связка и родственные связки» (PDF) . Рискнет .
  10. ^ Осевальский, Яцек; Стил, Марк (1996). «Апостериорные моменты масштабных параметров в моделях эллиптической выборки». Байесовский анализ в статистике и эконометрике . Уайли. стр. 323–335. ISBN  0-471-11856-7 .
  11. ^ Кибрия, КМГ; Джоардер, AH (январь 2006 г.). «Краткий обзор многомерного t-распределения» (PDF) . Журнал статистических исследований . 40 (1): 59–72. дои : 10.1007/s42979-021-00503-0 . S2CID   232163198 .
  12. ^ Эйткен, AC - (1948). Определители и матрицы (5-е изд.). Эдинбург: Оливер и Бойд. стр. Глава IV, раздел 36.
  13. ^ Хирон, Хавьер; дель Кастильо, Кармен (2010). «Многомерное распределение Беренса – Фишера» . Журнал многомерного анализа . 101 (9): 2091–2102. дои : 10.1016/j.jmva.2010.04.008 .
  14. ^ Охрин Ю.; Шмид, В. (2006). «Распределительные свойства весов портфеля» . Журнал эконометрики . 134 : 235–256.
  15. ^ Боднар, Т; Дмитров, С; Пароля, Н; Шмид, В. (2019). «Тестирование весов глобального портфеля минимальных отклонений в многомерной среде» . IEEE Транс. по обработке сигналов . 67 (17): 4479–4493.

Литература

[ редактировать ]
  • Коц, Сэмюэл; Надараджа, Саралис (2004). Многомерные распределения и их приложения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521826549 .
  • Керубини, Умберто; Лучано, Элиза; Веккиато, Уолтер (2004). Копульные методы в финансах . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0470863442 .
  • Талеб, Нассим Николас (2023). Статистические последствия «толстых хвостов» (1-е изд.). Академическая пресса. ISBN  979-8218248031 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 86d6fa249330f4ddb0e463fc568e0519__1713607440
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/86/19/86d6fa249330f4ddb0e463fc568e0519.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Multivariate t-distribution - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)