Матрица t -распределения

Матрица т

Обозначения	${\rm {T}}_{n,p}(\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$
Параметры	$\mathbf {M}$ местоположение ( реальное $n\times p$ матрица ) ${\boldsymbol {\Omega }}$ масштаб ( положительно-определенный действительный $p\times p$ матрица ) ${\boldsymbol {\Sigma }}$ масштаб ( положительно-определенный действительный $n\times n$ матрица ) $\nu >0$ степени свободы (реальные)
Поддерживать	$\mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}$
PDF	${\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}$ $\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}$
CDF	Нет аналитического выражения
Иметь в виду	$\mathbf {M}$ если $\nu >1$, иначе неопределенное
Режим	$\mathbf {M}$
Дисперсия	${\frac {{\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}}{\nu -2}}$ если $\nu >2$, иначе неопределенное
CF	см. ниже

В статистике матрица от t -распределения (или матричная переменная t -распределения ) является обобщением многомерного t -распределения векторов к матрицам .

Матричное t -распределение имеет те же отношения с многомерным t -распределением, что и матричное нормальное распределение с многомерным нормальным распределением : если матрица имеет только одну строку или только один столбец, распределения становятся эквивалентными соответствующим (векторным) распределениям. )многомерное распределение. Матричное t -распределение представляет собой сложное распределение , которое получается в результате бесконечной смеси матричного нормального распределения с обратным распределением Уишарта, помещенным над любой из его ковариационных матриц: и многомерное t -распределение может быть создано аналогичным образом.

В байесовском анализе многомерной модели линейной регрессии, основанной на матричном нормальном распределении, матричное t -распределение является апостериорным прогнозирующим распределением .

Определение

Для матричного t -распределения функция плотности вероятности в точке $\mathbf {X}$ из $n\times p$ космос это

$f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},$

где константа интегрирования K определяется выражением

$K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.$

Здесь $\Gamma _{p}$ – многомерная гамма-функция .

Характеристическая функция и различные другие свойства могут быть получены из обобщенного матричного t -распределения (см. ниже).

Обобщенная матрица t - распределения

Обобщенная матрица t

Обозначения	${\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$
Параметры	$\mathbf {M}$ местоположение ( реальное $n\times p$ матрица ) ${\boldsymbol {\Omega }}$ масштаб ( положительно-определенный действительный $p\times p$ матрица ) ${\boldsymbol {\Sigma }}$ масштаб ( положительно-определенный действительный $n\times n$ матрица ) $\alpha >(p-1)/2$ параметр формы $\beta >0$ параметр масштаба
Поддерживать	$\mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}$
PDF	${\frac {\Gamma _{p}(\alpha +n/2)}{(2\pi /\beta )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}(\alpha )}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}$ $\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-(\alpha +n/2)}$ $\Gamma _{p}$ – многомерная гамма-функция .
CDF	Нет аналитического выражения
Иметь в виду	$\mathbf {M}$ если $\alpha >p/2$, иначе неопределенное
Дисперсия	${\frac {2({\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }})}{\beta (2\alpha -p-1)}}$ если $\alpha >(p+1)/2$, иначе неопределенное
CF	см. ниже

Обобщенное матричное t -распределение является обобщением матрицы t -распределения с двумя параметрами $\alpha$ и $\beta$ вместо $\nu$.

Это сводится к стандартному матричному t -распределению с $\beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2}}.$

Обобщенное матричное t -распределение представляет собой сложное распределение , которое получается в результате бесконечной смеси матричного нормального распределения с обратным многомерным гамма-распределением, помещенным над любой из его ковариационных матриц.

Характеристики

Если $\mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$ затем

$\mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).$

Вышеупомянутое свойство вытекает из определяющей теоремы Сильвестра :

$\det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=$

$\det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).$

Если $\mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$ и $\mathbf {A} (n\times n)$ и $\mathbf {B} (p\times p)$ являются невырожденными матрицами , то

$\mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).$

Характеристическая функция ​

$\phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),$

где

$B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,$

и где $B_{\delta }$ второго типа - функция Бесселя Герца матричного аргумента.

См. также

• Многомерное t -распределение
• Матричное нормальное распределение

Внешние ссылки

• Библиотека C++ для генератора случайных матриц.