Распределение Моффата

Распределение Моффата , названное в честь физика Энтони Моффата , представляет собой непрерывное распределение вероятностей, основанное на распределении Лоренца . Его особое значение в астрофизике обусловлено его способностью точно восстанавливать функции рассеяния точки , крылья которых не могут быть точно изображены ни с помощью функции Гаусса , ни с помощью функции Лоренца .

Характеристика

Функция плотности вероятности

Распределение Моффата можно описать двумя способами. Во-первых, как распределение двумерной случайной величины ( X , Y ) с центром в нуле, а во-вторых, как распределение соответствующих радиусов $$R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}.$$С точки зрения случайного вектора ( X , Y ) распределение имеет функцию плотности вероятности (pdf) $$f(x,y;\alpha ,\beta )={\frac {\beta -1}{\pi \alpha ^{2}}}\left[1+\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)\right]^{-\beta },$$где $\alpha$ и $\beta$ видят зависимые параметры . В этой форме распределение представляет собой перепараметризацию двумерного распределения Стьюдента с нулевой корреляцией.

В терминах случайной величины R распределение имеет плотность $$f(r;\alpha ,\beta )=2{\frac {\beta -1}{\alpha ^{2}}}\left[1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right]^{-\beta }.$$

Связь с другими дистрибутивами

• Распределение Пирсона
• t-распределение Стьюдента для $\beta ={\frac {\alpha ^{2}+1}{2}}$
• Нормальное распределение для $\beta ={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\rightarrow \infty$, поскольку для показательной функции $\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Ссылки

• Теоретическое исследование фокальных звездных изображений в фотоэмульсии (1969) – А.Ф.Дж. Моффат