Обобщенное многомерное логарифмическое гамма-распределение

В теории вероятностей и статистике обобщенное многомерное логарифмическое гамма-распределение (G-MVLG) — это многомерное распределение, введенное Демирханом и Хамуркароглу. в 2011 году. G-MVLG — это гибкий дистрибутив. Асимметрия и эксцесс хорошо контролируются параметрами распределения. Это позволяет контролировать дисперсию распределения. Из-за этого свойства распределение эффективно используется в качестве совместного априорного распределения в байесовском анализе , особенно когда вероятность не принадлежит к семейству распределений в масштабе местоположения, например нормальному распределению .

Совместная функция плотности вероятности

Если ${\boldsymbol {Y}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm {MVLG} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }})$, совместная функция плотности вероятности (pdf) ${\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{k})$ дается следующим образом:

$f(y_{1},\dots ,y_{k})=\delta ^{\nu }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu )n!}}\exp {\bigg \{}(\nu +n)\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}y_{i}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\exp\{\mu _{i}y_{i}\}{\bigg \}},$

где ${\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{k},\nu >0,\lambda _{j}>0,\mu _{j}>0$ для $j=1,\dots ,k,\delta =\det({\boldsymbol {\Omega }})^{\frac {1}{k-1}},$ и

${\boldsymbol {\Omega }}=\left({\begin{array}{cccc}1&{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{12})}}&\cdots &{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{1k})}}\\{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{12})}}&1&\cdots &{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{2k})}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{1k})}}&{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{2k})}}&\cdots &1\end{array}}\right),$

$\rho _{ij}$ это корреляция между $Y_{i}$ и $Y_{j}$, $\det(\cdot )$ и $\mathrm {abs} (\cdot )$ обозначают определитель и абсолютное значение внутреннего выражения соответственно, и ${\boldsymbol {g}}=(\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }}^{T},{\boldsymbol {\mu }}^{T})$ включает параметры распределения.

Характеристики

Функция создания совместного момента

Совместная производящая момент функция распределения G-MVLG выглядит следующим образом:

$M_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=\delta ^{\nu }{\bigg (}\prod _{i=1}^{k}\lambda _{i}^{t_{i}/\mu _{i}}{\bigg )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\nu +n)}{\Gamma (\nu )n!}}(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\Gamma (\nu +n+t_{i}/\mu _{i})}{\Gamma (\nu +n)}}.$

Маргинальные центральные моменты

$r^{\text{th}}$ предельный центральный момент $Y_{i}$ выглядит следующим образом:

${\mu _{i}}'_{r}=\left[{\frac {(\lambda _{i}/\delta )^{t_{i}/\mu _{i}}}{\Gamma (\nu )}}\sum _{k=0}^{r}{\binom {r}{k}}\left[{\frac {\ln(\lambda _{i}/\delta )}{\mu _{i}}}\right]^{r-k}{\frac {\partial ^{k}\Gamma (\nu +t_{i}/\mu _{i})}{\partial t_{i}^{k}}}\right]_{t_{i}=0}.$

Предельное ожидаемое значение и дисперсия

Предельная ожидаемая стоимость $Y_{i}$ выглядит следующим образом:

$\operatorname {E} (Y_{i})={\frac {1}{\mu _{i}}}{\big [}\ln(\lambda _{i}/\delta )+\digamma (\nu ){\big ]},$

$\operatorname {var} (Z_{i})=\digamma ^{[1]}(\nu )/(\mu _{i})^{2}$

где $\digamma (\nu )$ и $\digamma ^{[1]}(\nu )$ – значения дигамма- и тригамма-функций при $\nu$, соответственно.

Связанные дистрибутивы

Демирхан и Хамуркароглу устанавливают связь между распределением G-MVLG и распределением Гамбеля ( распределение экстремальных значений типа I ) и дают многомерную форму распределения Гамбеля, а именно обобщенное многомерное распределение Гамбеля (G-MVGB). Совместная функция плотности вероятности ${\boldsymbol {T}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm {MVGB} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }})$ следующее:

$f(t_{1},\dots ,t_{k};\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }}))=\delta ^{\nu }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu )n!}}\exp {\bigg \{}-(\nu +n)\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}t_{i}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\exp\{-\mu _{i}t_{i}\}{\bigg \}},\quad t_{i}\in \mathbb {R} .$

Дистрибутив Gumbel имеет широкий спектр применения в области анализа рисков . Следовательно, дистрибутив G-MVGB должен быть полезен при применении к такого рода проблемам.