Многообразие Финслера

В математике , особенно в дифференциальной геометрии , многообразие Финслера — это дифференцируемое многообразие $M$ , где (возможно, асимметричная ) норма Минковского $F (x, -)$ обеспечивается на каждом касательном пространстве $T x M$ , что позволяет определить длину любой гладкой кривой. $γ : [a, b] \to M$ как

L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t.

Финслеровы многообразия являются более общими, чем римановы многообразия , поскольку касательные нормы не обязательно должны быть индуцированы скалярными произведениями .

Каждое финслерово многообразие становится внутренним квазиметрическим пространством , если расстояние между двумя точками определяется как минимальная длина соединяющих их кривых.

Эли Картан ( 1933 ) назвал финслеровые многообразия в честь Пола Финслера , который изучал эту геометрию в своей диссертации ( Finsler 1918 ).

Определение

Финслерово многообразие — это дифференцируемое многообразие $M$ вместе с финслеровой метрикой , которая представляет собой непрерывную неотрицательную функцию $F : TM \to [0, +\infty),$ определенную на касательном расслоении так, что для каждой точки $x$ из $M$ ,

$F (v + w) \leq F (v) + F (w)$ для каждых двух векторов $v, w,$ касающихся $M$ в точке $x$ ( субаддитивность ).
$F (λ v) = λ F (v)$ для всех $λ \geq 0$ (но не обязательно для $λ < 0)$ ( положительная однородность ).
$F (v) > 0,$ если только $v = 0$ ( положительная определенность ).

Другими словами, $F (x, -)$ является асимметричной нормой в каждом касательном пространстве $T x M$ . Финслерова метрика $F$ также должна быть гладкой , точнее:

$F$ гладкая сечения нулевого $TM на дополнении$ .

Тогда аксиому субаддитивности можно заменить следующим сильным условием выпуклости :

касательного вектора $v \neq 0$ матрица Гессе F $Для каждого 2$ при $v$ положительно определен .

Здесь гессиан $F 2$ at $v$ — симметричная билинейная форма

\mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0},

также известный как тензор F $фундаментальный$ в $v$ . Сильная выпуклость $F$ влечет за собой субаддитивность со строгим неравенством, если $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ты ⁄ F ( ты ) ≠ v ⁄ F ( v )$ . Если $F$ сильно выпукло, то оно является нормой Минковского в каждом касательном пространстве.

Финслерова метрика обратима, если, кроме того,

$F (- v) знак равно F (v)$ для всех касательных векторов v .

Обратимая метрика Финслера определяет норму (в обычном смысле) на каждом касательном пространстве.

Примеры

Гладкие подмногообразия (включая открытые подмножества) нормированного векторного пространства конечной размерности являются финслеровыми многообразиями, если норма векторного пространства гладкая вне начала координат.
Римановы многообразия (но не псевдоримановы многообразия ) являются частными случаями финслеровых многообразий.

Многообразия Рандерса

Позволять $(M,a)$ — риманово многообразие , а b — дифференциальная форма на M с

\|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,

где $\left(a^{ij}\right)$ является матрицей обратной $(a_{ij})$ и обозначения Эйнштейна используются . Затем

F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}

определяет метрику Рандерса на M и $(M,F)$ — многообразие Рандерса , частный случай необратимого многообразия Финслера. ^[1]

Гладкие квазиметрические пространства

Пусть ( M , d ) — , так что M также является дифференцируемым многообразием , а d совместимо с дифференциальной структурой M квазиметрика в следующем смысле:

Вокруг любой точки z на M существует гладкая карта ( U , φ) M и константа C ≥ 1 такая, что для любых x , y ∈ U
${\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.$
Функция d : M × M → [0, ∞] гладкая в некоторой проколотой окрестности диагонали.

Тогда можно определить функцию Финслера F : TM →[0, ∞] следующим образом:

F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},

где γ — любая кривая в M с γ (0) = x и γ' функция Финслера F (0) = v. Полученная таким образом ограничивается асимметричной (обычно не Минковской) нормой в каждом касательном пространстве M . Индуцированная внутренняя метрика d _L : M × M → [0, ∞] исходной квазиметрики может быть восстановлена из

d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},

и фактически любая финслерова функция F : TM → [0, ∞) определяет внутреннюю квазиметрику d _L на M по этой формуле.

Геодезика

Ввиду однородности F длина

L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt

γ дифференцируемой кривой : [ a , b ] → M в M инвариантна относительно положительно ориентированных перепараметризаций . Кривая постоянной скорости γ является геодезической финслерова многообразия, если ее достаточно короткие отрезки γ | _{[ c , d ]} минимизируют длину в M от γ ( c ) до γ ( d ). Эквивалентно, γ является геодезической, если она стационарна для функционала энергии

E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt

в том смысле, что его функциональная производная обращается в нуль среди дифференцируемых кривых γ : [ a , b ] → M с фиксированными концами γ ( a ) = x и γ ( b ) = y .

Каноническая структура распыления на коллекторе Финслера

Уравнение Эйлера–Лагранжа для функционала энергии E [ γ ] читается в локальных координатах ( x ¹, ..., х ^н, v ¹, ..., v ^н) Т М как

g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,

где k = 1,..., n и g _ij — координатное представление фундаментального тензора, определяемое как

g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).

Предполагая сильную выпуклость F ²( x , v ) относительно v ∈ T _x M матрица g _ij ( x , v ) обратима, и ее обратная обозначается g ^ij( х , v ). Тогда γ : [ a , b ] → M является геодезической к ( M , F ) тогда и только тогда, когда ее касательная кривая γ' : [ a , b ] → TM ∖ {0} является интегральной кривой гладкого векторного поля H на TM ∖ {0}, локально определяемом формулой

\left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},

где локальные коэффициенты распыления G ^я даны

G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.

Векторное поле H на TM ∖ {0} удовлетворяет условиям JH = V и [ V , H ] = H , где J и V — канонический эндоморфизм и каноническое векторное поле на TM ∖ {0}. Следовательно, по определению H является спреем на M . Спрей H задает нелинейную связность на расслоении TM ∖ {0} → M через вертикальную проекцию

v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.

По аналогии с римановым случаем существует версия

D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0

для уравнения Якоби общей структуры распыления ( M , H ) в терминах кривизны Эресмана и нелинейной ковариантной производной .

Единственность и минимизирующие свойства геодезических.

По теореме Хопфа–Ринова всегда существуют кривые, минимизирующие длину (по крайней мере, в достаточно малых окрестностях) на ( M , F ). Кривые, минимизирующие длину, всегда можно положительно перепараметризовать, чтобы они стали геодезическими, и любая геодезическая должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа для E [ γ ]. Предполагая сильную выпуклость F ² существует единственная максимальная геодезическая γ такая, что γ (0) = x и γ' (0) = v для любого ( x , v ) ∈ TM ∖ {0} в силу единственности интегральных кривых .

Если Ф ² сильно выпукла, геодезические γ : [0, b ] → M минимизируют длину среди близлежащих кривых до тех пор, пока первая точка γ ( s ) не будет сопряжена с γ (0) вдоль γ , а при t > s всегда существуют более короткие кривые из γ (0) к γ ( t ) вблизи γ , как в римановом случае.

Примечания

^ Рандерс, Г. (1941). «Об асимметричной метрике в четырёхпространстве общей теории относительности». Физ. Откр. 59 (2): 195–199. дои : 10.1103/PhysRev.59.195 . hdl : 10338.dmlcz/134230 .

См. также

Банахово многообразие - Многообразие, смоделированное на банаховых пространствах.
Многообразие Фреше - топологическое пространство, смоделированное на основе пространства Фреше, во многом так же, как многообразие смоделировано на основе евклидова пространства.
Глобальный анализ - который использует гильбертовы многообразия и другие виды бесконечномерных многообразий.
Гильбертово многообразие - Многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах.

Ссылки

Антонелли, Питер Л. , изд. (2003), Справочник по финслеровой геометрии. Том. 1, 2 , Бостон: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1 , МР 2067663
Бао, Дэвид; Черн, Шиинг-Шен ; Шен, Чжунминь (2000). Введение в геометрию Римана–Финслера . Тексты для аспирантов по математике. Том. 200. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-Х . МР 1747675 .
Картан, Эли (1933), “О финслеровых пространствах”, CR Acad. наук. Париж , 196 : 582–586, Збл 0006.22501
Черн, Шиинг-Шен (1996), «Финслерова геометрия - это просто риманова геометрия без квадратичного ограничения» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 43 (9): 959–63, MR 1400859
Финслер, Пауль (1918), О кривых и поверхностях в общих пространствах , диссертация, Геттинген, JFM 46.1131.02 (перепечатано Биркхойзером (1951))
Раунд, Ханно (1959). Дифференциальная геометрия финслеровых пространств . Основные положения математических наук. Том 101. Берлин – Геттинген – Гейдельберг: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-51610-8 . ISBN 978-3-642-51612-2 . МР 0105726 .
Шен, Чжунминь (2001). Лекции по финслеровой геометрии . Сингапур: World Scientific. дои : 10.1142/4619 . ISBN 981-02-4531-9 . МР 1845637 .

Внешние ссылки

[1] Рандерс, Г. (1941). «Об асимметричной метрике в четырёхпространстве общей теории относительности». Физ. Откр. 59 (2): 195–199. дои : 10.1103/PhysRev.59.195 . hdl : 10338.dmlcz/134230 .

[1]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem