Поле алгебраических чисел

В математике поле алгебраических чисел (или просто числовое поле ) является полем расширения. $K$ поля ​ рациональных чисел $\mathbb {Q}$ такое, что расширение поля $K/\mathbb {Q}$ имеет конечную степень (и, следовательно, является расширением алгебраического поля).Таким образом $K$ это поле, содержащее $\mathbb {Q}$ и имеет конечную размерность, если рассматривать его как векторное пространство над $\mathbb {Q}$.

Изучение полей алгебраических чисел и, в более общем плане, алгебраических расширений поля рациональных чисел — центральная тема теории алгебраических чисел . Это исследование раскрывает скрытые структуры рациональных чисел с помощью алгебраических методов.

Определение

Предварительные условия

Основные статьи: Поле и векторное пространство

Понятие поля алгебраических чисел основано на понятии поля . Поле состоит из набора элементов вместе с двумя операциями, а именно сложением и умножением , а также некоторыми о распределении предположениями . Ярким примером поля является поле рациональных чисел , обычно обозначаемое $\mathbb {Q}$, вместе с обычными операциями сложения и умножения.

Другое понятие, необходимое для определения полей алгебраических чисел, — это векторные пространства . В той степени, в которой это необходимо, векторные пространства можно рассматривать как состоящие из последовательностей (или кортежей ).

( х ₁ , х ₂ , …)

чьи записи являются элементами фиксированного поля, например поля $\mathbb {Q}$. Любые две такие последовательности можно добавить, добавив соответствующие записи. Более того, любую последовательность можно умножить на один элемент c фиксированного поля. Эти две операции, известные как сложение векторов и скалярное умножение, удовлетворяют ряду свойств, которые служат для абстрактного определения векторных пространств. Векторные пространства могут быть « бесконечномерными », то есть последовательности, составляющие векторные пространства, имеют бесконечную длину. Если же векторное пространство состоит из конечных последовательностей

( х ₁ , х ₂ , …, х _п ),

Говорят, что векторное пространство имеет размерность конечную n .

Определение

Поле алгебраических чисел (или просто числовое поле ) представляет собой конечной степени расширение поля поля рациональных чисел. Здесь степень означает размерность поля как векторного пространства над $\mathbb {Q}$.

Примеры

• Самое маленькое и самое простое числовое поле — это поле $\mathbb {Q}$ рациональных чисел. Многие свойства общих числовых полей моделируются по свойствам $\mathbb {Q}$. В то же время многие другие свойства полей алгебраических чисел существенно отличаются от свойств рациональных чисел - одним из ярких примеров является то, что кольцо целых алгебраических чисел числового поля не является областью главного идеала . вообще
• Гауссовы рациональные числа , обозначаемые $\mathbb {Q} (i)$ (читай как " $\mathbb {Q}$ примыкающий $i$"), образуют первый (исторически) нетривиальный пример числового поля. Его элементами являются элементы вида $$a+bi$$ где a и b — рациональные числа, а i — мнимая единица . Такие выражения можно складывать, вычитать и умножать в соответствии с обычными правилами арифметики, а затем упрощать, используя тождество $$i^{2}=-1.$$ Явно, $${\begin{matrix}(a+bi)+(c+di)&=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{matrix}}$$ Ненулевые гауссовы рациональные числа обратимы , что видно из тождества $$(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$$ Отсюда следует, что гауссовы рациональные числа образуют числовое поле, двумерное как векторное пространство над $\mathbb {Q}$.
• В более общем смысле, для любого без квадратов целого числа $d$, квадратичное поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ — числовое поле, полученное присоединением квадратного корня из $d$ в область рациональных чисел. Арифметические операции в этой области определяются аналогично случаю гауссовых рациональных чисел: $d=-1$.
• Круговое поле $$\mathbb {Q} (\zeta _{n}),$$где $\zeta _{n}=\exp {2\pi i/n}$ числовое поле, полученное из $\mathbb {Q}$ путем присоединения примитива $n$корень единства $\zeta _{n}$. Это поле содержит все комплексные корни n- й степени из единицы и его размерность по $\mathbb {Q}$ равно $\varphi (n)$, где $\varphi$ — функция Эйлера .

Непримеры

• Реальные цифры , $\mathbb {R}$ , и числа комплексные $\mathbb {C}$, представляют собой поля, которые имеют бесконечную размерность как $\mathbb {Q}$-векторные пространства; следовательно, они не являются числовыми полями. следует из несчетности Это $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$ как множества, тогда как каждое числовое поле обязательно счетно .
• Набор $\mathbb {Q} ^{2}$ упорядоченных пар рациональных чисел с поэлементным сложением и умножением является двумерной коммутативной алгеброй над $\mathbb {Q}$. Однако это не поле, поскольку оно имеет делители нуля : $$(1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)$$

Алгебраичность и кольцо целых чисел

Обычно в абстрактной алгебре расширение поля $K/L$ является алгебраическим, если каждый элемент $f$ из большего поля $K$ является нулем (ненулевого) многочлена с коэффициентами $e_{0},\ldots ,e_{m}$ в $L$:

$p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0$

Каждое расширение поля конечной степени алгебраично. (Доказательство: для $x$ в $K$, просто рассмотрим $1,x,x^{2},x^{3},\ldots$ – получаем линейную зависимость, т.е. полином, который $x$ является корнем.) В частности, это относится к полям алгебраических чисел, поэтому любой элемент $f$ поля алгебраических чисел $K$ можно записать как ноль многочлена с рациональными коэффициентами. Следовательно, элементы $K$ также называются алгебраическими числами . Учитывая полином $p$ такой, что $p(f)=0$, его можно расположить так, чтобы старший коэффициент $e_{m}$ равен единице, если при необходимости разделить на нее все коэффициенты. Полином с этим свойством известен как монический многочлен . В общем случае он будет иметь рациональные коэффициенты.

Однако если коэффициенты монического полинома на самом деле все целые числа, $f$ называется алгебраическим целым числом .

Любое (обычное) целое число $z\in \mathbb {Z}$ является целым алгебраическим числом, так как является нулем линейного монического полинома:

$p(t)=t-z$.

Можно показать, что любое целое алгебраическое число, которое также является рациональным числом, на самом деле должно быть целым числом, отсюда и название «целое алгебраическое число». Опять же, используя абстрактную алгебру, в частности понятие конечно порожденного модуля , можно показать, что сумма и произведение любых двух целых алгебраических чисел по-прежнему остается целым алгебраическим числом. Отсюда следует, что целые алгебраические числа в $K$ образуют кольцо , обозначаемое ${\mathcal {O}}_{K}$ называется кольцом целых чисел $K$. Это подкольцо (то есть кольцо, содержащееся в) $K$. Поле не содержит делителей нуля , и это свойство наследуется любым подкольцом, поэтому кольцо целых чисел $K$ является целостной областью . Поле $K$ – поле дробей области целостности ${\mathcal {O}}_{K}$. Таким образом, можно переключаться между полем алгебраических чисел. $K$ и его кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$. Кольца целых алгебраических чисел обладают тремя отличительными свойствами: во-первых, ${\mathcal {O}}_{K}$ — область целостности, целозамкнутая в своем поле частных $K$. Во-вторых, ${\mathcal {O}}_{K}$ является нётеровым кольцом . Наконец, каждый ненулевой простой идеал ${\mathcal {O}}_{K}$ максимально . или, что то же самое, размерность Крулля этого кольца равна единице Абстрактное коммутативное кольцо с этими тремя свойствами называется дедекиндовым кольцом (или дедекиндовой областью ) в честь Ричарда Дедекинда , который предпринял глубокое исследование колец целых алгебраических чисел.

Уникальная факторизация

Для общих дедекиндовых колец , в частности колец целых чисел, существует единственная факторизация идеалов в произведение простых идеалов . Например, идеал $(6)$ на ринге $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]$ квадратичных целых чисел разлагается на простые идеалы как

$(6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})$

Однако в отличие от $\mathbf {Z}$ как кольцо целых чисел $\mathbf {Q}$, кольцо целых чисел собственного расширения $\mathbf {Q}$ не обязательно допускать однозначную факторизацию чисел в произведение простых чисел или, точнее, простых элементов . Это происходит уже для квадратных целых чисел , например в ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]$, уникальность факторизации не выполняется:

$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})$

Используя норму, можно показать, что эти две факторизации на самом деле неэквивалентны в том смысле, что факторы отличаются не просто на единицу . ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}$. Евклидовы домены — это уникальные домены факторизации; например $\mathbf {Z} [i]$, кольцо гауссовских целых чисел и $\mathbf {Z} [\omega ]$, кольцо целых чисел Эйзенштейна , где $\omega$ является кубическим корнем из единицы (не равным 1), обладают этим свойством.

Аналитические объекты: ζ-функции, L -функции и формула номера класса.

Неудача уникальной факторизации измеряется номером класса , обычно обозначаемым h , мощностью так называемой идеальной группы классов . Эта группа всегда конечна. Кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ обладает единственной факторизацией тогда и только тогда, когда оно является главным кольцом или, что то же самое, если $K$ имеет класс номер 1 . Учитывая числовое поле, номер класса часто бывает трудно вычислить. Проблема числа классов , восходящая к Гауссу , связана с существованием полей мнимых квадратичных чисел (т. е. $\mathbf {Q} {\sqrt {-d}},d\geq 1$) с предписанным номером класса. Формула номера класса связывает h с другими фундаментальными инвариантами $K$. Здесь используется дзета-функция Дедекинда ζ _$K$(s), функция комплексной переменной s , определяемая формулой

$\zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.$

(Произведение превосходит все основные идеалы ${\mathcal {O}}_{K}$, $N({\mathfrak {p}})$ обозначает норму простого идеала или, что то же самое, (конечное) число элементов в поле вычетов ${\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}$. Бесконечное произведение сходится только при Re ( s ) > 1, в общем аналитическое продолжение и функциональное уравнение для дзета-функции необходимы для определения функции для всех s ).Дзета-функция Дедекинда обобщает дзета-функцию Римана в том смысле, что ζ _{$\mathbb {Q}$}( s ) знак равно ζ( s ).

Формула номера класса утверждает, что ζ _$K$( s ) имеет простой полюс в точке s = 1, и в этой точке вычет определяется выражением

${\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.$

Здесь r ₁ и r ₂ классически обозначают количество вещественных вложений и пар комплексных вложений $K$, соответственно. Более того, Reg регулятором является $K$, w число корней из единицы в $K$ и D — дискриминант $K$.

L-функции Дирихле $L(\chi ,s)$ представляют собой более изысканный вариант $\zeta (s)$. Оба типа функций кодируют арифметическое поведение $\mathbb {Q}$ и $K$, соответственно. Например, теорема Дирихле утверждает, что в любой арифметической прогрессии

$a,a+m,a+2m,\ldots$

с взаимно простым $a$ и $m$, существует бесконечно много простых чисел. Эта теорема вытекает из того, что уравнение Дирихле $L$-функция не равна нулю в $s=1$. Используя гораздо более продвинутые методы, включая алгебраическую K-теорию и меры Тамагавы , современная теория чисел занимается описанием, хотя и в значительной степени гипотетическим (см. Гипотезу о числах Тамагавы ), значений более общих L-функций .

Основы числовых полей

Интегральная основа

Интегральная основа числового поля $K$ степени $n$ это набор

B знак равно { б ₁ , …, б _п }

из n целых алгебраических чисел в $K$ такая, что каждый элемент кольца целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ из $K$ можно однозначно записать как Z -линейную комбинацию элементов B ; то есть для любого x в ${\mathcal {O}}_{K}$ у нас есть

Икс знак равно м ₁ б ₁ + ⋯ + м _п б _п ,

где m _i — (обычные) целые числа. Тогда также бывает, что любой элемент $K$ можно записать однозначно как

м ₁ б ₁ + ⋯ + м _п б _п ,

где теперь m _i - рациональные числа. Алгебраические целые числа $K$ тогда именно эти элементы $K$ где m _i все целые числа.

Работая локально и используя такие инструменты, как карта Фробениуса , всегда можно явно вычислить такой базис, и теперь для систем компьютерной алгебры стандартно иметь встроенные программы для этого.

Силовая основа

Позволять $K$ быть числовым полем степени $n$. Среди всех возможных оснований $K$ (рассматривается как $\mathbb {Q}$-векторное пространство), есть особые основания, известные как основания власти , которые представляют собой основания вида

$B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}$

для какого-то элемента $x\in K$. По теореме о примитивном элементе существует такой $x$, называемый примитивным элементом . Если $x$ можно выбрать в ${\mathcal {O}}_{K}$ и такое, что $B_{x}$ является основой ${\mathcal {O}}_{K}$ как свободный Z -модуль, то $B_{x}$ называется степенным интегральным базисом , а поле $K$ называется моногенным полем . Пример немоногенного числового поля впервые был приведен Дедекиндом. Его примером является поле, полученное присоединением корня многочлена $$x^{3}-x^{2}-2x-8.$$

Регулярное представление, след и дискриминант

Напомним, что любое расширение поля $K/\mathbb {Q}$ имеет уникальный $\mathbb {Q}$-векторная структура пространства. Используя умножение в $K$, элемент $x$ поля $K$ над базовым полем $\mathbb {Q}$ может быть представлен $n\times n$ матрицы $$A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$$требуя $$xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .$$Здесь $e_{1},\ldots ,e_{n}$ является твердой основой для $K$, рассматриваемый как $\mathbb {Q}$-векторное пространство. Рациональные числа $a_{ij}$ однозначно определяются $x$ и выбор базиса, поскольку любой элемент $K$ можно однозначно представить как линейную комбинацию базисных элементов. Этот способ привязки матрицы к любому элементу поля $K$ называется регулярным представлением . Квадратная матрица $A$ представляет собой эффект умножения на $x$ в данном базисе. Отсюда следует, что если элемент $y$ из $K$ представляется матрицей $B$, то произведение $xy$ представлен матричным произведением $BA$. Инварианты матриц, такие как след , определитель и характеристический полином , зависят исключительно от элемента поля. $x$ и не на основании. В частности, след матрицы $A(x)$ называется следом элемента поля $x$ и обозначили ${\text{Tr}}(x)$, а определитель называется нормой x и обозначается $N(x)$.

Теперь это можно немного обобщить, рассмотрев вместо этого расширение поля $K/L$ и давая $L$-основа для $K$. Тогда существует соответствующая матрица $A_{K/L}(x)$, который имеет след ${\text{Tr}}_{K/L}(x)$ и норма ${\text{N}}_{K/L}(x)$ определяется как след и определитель матрицы $A_{K/L}(x)$.

Пример

Рассмотрим расширение поля $\mathbb {Q} (\theta )$ где $\theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}$. Тогда у нас есть $\mathbb {Q}$-основа, заданная $$\{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\}$$ поскольку любой $x\in \mathbb {Q} (\theta )$ может быть выражено как некоторое $\mathbb {Q}$-линейная комбинация $$a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}=a+b\theta +c\theta ^{2}$$ Тогда мы можем взять немного $y\in \mathbb {Q} (\theta )$ где $y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}$ и вычислить $x\cdot y$. Запись этого дает $${\begin{aligned}a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2})\end{aligned}}$$Мы можем найти матрицу $A(x)$ выписав соответствующее матричное уравнение, дающее $${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}$$ показывая $$A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}$$Затем мы можем сравнительно легко вычислить след и определитель, получив след и норму.

Характеристики

По определению, стандартные свойства следов и определителей матриц переносятся на Tr и N: Tr( x ) — линейная функция от x , выражаемая формулой Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) , Tr ( λx ) = λ Tr( x ) , а норма представляет собой мультипликативную однородную функцию степени n : N( xy ) = N( x ) N( y ) , N( λx ) = λ ^н Н( х ) . Здесь λ — рациональное число, а x , y — любые два элемента $K$.

представляет форма следа Полученная собой билинейную форму, определяемую посредством следа, как $$Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L$$ к $$Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)$$${\text{Tr}}_{K/L}(x)$. Интегральная форма следа , целочисленная симметричная матрица , определяется как $t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})$, где b ₁ , ..., b _n – целочисленный базис для $K$. Дискриминант ​ ​ $K$ определяется как det( t ). Это целое число и является инвариантным свойством поля. $K$, не зависящий от выбора интегрального базиса.

Матрица, связанная с элементом x из $K$ также может использоваться для получения других эквивалентных описаний целых алгебраических чисел. Элемент x из $K$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда характеристический полином p _A матрицы A, связанный с x, является моническим многочленом с целыми коэффициентами. Предположим, что матрица A , представляющая элемент x, имеет целочисленные элементы в некотором базисе e . По теореме Кэли-Гамильтона p A ₍ A ) = 0, из чего следует, что p _A ( x ) = 0, так что x является целым алгебраическим числом. И наоборот, если x является элементом $K$ которое является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами, то то же свойство справедливо и для соответствующей матрицы A . В этом случае можно доказать, что A — целочисленная матрица в подходящем базисе $K$. Свойство быть целым алгебраическим числом определяется способом, который не зависит от выбора базиса в $K$.

Пример с интегральным базисом

Учитывать $K=\mathbb {Q} (x)$, где x удовлетворяет x ³ − 11 х ² + Икс + 1 = 0 . Тогда целочисленный базис равен [1, x , 1/2( x ² + 1)], а соответствующая интегральная форма следа имеет вид $${\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.$$

«3» в верхнем левом углу этой матрицы — это след матрицы отображения, определяемой первым базисным элементом (1) в регулярном представлении $K$ на $K$. Этот базисный элемент индуцирует тождественную карту в трехмерном векторном пространстве: $K$. След матрицы тождественного отображения в трехмерном векторном пространстве равен 3.

Определителем этого является 1304 = 2. ³ ·163 — дискриминант поля; для сравнения корневой дискриминант или дискриминант многочлена равен 5216 = 2. ⁵ ·163 .

Места

Математики девятнадцатого века считали алгебраические числа разновидностью комплексных чисел. Эта ситуация изменилась с открытием p-адических чисел Гензелем в 1897 году; и теперь принято рассматривать все возможные вложения числового поля. $K$ на его различные топологические пополнения $K_{\mathfrak {p}}$ сразу.

Место поля числового $K$ — класс эквивалентности абсолютных значений на $K$^{стр. 9} . По сути, абсолютное значение — это понятие измерения размера элементов. $x$ из $K$. Две такие абсолютные величины считаются эквивалентными, если они порождают одно и то же понятие малости (или близости). Отношение эквивалентности между абсолютными значениями $|\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}$ дается некоторыми $\lambda \in \mathbb {R} _{>0}$ такой, что $$|\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }$$то есть мы принимаем значение нормы $|\cdot |_{1}$ к $\lambda$-я власть.

В целом типы мест делятся на три режима. Во-первых (и по большей части несущественно), тривиальное абсолютное значение | | ₀ , который принимает значение $1$ на всех ненулевых $x\in K$. Второй и третий классы — это архимедовы места и неархимедовы (или ультраметрические) места . Завершение $K$ относительно места $|\cdot |_{\mathfrak {p}}$ в обоих случаях задается путем взятия последовательности Коши в $K$и деление нулевых последовательностей , то есть последовательностей $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ такой, что $$|x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0$$стремится к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности. Можно показать, что это снова поле, так называемое завершение $K$ в указанном месте $|\cdot |_{\mathfrak {p}}$, обозначенный $K_{\mathfrak {p}}$.

Для $K=\mathbb {Q}$, имеют место следующие нетривиальные нормы ( теорема Островского ): (обычное) абсолютное значение , иногда обозначаемое $|\cdot |_{\infty }$, что порождает полное топологическое поле действительных чисел $\mathbb {R}$. С другой стороны, для любого простого числа $p$, p -адическое абсолютное значение определяется выражением

| д | _р = р ^{− п} , где q = p ^н a / b и a и b — целые числа, не делящиеся на p .

Он используется для построения $p$-адические числа $\mathbb {Q} _{p}$. В отличие от обычного абсолютного значения, p -адическое абсолютное значение становится меньше , когда q умножается на p , что приводит к совершенно иному поведению $\mathbb {Q} _{p}$ по сравнению с $\mathbb {R}$.

Обратите внимание, что обычно рассматривается общая ситуация с использованием числового поля. $K$ и учитывая главный идеал ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ для ассоциированного с ним кольца алгебраических чисел ${\mathcal {O}}_{K}$. Тогда будет уникальное место $|\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ называется неархимедовым местом. Кроме того, для каждого вложения $\sigma :K\to \mathbb {C}$ будет место, называемое архимедовым местом, обозначаемое $|\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}$. Это утверждение представляет собой теорему, также называемую теоремой Островского .

Примеры

Поле $K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )$ для $\theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}$ где $\zeta$ является фиксированным корнем шестой степени из единицы, представляет собой богатый пример для построения явных действительных и комплексных архимедовых вложений, а также неархимедовых вложений. ^{стр. 15-16} .

Архимедовы места

Здесь мы используем стандартные обозначения $r_{1}$ и $r_{2}$ за количество используемых действительных и комплексных вложений соответственно (см. ниже).

Вычисление архимедовых мест числового поля $K$ делается следующим образом: пусть $x$ быть примитивным элементом $K$, с минимальным полиномом $f$ (над $\mathbb {Q}$). Над $\mathbb {R}$, $f$ вообще говоря, уже не будет неприводимым, но его неприводимые (реальные) факторы имеют либо первую, либо вторую степень. Поскольку нет повторяющихся корней, нет и повторяющихся множителей. Корни $r$ факторов первой степени обязательно вещественны и заменяют $x$ к $r$ дает вложение $K$ в $\mathbb {R}$; число таких вложений равно числу действительных корней $f$. Ограничение стандартного абсолютного значения $\mathbb {R}$ к $K$ дает архимедову абсолютную величину $K$; такое абсолютное значение также называется местом реальным $K$. С другой стороны, корни множителей второй степени представляют собой пары сопряженных комплексных чисел, что допускает два сопряженных вложения в $\mathbb {C}$. Любое из этих вложений можно использовать для определения абсолютного значения $K$, что одинаково для обоих вложений, поскольку они сопряжены. Эта абсолютная величина называется комплексным местом $K$.

Если все корни $f$ выше являются действительными (соответственно комплексными) или, что то же самое, любыми возможными вложениями. $K\subseteq \mathbb {C}$ на самом деле вынужден быть внутри $\mathbb {R}$ (соответственно $\mathbb {C}$), $K$ называется полностью действительным (соответственно полностью комплексным ).

Неархимедовы или ультраметрические места.

Чтобы найти неархимедовы места, давайте еще раз $f$ и $x$ быть как указано выше. В $\mathbb {Q} _{p}$, $f$ распадается на факторы различной степени, ни один из которых не повторяется, а суммы степеней которых составляют $n$, степень $f$. Для каждого из этих $p$-адически неприводимые факторы $f_{i}$, мы можем предположить, что $x$ удовлетворяет $f_{i}$ и получить вложение $K$ в алгебраическое расширение конечной степени над $\mathbb {Q} _{p}$. Такое локальное поле во многом напоминает числовое поле. $p$-адические числа могут аналогичным образом играть роль рациональных чисел; в частности, мы можем определить норму и след точно таким же образом, теперь задавая функции, отображающие $\mathbb {Q} _{p}$. Используя это $p$-адическая карта норм $N_{f_{i}}$ для места $f_{i}$, мы можем определить абсолютное значение, соответствующее данному $p$-адически неприводимый фактор $f_{i}$ степени $m$ к $$|y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}$$Такая абсолютная величина называется ультраметрической , неархимедовой или $p$-адическое место $K$.

Для любого ультраметрического места v имеем | х | _v ≤ 1 для любого x в ${\mathcal {O}}_{K}$, поскольку минимальный многочлен для x имеет целые множители и, следовательно, его p -адическая факторизация имеет множители из Z _p . Следовательно, нормой (постоянным термином) для каждого фактора является p -адическое целое число, и одно из них является целым числом, используемым для определения абсолютного значения v .

идеалы в ОК _{Основные}

Для ультраметрического места v подмножество ${\mathcal {O}}_{K}$ определяется | х | _v < 1 — идеал ${\mathfrak {p}}$ из ${\mathcal {O}}_{K}$. Это зависит от ультраметричности v : учитывая x и y в ${\mathfrak {p}}$, затем

| x + y | _v ≤ max (| x | _v , |y| _v ) < 1.

На самом деле, ${\mathfrak {p}}$ это даже главный идеал .

Обратно, если задан простой идеал ${\mathfrak {p}}$ из ${\mathcal {O}}_{K}$, дискретную оценку можно определить, установив $v_{\mathfrak {p}}(x)=n$ где n — наибольшее целое число такое, что $x\in {\mathfrak {p}}^{n}$, - кратная n степень идеала. Эту оценку можно превратить в ультраметрическое место. При этом соответствии (классы эквивалентности) ультраметрических мест $K$ соответствуют простым идеалам ${\mathcal {O}}_{K}$. Для $K=\mathbb {Q}$, это возвращает теорему Островского: любой простой идеал в Z (который обязательно имеет одно простое число) соответствует неархимедову месту, и наоборот. Однако для более общих числовых полей ситуация становится более сложной, как будет объяснено ниже.

мест — посредством локализации Еще один эквивалентный способ описания ультраметрических ${\mathcal {O}}_{K}$. Учитывая ультраметрическое место $v$ в числовом поле $K$соответствующая локализация — подкольцо $T$ из $K$ всех элементов $x$ такой, что | х | _v ≤ 1. По ультраметрическому свойству $T$ это кольцо. Более того, он содержит ${\mathcal {O}}_{K}$. Для каждого элемента x из $K$, хотя бы один из x или x ⁻¹ содержится в $T$. Действительно, поскольку К. ^× / Т ^× можно показать, что он изоморфен целым числам, $T$ — кольцо дискретного нормирования , в частности локальное кольцо . На самом деле, $T$ это просто локализация ${\mathcal {O}}_{K}$ в высшем идеале ${\mathfrak {p}}$, так $T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}$. Наоборот, ${\mathfrak {p}}$ является максимальным идеалом $T$.

В целом существует трехсторонняя эквивалентность между ультраметрическими абсолютными значениями, простыми идеалами и локализациями в числовом поле.

Лежа над теоремой и местами

Некоторые из основных теорем теории алгебраических чисел — это теоремы о повышении и понижении , которые описывают поведение некоторого простого идеала. ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ когда оно расширяется как идеал в ${\mathcal {O}}_{L}$ для некоторого расширения поля $L/K$. Мы говорим, что идеал ${\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}$ лежит над ${\mathfrak {p}}$ если ${\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}$. Затем одно из воплощений теоремы утверждает простой идеал в ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})$ лежит над ${\mathfrak {p}}$, следовательно, всегда существует сюръективное отображение $${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$$индуцированный включением ${\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}$. Поскольку существует соответствие между местами и простыми идеалами, это означает, что мы можем найти места, разделяющие место, индуцированное расширением поля. То есть, если $p$ это место $K$, тогда есть места $v$ из $L$ которые разделяют $p$в том смысле , что их индуцированные простые идеалы делят индуцированный простой идеал $p$ в ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})$. На самом деле это наблюдение полезно ^{стр. 13} глядя на изменение базы расширения алгебраического поля $\mathbb {Q}$ к одному из своих завершений $\mathbb {Q} _{p}$. Если мы напишем $$K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}$$и напиши $\theta$ для индуцированного элемента $X\in K$, мы получаем разложение $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}$. В явном виде это разложение $${\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}$$при этом индуцированный полином $Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]$ разлагается как $$Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}$$из-за леммы Гензеля ^{стр. 129-131} ; следовательно $${\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}$$Более того, существуют вложения $${\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}$$где $\theta _{v}$ является корнем $Q_{v}$ предоставление $K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})$; следовательно, мы могли бы написать $$K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}$$как подмножества $\mathbb {C} _{p}$ (что является завершением алгебраического замыкания $\mathbb {Q} _{p}$).

Разветвление

Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек Y ниже состоят из трех точек, за исключением двух точек Y, отмеченных точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмечены черным) соответственно. отображение f Говорят, что разветвлено в этих точках Y .

Ветвление , вообще говоря, описывает геометрическое явление, которое может произойти с отображениями, имеющими конечную точность (т. е. отображениями $f:X\to Y$ такие, что прообразы всех точек y из Y состоят только из конечного числа точек): мощность слоев f ⁻¹ ( y ) обычно будет иметь одинаковое количество точек, но случается, что в особых точках y это число падает. Например, карта

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}$

имеет n точек в каждом слое над t , а именно n (комплексных) корней t , за исключением t = 0 , где слой состоит только из одного элемента, z = 0. Говорят, что отображение «разветвлено» в нуле. Это пример разветвленного накрытия римановых поверхностей . Эта интуиция также служит для определения ветвления в алгебраической теории чисел . Учитывая (обязательно конечное) расширение числовых полей $K/L$, простой p идеал ${\mathcal {O}}_{L}$ идеальный pO _K генерирует ${\mathcal {O}}_{K}$. Этот идеал может быть или не быть простым идеалом, но, согласно теореме Ласкера – Нётер (см. выше), всегда определяется выражением

pO _$K$ = q ₁ ^{и ₁} q_q2 ^e_е2 ⋯ q _м ^e_в

с однозначно определенными простыми q _i идеалами ${\mathcal {O}}_{K}$ и числа (называемые индексами ветвления) e _i . Когда один индекс ветвления больше единицы, простое число p разветвляется на говорят, что $K$.

Связь этого определения с геометрической ситуацией обеспечивает карта спектров колец. $\mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}$. Фактически неразветвленные морфизмы схем являются алгебраической геометрии прямым обобщением неразветвленных расширений числовых полей.

Ветвление является чисто локальным свойством, т. е. зависит только от пополнений вокруг простых чисел p и q _i . Группа инерции измеряет разницу между локальными группами Галуа в каком-то месте и группами Галуа вовлеченных конечных полей вычетов.

Пример

Следующий пример иллюстрирует введенные выше понятия. Чтобы вычислить индекс ветвления $\mathbb {Q} (x)$, где

ж ( Икс ) знак равно Икс ³ − х − 1 = 0,

в 23 достаточно рассмотреть расширение поля $\mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}$. До 529 = 23 ² (т.е. по модулю 529) f можно разложить как

ж ( Икс ) = ( Икс + 181)( Икс ² - 181 Икс - 38) знак равно gh .

Подстановка x = y + 10 в первый множитель g по модулю 529 дает y + 191, поэтому оценка | й | _g для y, заданного g, является | −191 | ₂₃ = 1. С другой стороны, та же замена в h дает y ² − 161 y − 161 по модулю 529. Поскольку 161 = 7 × 23,

$\left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}$

Поскольку возможные значения абсолютного значения места, определенного коэффициентом h, не ограничиваются целыми степенями 23, а представляют собой целые степени квадратного корня из 23, индекс ветвления расширения поля в 23 равен двум.

Оценки любого элемента $K$ можно вычислить таким образом, используя результаты . Если, например, y = x ² − x − 1, используя полученный результат для исключения x между этим соотношением и f = x ³ − x − 1 = 0 дает y ³ − 5 лет ² + 4 y - 1 знак равно 0 . Если вместо этого мы исключим факторы g и h из f , мы получим соответствующие факторы для полинома для y , а затем 23-адическая оценка, примененная к постоянному (нормальному) члену, позволяет нам вычислить оценки y для g и h (которые в данном случае равны 1).

Дискриминантная теорема Дедекинда

Большая часть значения дискриминанта заключается в том, что разветвленными ультраметрическими местами являются все места, полученные в результате факторизации в $\mathbb {Q} _{p}$ где p делит дискриминант. Это верно даже в отношении полиномиального дискриминанта; однако верно и обратное: если простое число p делит дискриминант, то существует p -место, которое разветвляется. Для этого обращения необходим дискриминант поля. Это дискриминантная теорема Дедекинда . В приведенном выше примере дискриминант числового поля $\mathbb {Q} (x)$ с х ³ − x − 1 = 0 равно −23, и, как мы видели, 23-адическое место разветвляется. Дискриминант Дедекинда говорит нам, что это единственное ультраметрическое место, которое это делает. Другое разветвленное место связано с абсолютным значением сложного вложения $K$.

Группы Галуа и когомологии Галуа

Обычно в абстрактной алгебре расширения полей K / L можно изучать, исследуя группу Галуа Gal( K / L ), состоящую из полевых автоморфизмов $K$ уход $L$ поэлементно фиксированный. Например, группа Галуа. $\mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )$ расширения кругового поля степени n (см. выше) имеет вид ( Z / n Z ) ^× , группа обратимых элементов Z / n Z. в Это первый шаг к теории Ивасавы .

Чтобы включить все возможные расширения, обладающие определенными свойствами, концепция группы Галуа обычно применяется к (бесконечному) расширению поля K / K алгебраического замыкания , что приводит к абсолютной группе Галуа G := Gal( K / K ) или просто Gal( K ) и расширению $K/\mathbb {Q}$. Фундаментальная теорема теории Галуа связывает поля между собой. $K$ и ее алгебраическое замыкание и замкнутые подгруппы в Gal( K ). Например, абелианизация (наибольший абелев частное) G ^аб группы G соответствует полю, называемому максимальным абелевым расширением K ^аб (названный так потому, что любое дальнейшее расширение не является абелевым, т. е. не имеет абелевой группы Галуа). По теореме Кронекера–Вебера максимальное абелево расширение $\mathbb {Q}$ — расширение, порожденное всеми корнями из единицы . Для более общих числовых полей теория полей классов , в частности закон взаимности Артина, дает ответ, описывая G ^аб с точки зрения группы класса idele . Также примечательно поле класса Гильберта , максимальное абелева неразветвленное поле расширения $K$. Можно показать, что оно конечно над $K$, его группа Галуа над $K$ изоморфна группе классов $K$, в частности, его степень равна номеру h класса $K$ (см. выше).

В определенных ситуациях группа Галуа действует на другие математические объекты, например на группу. Такую группу тогда также называют модулем Галуа. Это позволяет использовать групповые когомологии для группы Галуа Gal( K ), также известной как когомологии Галуа , которая, в первую очередь, измеряет неточность принятия Gal( K )-инвариантов, но предлагает более глубокое понимание (и вопросы), поскольку хорошо. Например, группа Галуа G расширения поля L / K действует на L ^× , ненулевые элементы L . Этот модуль Галуа играет значительную роль во многих арифметических двойственностях , таких как двойственность Пуату-Тейта . Группа Брауэра ​ $K$, первоначально задуманная для классификации алгебр с делением над $K$, можно преобразовать в группу когомологий, а именно H ² (Гал ( К , К ^× )).

Локально-глобальный принцип

Вообще говоря, термин «от локального к глобальному» относится к идее, что глобальная проблема сначала решается на локальном уровне, что приводит к упрощению вопросов. Затем, конечно, информацию, полученную в ходе локального анализа, необходимо объединить, чтобы получить некое глобальное утверждение. Например, понятие пучков воплощает эту идею в топологии и геометрии .

Локальные и глобальные поля

Числовые поля имеют большое сходство с другим классом полей, широко используемых в алгебраической геометрии, известным как функциональные поля алгебраических кривых над конечными полями . Примером может служить ( _Kp T ) . Они во многом схожи, например, в том, что числовые кольца являются одномерными регулярными кольцами, как и координатные кольца (поля частных которых являются рассматриваемыми функциональными полями) кривых. Поэтому оба типа полей называются глобальными полями . В соответствии с изложенной выше философией их можно сначала изучить на местном уровне, то есть, рассматривая соответствующие локальные поля . Для числовых полей $K$, локальные поля являются пополнениями $K$ во всех местах, в том числе и в архимедовых (см. локальный анализ ). Для функциональных полей локальные поля являются пополнениями локальных колец во всех точках кривой функциональных полей.

Многие результаты, действительные для функциональных полей, также справедливы, по крайней мере, если их правильно переформулировать, и для числовых полей. Однако изучение числовых полей часто сопряжено с трудностями и явлениями, не встречающимися в функциональных полях. Например, в функциональных полях нет дихотомии на неархимедовы и архимедовы места. Тем не менее, функциональные поля часто служат источником интуитивного понимания того, чего следует ожидать в случае числового поля.

Принцип Хассе

Основная статья: принцип Хассе

Прототипический вопрос, поставленный на глобальном уровне, заключается в том, имеет ли некоторое полиномиальное уравнение решение в $K$. Если это так, то это решение также является решением во всех пополнениях. Локально -глобальный принцип или принцип Хассе утверждает, что для квадратных уравнений справедливо и обратное. Таким образом, проверить, имеет ли такое уравнение решение, можно на всех пополнениях $K$, что часто проще, поскольку аналитические методы (классические аналитические инструменты, такие как теорема о промежуточном значении в архимедовых позициях и p-адический анализ можно использовать в неархимедовых позициях). Однако это импликация не справедлива для более общих типов уравнений. Однако идея перехода от локальных данных к глобальным оказывается плодотворной, например, в теории полей классов, где локальная теория полей классов используется для получения упомянутых выше глобальных идей. Это связано также с тем, что группы Галуа пополнений K _v могут быть определены явно, тогда как группы Галуа глобальных полей, даже $\mathbb {Q}$ гораздо менее понятны.

Адель и кумиры

Чтобы собрать локальные данные, относящиеся ко всем локальным полям, прикрепленным к $K$, кольцо Адель установлено. Мультипликативный вариант называется ideles .

См. также

Обобщения

• Поле алгебраической функции

Алгебраическая теория чисел

• Теорема Дирихле о единице , S-единица
• Расширение Куммера
• Теорема Минковского , Геометрия чисел
• Теорема плотности Чеботарева

Теория полей классов

• Группа Рэя
• Группа разложения
• Поле рода

Ссылки

• Кон, Харви (1988), Классическое приглашение к алгебраическим числам и полям классов , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Кейт Конрад, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
• Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-0429-2
• Хельмут Хассе, Теория чисел , Springer Classics в серии по математике (2002)
• Серж Ланг , Алгебраическая теория чисел , второе издание, Springer, 2000 г.
• Ричард А. Моллин, Алгебраическая теория чисел , CRC, 1999 г.
• Рэм Мурти, Проблемы алгебраической теории чисел , второе издание, Springer, 2005 г.
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Монографии Springer по математике (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-21902-6 , МР   2078267
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук, том. 322, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-65399-8 , МР   1697859 , Збл   0956.11021
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук, том. 323, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   1136.11001
• Андре Вейль , Основная теория чисел , третье издание, Springer, 1995 г.