Бета-отрицательное биномиальное распределение

Бета-отрицательный бином

Параметры	$\alpha >0$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ форма ( настоящая ) $r>0$ — количество успехов до остановки эксперимента ( целое , но можно расширить до реального )
Поддерживать	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
ПМФ	${\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}$
Иметь в виду	${\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{if}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}$
Дисперсия	${\begin{cases}{\frac {r\beta (r+\alpha -1)(\beta +\alpha -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{if}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}$
асимметрия	${\begin{cases}{\frac {(2r+\alpha -1)(2\beta +\alpha -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r\beta (r+\alpha -1)(\beta +\alpha -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{if}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}$
МГФ	не существует
CF	${\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +r)\Gamma (\alpha )}}{}_{2}F_{1}(r,\beta ;\alpha +\beta +r;e^{it})\!$ где $\Gamma$ и функция гамма - ${}_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция .

В теории вероятностей бета -отрицательное биномиальное распределение — это распределение вероятностей дискретной . случайной величины  $X$ равно числу неудач, необходимых для получения $r$ успехи в серии независимых испытаний Бернулли . Вероятность $p$ Успех каждого испытания остается постоянным в рамках любого эксперимента, но варьируется в разных экспериментах в соответствии с бета-распределением . Таким образом, распределение представляет собой составное распределение вероятностей .

Это распределение также называют обратным распределением Маркова-Пойа и обобщенным распределением Варинга. или просто сокращенно распределение BNB . Смещенная форма распределения получила название распределения бета-Паскаля .

Если параметры бета-распределения $\alpha$ и $\beta$, и если

$X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),$

где

$p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),$

тогда предельное распределение $X$ (т.е. апостериорное прогнозирующее распределение ) представляет собой бета-отрицательное биномиальное распределение:

$X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).$

В приведенном выше $\mathrm {NB} (r,p)$ - отрицательное биномиальное распределение и ${\textrm {B}}(\alpha ,\beta )$ это бета-распределение .

Определение и вывод

Обозначая $f_{X|p}(k|q),f_{p}(q|\alpha ,\beta )$ плотности отрицательного биномиального и бета-распределений соответственно, мы получаем PMF $f(k|\alpha ,\beta ,r)$ распределения BNB по маргинализации:

$f(k|\alpha ,\beta ,r)=\int _{0}^{1}f_{X|p}(k|r,q)\cdot f_{p}(q|\alpha ,\beta )\mathrm {d} q=\int _{0}^{1}{\binom {k+r-1}{k}}(1-q)^{k}q^{r}\cdot {\frac {q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\mathrm {d} q={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\binom {k+r-1}{k}}\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q$

Отмечая, что интеграл оценивается как:

$\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q={\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\alpha +\beta +k+r)}}$

относительно простыми манипуляциями мы можем прийти к следующим формулам.

Если $r$ является целым числом, то PMF можно записать через бета-функцию :

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$.

В более общем смысле PMF можно записать

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$

или

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}$.

PMF выражен с помощью Gamma

Используя свойства бета-функции , PMF с целым числом $r$ можно переписать как:

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}$.

В более общем смысле PMF можно записать как

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}$.

PMF выражается восходящим символом Похаммера

PMF часто также представляют в виде символа Похаммера для целых чисел. $r$

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}$

Характеристики

Факториальные моменты

k -й X факториальный момент бета-отрицательной биномиальной случайной величины определяется для $k<\alpha$ и в данном случае равен

$\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{k}{\bigr ]}={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}.$

Неидентифицируемый

Бета-отрицательный бином не поддается идентификации , что можно легко увидеть, просто поменяв местами $r$ и $\beta$ в указанной выше плотности или характеристической функции и отметив, что она не изменилась. Таким образом, оценка требует ограничения на наложения $r$, $\beta$ или оба.

Связь с другими дистрибутивами

Бета-отрицательное биномиальное распределение содержит бета-геометрическое распределение как особый случай, когда либо $r=1$ или $\beta =1$. Следовательно, он может сколь угодно хорошо аппроксимировать геометрическое распределение . Он также произвольно хорошо аппроксимирует отрицательное биномиальное распределение для больших $\alpha$. Таким образом, оно может сколь угодно хорошо аппроксимировать распределение Пуассона для больших значений. $\alpha$, $\beta$ и $r$.

Тяжелый хвостатый

Используя приближение Стирлинга к бета-функции, можно легко показать, что для больших $k$

$f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}$

что означает, что бета-отрицательное биномиальное распределение имеет тяжелые хвосты и что моменты меньше или равны $\alpha$ не существуют.

Бета-геометрическое распределение

Бета-геометрическое распределение является важным частным случаем бета-отрицательного биномиального распределения, возникающего для $r=1$. В этом случае pmf упрощается до

$f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$.

Этот дистрибутив используется в некоторых моделях Buy Till you Die (BTYD).

Далее, когда $\beta =1$ бета-геометрическое сводится к распределению Юла – Саймона . Однако чаще распределение Юла-Саймона определяют как сдвинутую версию бета-геометрического. В частности, если $X\sim BG(\alpha ,1)$ затем $X+1\sim YS(\alpha )$.

Бета-отрицательный бином как модель урны Пойя

В случае, когда 3 параметра $r,\alpha$ и $\beta$ являются положительными целыми числами, бета-отрицательный бином также может быть мотивирован моделью урны - или, точнее, базовой моделью урны Пойя . Рассмотрим урну, изначально содержащую $\alpha$ красные шары (остановочный цвет) и $\beta$ синие шарики. На каждом шаге модели из урны случайным образом извлекается и заменяется шар вместе с одним дополнительным шаром того же цвета. Процесс повторяется снова и снова, пока $r$ рисуются красные шарики. Случайная величина $X$ наблюдаемых розыгрышей синих шаров распределяются по $\mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta )$. Обратите внимание, что в конце эксперимента в урне всегда находится фиксированное число. $r+\alpha$ красных шаров, содержащих случайное число $X+\beta$ синие шарики.

По свойству неидентифицируемости $X$ может быть эквивалентно сгенерировано с помощью урны, изначально содержащей $\alpha$ красные шары (остановочный цвет) и $r$ синие шары и остановка, когда $\beta$ наблюдаются красные шары.

См. также

• Отрицательное биномиальное распределение
• Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле

Ссылки

• Джонсон, Нидерланды; Коц, С.; Кемп, AW (1993) Одномерные дискретные распределения , 2-е издание, Wiley ISBN   0-471-54897-9 (раздел 6.2.3)
• Кемп, CD; Кемп, AW (1956) «Обобщенные гипергеометрические распределения» , Журнал Королевского статистического общества , серия B, 18, 202–211.
• Ван, Чжаолян (2011) «Одно смешанное отрицательное биномиальное распределение с применением», Журнал статистического планирования и вывода , 141 (3), 1153-1160. дои : 10.1016/j.jspi.2010.09.020

Внешние ссылки

• Интерактивная графика: одномерные отношения распределения