Взаимодействующая система частиц

В теории вероятностей система взаимодействующих частиц ( ВПС ) представляет собой случайный процесс. $(X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}$ в некотором конфигурационном пространстве $\Omega =S^{G}$ заданное пространством сайта, счетно-бесконечного порядка граф $G$ и локальное пространство состояний, компактное метрическое пространство $S$. Точнее, IPS — это марковские скачкообразные процессы с непрерывным временем , описывающие коллективное поведение стохастически взаимодействующих компонентов. IPS — это аналог стохастических клеточных автоматов, работающий в непрерывном времени .

Среди основных примеров — модель избирателя , контактный процесс , асимметричный процесс простого исключения (ASEP), динамика Глаубера и, в частности, стохастическая модель Изинга .

IPS обычно определяются через их марковский генератор, что приводит к уникальному марковскому процессу с использованием марковских полугрупп и теоремы Хилле-Йосиды . Генератор снова задается через так называемые переходные скорости. $c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0$ где $\Lambda \subset G$ представляет собой конечное множество сайтов и $\eta ,\xi \in \Omega$ с $\eta _{i}=\xi _{i}$ для всех $i\notin \Lambda$. Скорости описывают экспоненциальное время ожидания процесса для перехода из конфигурации. $\eta$ в конфигурацию $\xi$. В более общем плане темпы перехода даются в виде конечной меры. $c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )$ на $S^{\Lambda }$.

Генератор $L$ ИПС имеет следующий вид. Во-первых, область $L$ является подмножеством пространства «наблюдаемых», то есть множеством вещественнозначных непрерывных функций в конфигурационном пространстве. $\Omega$. Тогда для любого наблюдаемого $f$ в области $L$, у одного есть

$Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]$.

Например, для стохастической модели Изинга имеем $G=\mathbb {Z} ^{d}$, $S=\{-1,+1\}$, $c_{\Lambda }=0$ если $\Lambda \neq \{i\}$ для некоторых $i\in G$ и

$c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]$

где $\eta ^{i}$ равна ли конфигурация $\eta$ за исключением того, что он перевернут на сайте $i$. $\beta$ — новый параметр, моделирующий обратную температуру.

Модель избирателя

Основная статья: Модель избирателя

Модель избирателя (обычно в непрерывном времени, но есть и дискретные версии) — это процесс, аналогичный контактному процессу . В этом процессе $\eta (x)$ используется для отражения позиции избирателя по определенной теме. Избиратели пересматривают свои мнения время от времени, распределенные в соответствии с независимыми экспоненциальными случайными величинами (это дает локальный процесс Пуассона - обратите внимание, что в целом избирателей бесконечно много, поэтому никакой глобальный процесс Пуассона использовать нельзя). Во время повторного рассмотрения избиратель равномерно выбирает одного соседа из числа всех соседей и принимает мнение этого соседа. Можно обобщить этот процесс, позволив выбору соседей быть чем-то отличным от единообразного.

Процесс дискретного времени

В одномерной модели избирателя с дискретным временем $\xi _{t}(x):\mathbb {Z} \to \{0,1\}$ представляет состояние частицы $x$ во время $t$. Неформально каждая особь располагается на линии и может «видеть» других особей, находящихся в радиусе действия. $r$. Если больше определенной доли, $\theta$ из этих людей не согласны, тогда человек меняет свое отношение, в противном случае он сохраняет его прежним. Дарретт и Стейф (1993) и Стейф (1994) показывают, что для больших радиусов существует критическое значение $\theta _{c}$ такое, что если $\theta >\theta _{c}$ большинство людей никогда не меняются, и для $\theta \in (1/2,\theta _{c})$ в пределе большинство сайтов согласны. (Оба этих результата предполагают вероятность $\xi _{0}(x)=1$ это половина.)

Этот процесс имеет естественное обобщение на большее количество измерений, некоторые результаты обсуждаются в работе Дарретта и Стейфа (1993).

Непрерывный временной процесс

Непрерывный временной процесс аналогичен тем, что он предполагает, что каждый человек имеет убеждение в определенный момент времени и меняет его в зависимости от отношения своих соседей. Этот процесс неофициально описан Лиггеттом (1985, 226): «Периодически (т. е. в независимые экспоненциальные моменты времени) человек переоценивает свою точку зрения довольно простым способом: он выбирает «друга» наугад с определенными вероятностями и принимает свою позицию. ." Модель, основанная на этой интерпретации, была построена Холли и Лиггеттом (1975).

Этот процесс эквивалентен процессу, впервые предложенному Клиффордом и Садбери (1973), когда животные конфликтуют из-за территории и имеют равные права. Сайт выбирается для вторжения соседа в определенный момент времени.

Ссылки

• Клиффорд, Питер; Эйдан Садбери (1973). «Модель пространственного конфликта». Биометрика . 60 (3): 581–588. дои : 10.1093/biomet/60.3.581 .
• Дарретт, Ричард ; Джеффри Э. Стейф (1993). «Результаты фиксации пороговых систем голосования» . Анналы вероятности . 21 (1): 232–247. дои : 10.1214/aop/1176989403 .
• Холли, Ричард А.; Томас М. Лиггетт (1975). «Эргодические теоремы для слабо взаимодействующих бесконечных систем и модели избирателя» . Анналы вероятности . 3 (4): 643–663. дои : 10.1214/aop/1176996306 .
• Стейф, Джеффри Э. (1994). «Пороговый избиратель-автомат в критической точке» . Анналы вероятности . 22 (3): 1121–1139. дои : 10.1214/aop/1176988597 .
• Лиггетт, Томас М. (1997). «Стохастические модели взаимодействующих систем» . Анналы вероятности . 25 (1). Институт математической статистики: 1–29. дои : 10.1214/аоп/1024404276 . ISSN   0091-1798 .
• Лиггетт, Томас М. (1985). Взаимодействующие системы частиц . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-96069-4 .