68–95–99,7 Правило

В статистике правило 68–95–99,7 , также известное как эмпирическое правило , а иногда и сокращенное 3SR , является сокращением, используемой для запоминания процента значений, которые лежат внутри Интервальная оценка в нормальном распределении : приблизительно 68%, 95%и 99,7%значений находятся в пределах одного, двух и трех стандартных отклонений среднего , соответственно.

В математических обозначениях эти факты могут быть выражены следующим образом, где $pr ()$ является функцией вероятности , ^{[ 1 ]} $Χ$ является наблюдением от обычно распределенной случайной переменной , $μ$ (mu) является средним значением распределения, а $σ$ (Sigma) является его стандартным отклонением:

${\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 68.27\%\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 95.45\%\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 99.73\%\end{aligned}}$

Полезность этой эвристики особенно зависит от рассматриваемого вопроса.

В эмпирических науках так называемое правило трех сигмы (или 3 $σ$ правило ) выражает обычную эвристику , что почти все значения лежат в пределах трех стандартных отклонений от среднего, и, следовательно, эмпирически полезно лечить 99.7. % вероятности как достоверности. ^{[ 2 ]}

В социальных науках можно считать « значительным », если его уровень доверия имеет порядок эффекта двух сигмы (95%), в то время как в физике частиц существует соглашение о эффекте с пятью сигмами (99,9994% уверенность) Требуется квалификация как открытие .

Более слабое правило с тремя сигмами может быть получено из неравенства Чебишева , утверждая, что даже для не нормально распределенных переменных, по меньшей мере 88,8% случаев должны попадать в надлежащим образом рассчитанные интервалы с тремя сигмами. Для унимодальных распределений вероятность пребывания в пределах интервала составляет не менее 95% от неравенства Visochanskij -Potunin . Могут быть определенные предположения о распределении, которые заставляют эту вероятность составлять не менее 98%. ^{[ 3 ]}

Доказательство

У нас это есть ${\begin{aligned}\Pr(\mu -n\sigma \leq X\leq \mu +n\sigma )=\int _{\mu -n\sigma }^{\mu +n\sigma }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}dx,\end{aligned}}$ выполнение изменения переменной с точки зрения стандартного балла $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$ , у нас есть

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-n}^{n}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\end{aligned}},$

и этот интеграл не зависит от $\mu$ и $\sigma$ Полем Нам нужно только рассчитать каждый интеграл для случаев $n=1,2,3$ .

${\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{1}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.6827\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2}^{2}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9545\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-3}^{3}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9973.\end{aligned}}$

Совокупная функция распределения

Эти численные значения «68%, 95%, 99,7%» поступают от совокупной функции распределения нормального распределения .

Интервал прогнозирования для любой стандартной оценки Z численно соответствует $(1 - (1 - φ μ, σ 2 (z)) \cdot 2)$ .

Например, $φ (2) \approx 0,9772$ , или $PR (x \leq μ + 2 σ) \approx 0,9772$ , что соответствует интервалу прогнозирования $(1 - (1 - 0,97725) \cdot 2) = 0,9545 = 95,45%$ . Это не симметричный интервал - это просто вероятность того, что наблюдение меньше $μ + 2 σ$ . Чтобы вычислить вероятность того, что наблюдение находится в пределах двух стандартных отклонений среднего (небольшие различия из -за округления): $\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545$

Это связано с доверительным интервалом , как используется в статистике: ${\bar {X}}\pm 2{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ примерно 95% доверительный интервал, когда ${\bar {X}}$ это среднее значение выборки размера $n$ .

Тесты нормальности

«Правило 68–95–99,7» часто используется для быстрого получения приблизительной оценки вероятности чего -либо, учитывая его стандартное отклонение, если население считается нормальным. Он также используется в качестве простого теста для выбросов , если популяция предполагается нормальной, и в качестве теста на нормальность, если популяция потенциально не является нормальной.

Чтобы перейти из выборки к ряду стандартных отклонений, один сначала вычисляет отклонение , либо ошибку, либо остаточную в зависимости от того, знает ли кто -то среднее значение населения или только оценивает его. Следующим шагом является стандартизация (разделение на стандартное отклонение населения), если параметры популяции известны или студентка (делясь на оценку стандартного отклонения), если параметры неизвестны и оцениваются только.

Чтобы использовать в качестве теста для выбросов или тестирования нормальности, кто -то вычисляет размер отклонений с точки зрения стандартных отклонений и сравнивает это с ожидаемой частотой. Учитывая набор выборки, можно рассчитать ученические остатки и сравнить их с ожидаемой частотой: точки, которые падают более чем на 3 стандартных отклонений от нормы, вероятно, являются выбросами (если размер выборки значительно большой, с помощью этого момента ожидается выборка. Extreme), и если существует много моментов более 3 стандартных отклонений от нормы, у одного, вероятно, есть основания поставить под сомнение предполагаемую нормальность распределения. Это все сильнее для ходов 4 или более стандартных отклонений.

Можно более точно вычислить, приближаясь к количеству экстремальных движений данной величины или больше путем распределения Пуассона , но просто, если у кого -то есть несколько 4 стандартных перемещений в выборке 1000, у кого -то есть причина рассмотреть эти выбросы или Вопрос о предполагаемой нормальности распределения.

Например, событие 6 σ соответствует вероятности около двух частей на миллиард . Для иллюстрации, если события будут происходить ежедневно, это будет соответствовать событию, ожидаемому каждые 1,4 миллиона лет. Это дает простой тест на нормальность : если кто -то стал свидетелем 6 σ в повседневных данных и пройдет значительно менее 1 миллиона лет, то нормальное распределение, скорее всего, не обеспечивает хорошую модель для величины или частоты больших отклонений в этом отношении.

В черном лебеде Нассим Николас Талеб приводит пример моделей риска, в соответствии с которым авария Черного понедельника будет соответствовать 36- σ- событию: Появление такого события должно мгновенно предположить, что модель ошибочна, т.е. рассматриваемый процесс не удовлетворительно смоделирован нормальным распределением. Затем следует рассмотреть утонченные модели, например, введением стохастической волатильности . В таких дискуссиях важно знать о проблеме ошибки игрока , в которой говорится, что одно наблюдение за редким событием не противоречит, что событие на самом деле является редким. Это наблюдение множества якобы редких событий, которые все чаще подрывают гипотезу о том, что они редки, то есть достоверность предполагаемой модели. Правильное моделирование этого процесса постепенной потери уверенности в гипотезе будет включать в себя обозначение предшествующей вероятности не только самой гипотезы, но и для всех возможных альтернативных гипотез. По этой причине, Статистическое тестирование гипотезы работает не столько, подтверждая гипотезу, которая считается вероятной, но опровергая гипотезы, которые считаются маловероятными .

Таблица численных значений

Из -за экспоненциального уменьшения хвостов нормального распределения шансы на более высокие отклонения очень быстро уменьшаются. Из правил для нормально распределенных данных для ежедневного события:

Диапазон	Ожидаемая доля Население внутри диапазона	Ожидаемая доля Население вне диапазона	Примерно ожидал частота внешнего диапазона		Примерно частота внешнего диапазона для ежедневного мероприятия
М ± 0,5 с	0.382 924 922 548 026	6.171E-01 = 61,71 %	3 в	5	Четыре или пять раз в неделю
μ ± м	0.682 689 492 137 086 ^{[ 4 ]}	3.173E-01 = 31,73 %	1 в	3	Дважды или трижды в неделю
μ ± 1,5 p	0.866 385 597 462 284	1,336E-01 = 13,36 %	2 в	15	Еженедельно
M ± 2 σ	0.954 499 736 103 642 ^{[ 5 ]}	4,550E-02 = 4,550 %	1 в	22	Каждые три недели
M ± 2,5 P	0.987 580 669 348 448	1,242E-02 = 1,242 %	1 в	81	Ежеквартальный
М ± 3 с	0.997 300 203 936 740 ^{[ 6 ]}	2,700E-03 = 0,270 % = 2,700 ‰	1 в	370	Ежегодно
М ± 3,5 с	0.999 534 741 841 929	4,653E-04 = 0,04653 % = 465,3 м.д.	1 в	2149	Каждые 6 лет
M ± 4 P	0.999 936 657 516 334	6.334e-05 = 63,34 частей на миллион	1 в	15 787	Каждые 43 года (дважды в жизни)
M ± 4,5 P	0.999 993 204 653 751	6.795E-06 = 6,795 ч / млн.	1 в	147 160	Каждые 403 года (один раз в современную эпоху )
M ± 5 P	0.999 999 426 696 856	5,733E-07 = 0,5733 м.д. = 573,3 м.д.	1 в	1 744 278	Каждые 4776 лет (один раз в истории )
M ± 5,5 P	0.999 999 962 020 875	3.798e-08 = 37,98 ppb	1 в	26 330 254	Каждые 72 090 лет (трижды в истории современного человечества )
M ± 6 P	0.999 999 998 026 825	1.973E-09 = 1,973 ppb	1 в	506 797 346	Каждые 1,38 миллиона лет (дважды в истории человечества )
M ± 6,5 P	0.999 999 999 919 680	8,032E-11 = 0,08032 ppb = 80,32 ppt	1 в	12 450 197 393	Каждые 34 миллиона лет (дважды после вымирания динозавров )
M ± 7 P	0.999 999 999 997 440	2.560E-12 = 2,560 ppt	1 в	390 682 215 445	Каждые 1,07 миллиарда лет (четыре случая в истории Земли )
М ± 7,5 с	0.999 999 999 999 936	6 382e-14 = 63,82 ppq	1 в	15 669 601 204 101	Один раз каждые 43 миллиарда лет (никогда в истории вселенной , дважды в будущем местной группы перед слиянием)
M ± 8 σ	0.999 999 999 999 999	1.244E-15 = 1,244 ppq	1 в	803 734 397 655 348	Один раз каждые 2,2 триллиона лет (никогда в истории вселенной , один раз в жизни красного карлика )
M ± $x$ σ	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)$	$1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)$	1 в	${\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}$	Каждый ${\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}$ дни

Смотрите также

Ссылки

^ Хубер, Франц (2018). Логическое введение в вероятность и индукцию . Нью -Йорк: издательство Оксфордского университета . п. 80. ISBN 9780190845414 .
^
Это использование «правила с тремя сигмами» вступило в общее использование в 2000-х годах, например, цитируется в
- Счет Шаума статистики бизнеса . McGraw Hill Professional. 2003. с. 359. ISBN 9780071398763
- Grafarend, Erik W. (2006). Линейные и нелинейные модели: фиксированные эффекты, случайные эффекты и смешанные модели . Уолтер де Грютер. п. 553 . ISBN 9783110162165 .
^ См
.:
- Wheeler, DJ; Chambers, DS (1992). Понимание статистического управления процессом . SPC Press. ISBN 9780945320135 .
- Цитром, Вероника ; Спаггон, Патрик Д. (1997). Статистические тематические исследования для улучшения промышленного процесса . Сиам п. 342. ISBN 9780898713947 .
- Pukelsheim, F. (1994). «Правило Три Сигмы». Американский статистик . 48 (2): 88–91. doi : 10.2307/2684253 . JSTOR 2684253 .
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A178647» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A110894» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A270712» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Внешние ссылки

" Рассчитайте процентную долю в пределах x сигмы в Wolframalpha

[1] Хубер, Франц (2018). Логическое введение в вероятность и индукцию . Нью -Йорк: издательство Оксфордского университета . п. 80. ISBN 9780190845414 .

[2] Это использование «правила с тремя сигмами» вступило в общее использование в 2000-х годах, например, цитируется в
Счет Шаума статистики бизнеса . McGraw Hill Professional. 2003. с. 359. ISBN 9780071398763

Grafarend, Erik W. (2006). Линейные и нелинейные модели: фиксированные эффекты, случайные эффекты и смешанные модели . Уолтер де Грютер. п. 553 . ISBN 9783110162165 .

[3] Счет Шаума статистики бизнеса . McGraw Hill Professional. 2003. с. 359. ISBN 9780071398763

[4] Grafarend, Erik W. (2006). Линейные и нелинейные модели: фиксированные эффекты, случайные эффекты и смешанные модели . Уолтер де Грютер. п. 553 . ISBN 9783110162165 .

[3] ^ См .:
Wheeler, DJ; Chambers, DS (1992). Понимание статистического управления процессом . SPC Press. ISBN 9780945320135 .

Цитром, Вероника ; Спаггон, Патрик Д. (1997). Статистические тематические исследования для улучшения промышленного процесса . Сиам п. 342. ISBN 9780898713947 .

Pukelsheim, F. (1994). «Правило Три Сигмы». Американский статистик . 48 (2): 88–91. doi : 10.2307/2684253 . JSTOR 2684253 .

[6] Wheeler, DJ; Chambers, DS (1992). Понимание статистического управления процессом . SPC Press. ISBN 9780945320135 .

[7] Цитром, Вероника ; Спаггон, Патрик Д. (1997). Статистические тематические исследования для улучшения промышленного процесса . Сиам п. 342. ISBN 9780898713947 .

[8] Pukelsheim, F. (1994). «Правило Три Сигмы». Американский статистик . 48 (2): 88–91. doi : 10.2307/2684253 . JSTOR 2684253 .

[4] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A178647» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[5] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A110894» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[6] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A270712» . Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]