Натуральный логарифм

«База e» перенаправляется сюда. Информацию о системе нумерации, в которой в качестве основы используется буква «e», см. в разделе « Нецелочисленная база счисления § Base e» .

Натуральный логарифм
График части функции натурального логарифма. Функция медленно растет до положительной бесконечности по мере увеличения x и медленно достигает отрицательной бесконечности по мере того, как x приближается к 0 («медленно» по сравнению с любым законом x степенным ).
Общая информация
Общее определение	$\ln x=\log _{e}x$
Мотивация изобретения	квадратура гиперболы
Области применения	Чистая и прикладная математика
Домен, кодомен и изображение
Домен	$\mathbb {R} _{>0}$
Кодомен	$\mathbb {R}$
Изображение	$\mathbb {R}$
Конкретные значения
Значение при +∞	+∞
Значение в e	1
Особенности
Асимптота	$x=0$
Корень	1
Обратный	$\exp x$
Производная	${\dfrac {d}{dx}}\ln x={\dfrac {1}{x}},x>0$
Первообразная	$\int \ln x\,dx=x\left(\ln x-1\right)+C$

Натуральный логарифм числа — это его логарифм по основанию математической константы e , которая является иррациональным и трансцендентным числом, примерно равным 2,718 281 828 459 . Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log _e x или иногда, если основание e неявно, просто log x . круглые скобки Иногда для ясности добавляются , обозначающие ln( x ) , log _e ( x ) или log( x ) . Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы предотвратить двусмысленность.

Натуральный логарифм x — это степень , в которую e нужно возвести , чтобы оно стало равным x . Например, ln 7.5 равно 2,0149... , потому что e ^2.0149... = 7,5 . Натуральный логарифм самого e , ln e , равен 1 , потому что e ¹ = e , а натуральный логарифм 1 равен 0 , поскольку e ⁰ = 1 .

Натуральный логарифм можно определить для любого положительного действительного числа a как площадь под кривой y = 1/ x от 1 до a. (при этом площадь отрицательна, когда 0 < a <1 ). Простота этого определения, которое встречается во многих других формулах, включающих натуральный логарифм, приводит к появлению термина «натуральный». Затем определение натурального логарифма можно расширить, чтобы дать значения логарифма для отрицательных чисел и для всех ненулевых комплексных чисел , хотя это приводит к многозначной функции : см. Комплексный логарифм подробнее .

Функция натурального логарифма, если ее рассматривать как вещественную функцию положительной действительной переменной, является обратной функцией показательной функции , что приводит к тождествам: $${\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}$$

Как и все логарифмы, натуральный логарифм отображает умножение положительных чисел в сложение: $$\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.$$

Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e . Однако логарифмы в других системах счисления отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены через последний: $\log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e$.

Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное выступает как показатель степени какой-либо другой величины. Например, логарифмы используются для определения периода полураспада , константы распада или неизвестного времени в экспоненциального распада задачах . Они важны во многих разделах математики и научных дисциплинах и используются для решения задач, связанных со сложными процентами .

История

Основная статья: История логарифмов

Понятие натурального логарифма было разработано Грегуаром де Сен-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сараса до 1649 года. Их работа включала с уравнением квадратуру гиперболы xy = 1 путем определения площади гиперболических секторов . Их решение породило необходимую « гиперболического логарифма » функцию , которая имела свойства, теперь связанные с натуральным логарифмом.

Первое упоминание о натуральном логарифме было сделано Николаем Меркатором в его работе «Логарифмотехния» , опубликованной в 1668 году. хотя учитель математики Джон Спейделл уже составил таблицу натуральных логарифмов в 1619 году. Было сказано, что логарифмы Спейделла были по основанию e , но это не совсем так из-за сложностей с выражением значений в виде целых чисел .

Соглашения об обозначениях

Обозначения ln x и log _e x однозначно относятся к натуральному логарифму x , а log x без явного основания может также относиться к натуральному логарифму. Такое использование распространено в математике, а также в некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования . Однако в некоторых других контекстах, таких как химия , log x может использоваться для обозначения обыкновенного логарифма (по основанию 10) . Это также может относиться к двоичному логарифму (по основанию 2) в контексте информатики , особенно в контексте временной сложности .

Определения

Натуральный логарифм можно определить несколькими эквивалентными способами.

Обратная экспонента

Наиболее общее определение — это обратная функция $e^{x}$, так что $e^{\ln(x)}=x$. Потому что $e^{x}$ является положительным и обратимым для любого реального входного сигнала $x$, это определение $\ln(x)$ корректно определен для любого положительного x . Для чисел комплексных $e^{z}$ не является обратимым, поэтому $\ln(z)$ является многозначной функцией . Чтобы сделать $\ln(z)$ с одним выходом Это правильная функция , поэтому нам необходимо ограничить ее определенной основной ветвью , часто обозначаемой $\operatorname {Ln} (z)$. Как обратная функция $e^{z}$, $\ln(z)$ можно определить, обратив обычное определение $e^{z}$: $$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$$Это дает: $$\ln(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ({\sqrt[{n}]{z}}-1)$$Таким образом, это определение выводит свою собственную главную ветвь из главной ветви корней n- й степени.

Интегральное определение

ln a как площадь заштрихованной области под кривой f ( x ) = 1/ x от 1 до a . Если a меньше 1 , площадь считается отрицательной.

Площадь под гиперболой удовлетворяет правилу логарифма. Здесь A ( s , t ) обозначает площадь под гиперболой между s и t .

Натуральный логарифм положительного действительного числа a можно определить как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1/ x между x = 1 и x = a . Это интеграл $$\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$$Если А находится в $(0,1)$, то область имеет отрицательную площадь и логарифм отрицательный.

Эта функция является логарифмом, поскольку она удовлетворяет фундаментальному мультипликативному свойству логарифма: $$\ln(ab)=\ln a+\ln b.$$

Это можно продемонстрировать, разделив интеграл, определяющий ln ab, на две части, а затем сделав замену переменной x = at (т. е. dx = a dt ) во второй части следующим образом: $${\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}$$

Проще говоря, это просто масштабирование на 1/ a в горизонтальном направлении и на a в вертикальном направлении. область между a и ab Площадь не меняется при этом преобразовании, но переконфигурируется . Поскольку функция a /( ax ) равна функции 1/ x , результирующая площадь равна точно ln b .

Тогда число e можно определить как уникальное действительное число a такое, что ln a = 1 .

Натуральный логарифм также имеет неправильное целочисленное представление: который можно получить с помощью теоремы Фубини следующим образом: $$\ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt$$

Характеристики

Натуральный логарифм обладает следующими математическими свойствами:

• $\ln 1=0$
• $\ln e=1$
• $\ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0$
• $\ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0$
• $\ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0$
• $\ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y\neq 0$
• $\ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0$
• $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1$

показывать Доказательство

The statement is true for $x=0$, and we now show that ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ for all $x$, which completes the proof by the fundamental theorem of calculus. Hence, we want to show that$${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{1+x^{\alpha }}}\leq \alpha ={\frac {d}{dx}}(\alpha x)$$ (Note that we have not yet proved that this statement is true.) If this is true, then by multiplying the middle statement by the positive quantity $(1+x^{\alpha })/\alpha$ and subtracting $x^{\alpha }$ we would obtain$$x^{\alpha -1}\leq x^{\alpha }+1$$$$x^{\alpha -1}(1-x)\leq 1$$ This statement is trivially true for $x\geq 1$ since the left hand side is negative or zero. For $0\leq x<1$ it is still true since both factors on the left are less than 1 (recall that $\alpha \geq 1$). Thus this last statement is true and by repeating our steps in reverse order we find that $${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$$ for all $x$. This completes the proof. An alternate proof is to observe that $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ under the given conditions. This can be proved, e.g., by the norm inequalities. Taking logarithms and using $\ln(1+x)\leq x$ completes the proof.

Производная

Производная натурального логарифма как вещественная функция на положительных действительных числах определяется выражением $${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$$

Как установить эту производную натурального логарифма, зависит от того, как она определена из первых рук. Если натуральный логарифм определяется как интеграл $$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,$$тогда производная немедленно следует из первой части основной теоремы исчисления .

С другой стороны, если натуральный логарифм определяется как обратная (натуральная) показательная функция, то производную (при x > 0 ) можно найти, используя свойства логарифма и определение показательной функции.

Из определения числа $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ показательную функцию можно определить как $$e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},$$ где $u=hx,h={\frac {u}{x}}.$

Затем производную можно найти из первых принципов. $${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}$$

Также у нас есть: $${\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$$

поэтому, в отличие от своей обратной функции $e^{ax}$, константа в функции не меняет дифференциал.

Ряд

Полиномы Тейлора для ln(1 + x ) обеспечивают точные аппроксимации только в диапазоне −1 < x ≤ 1 . За пределами некоторого x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени становятся все более худшими приближениями.

Поскольку натуральный логарифм не определен в точке 0, $\ln(x)$ сама по себе не имеет ряда Маклорена , в отличие от многих других элементарных функций. Вместо этого ищут разложения Тейлора вокруг других точек. Например, если $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,$ затем $${\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}$$

Это серия Тейлора для $\ln x$ около 1. Замена переменных дает ряд Меркатора : $$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,$$действителен для $|x|\leq 1$ и $x\neq -1.$

Леонард Эйлер , не обращая внимания $x\neq -1$, тем не менее применил эту серию к $x=-1$ показать, что гармонический ряд равен натуральному логарифму ${\frac {1}{1-1}}$; то есть логарифм бесконечности. В настоящее время, более формально, можно доказать, что гармонический ряд, усеченный при N, близок к логарифму N , когда N велико, с разницей, сходящейся к константе Эйлера-Машерони .

Рисунок представляет собой график функции ln(1 + x ) и некоторых ее полиномов Тейлора около 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени переходят к худшим приближениям функции.

Полезный специальный случай для положительных целых чисел n , принимая $x={\tfrac {1}{n}}$, является: $$\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots$$

Если $\operatorname {Re} (x)\geq 1/2,$ затем $${\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}$$

Теперь, взяв $x={\tfrac {n+1}{n}}$ для положительных целых чисел n мы получаем: $$\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots$$

Если $\operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,$ затем $$\ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).$$С $${\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}$$ мы приходим к $${\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}$$Используя замену $x={\tfrac {n+1}{n}}$ снова для положительных целых чисел n мы получаем: $${\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}$$

Это, безусловно, самая быстрая сходимость из описанного здесь ряда.

Натуральный логарифм также можно выразить как бесконечное произведение: $$\ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)$$

Два примера могут быть: $$\ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...$$$$\pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...$$

Из этого тождества мы можем легко получить следующее: $${\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}$$

Например: $${\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots$$

Натуральный логарифм при интегрировании

Натуральный логарифм позволяет просто интегрировать функции вида $g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$: первообразная выражением g ( x ) определяется $\ln(|f(x)|)$. Это происходит из-за правила цепочки и следующего факта: $${\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0$$

Другими словами, при интегрировании на интервале действительной линии, не включающем $x=0$, затем $$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$$где C — произвольная константа интегрирования .

Аналогично, когда интеграл находится на интервале, где $f(x)\neq 0$,

$$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$$

Например, рассмотрим интеграл от $\tan(x)$ на интервале, не включающем точки, где $\tan(x)$ бесконечно: $$\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.$$

Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям : $$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.$$

Позволять: $$u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}$$$$dv=dx\Rightarrow v=x$$затем: $${\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}$$

Эффективные вычисления

Для $\ln(x)$ где x > 1 , чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости его ряда Тейлора с центром в 1. Для использования этого можно использовать тождества, связанные с логарифмом: $${\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}$$

Такие методы использовались до появления калькуляторов: обращение к числовым таблицам и выполнение манипуляций, подобных описанным выше.

Натуральный логарифм 10

Натуральный логарифм числа 10, примерно равный 2,302 585 09 , играет роль, например, в вычислении натуральных логарифмов чисел, представленных в научной записи , как мантисса, умноженная на степень 10: $$\ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.$$

Это означает, что можно эффективно вычислять логарифмы чисел с очень большой или очень маленькой величиной , используя логарифмы относительно небольшого набора десятичных знаков в диапазоне [1, 10) .

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма со многими цифрами точности подход с использованием рядов Тейлора неэффективен, поскольку сходимость происходит медленно. Особенно если x близко к 1, хорошей альтернативой является использование метода Галлея или метода Ньютона для обращения показательной функции, поскольку ряд показательной функции сходится быстрее. Чтобы найти значение y, чтобы дать $\exp(y)-x=0$ используя метод Галлея или, что то же самое, дать $\exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0$ используя метод Ньютона, итерация упрощается до $$y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}$$который имеет кубическую сходимость к $\ln(x)$.

Другой альтернативой для расчета с чрезвычайно высокой точностью является формула $$\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,$$где M обозначает среднее арифметико-геометрическое 1 и 4/ s , а $$s=x2^{m}>2^{p/2},$$где m выбрано так, чтобы было достигнуто p бит точности. (Для большинства целей достаточно значения 8 для m .) Фактически, если используется этот метод, ньютоновское обращение натурального логарифма, наоборот, может использоваться для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы $\ln 2$ и π можно предварительно вычислить с желаемой точностью, используя любой из нескольких известных быстро сходящихся рядов.) Или можно использовать следующую формулу: $$\ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )$$

где $$\theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}$$— тэта-функции Якоби .

На основе предложения Уильяма Кахана и впервые реализованного в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C в 1979 году (на дисплее упоминается только как «LN1»), некоторые калькуляторы, операционные системы (например, Berkeley UNIX 4.3BSD) ), системы компьютерной алгебры и языки программирования (например, C99 ) предоставляют специальный натуральный логарифм плюс 1 функцию, альтернативно называемую LNP1 , или log1p чтобы дать более точные результаты для логарифмов, близких к нулю, передавая аргументы x , также близкие к нулю, в функцию log1p( x ) , которая возвращает значение ln(1+ x ) вместо передачи значения y, близкого к 1, в функция, возвращающая ln( y ) . Функция log1p позволяет избежать в арифметике с плавающей запятой почти полного сокращения абсолютного члена 1 вторым членом из разложения Тейлора натурального логарифма. Это сохраняет аргумент, результат и промежуточные шаги близкими к нулю, где их можно наиболее точно представить в виде чисел с плавающей запятой.

В дополнение к основанию e стандарт IEEE 754-2008 определяет аналогичные логарифмические функции рядом с 1 для двоичных и десятичных логарифмов : log ₂ (1 + x ) и log ₁₀ (1 + x ) .

Подобные обратные функции с именем « expm1 », "экспм" или «exp1m» также существуют, все имеют значение expm1( x ) = exp( x ) − 1 .

Тождество в терминах обратного гиперболического тангенса , $$\mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,$$дает значение высокой точности для небольших значений x в системах, которые не реализуют log1p( x ) .

Вычислительная сложность

Основная статья: Вычислительная сложность математических операций

Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма с использованием средней арифметико-геометрической (для обоих указанных методов) составляет ${\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}$. Здесь n — количество цифр точности, с которой должен быть вычислен натуральный логарифм, а M ( n ) — вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел.

Непрерывные дроби

Хотя простых цепных дробей не существует, несколько обобщенных цепных дробей существует , в том числе: $${\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}$$$${\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$$

Эти непрерывные дроби, особенно последняя, ​​быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел можно легко вычислить, многократно добавляя логарифмы меньших чисел, с такой же быстрой сходимостью.

Например, поскольку 2 = 1,25 ³ × 1,024, натуральный логарифм 2 можно вычислить как: $${\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}$$

Кроме того, поскольку 10 = 1,25 ¹⁰ × 1.024 ³ , даже натуральный логарифм 10 можно вычислить аналогично: $${\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}$$Обратная величина натурального логарифма также может быть записана следующим образом: $${\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots$$

Например: $${\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots$$

Комплексные логарифмы

Основная статья: Комплексный логарифм

Показательную функцию можно расширить до функции, которая дает комплексное число как e ^С для любого произвольного комплексного числа z ; просто используйте бесконечный ряд с комплексом x =z. Эту показательную функцию можно инвертировать, чтобы сформировать комплексный логарифм, который проявляет большинство свойств обыкновенного логарифма. Здесь возникают две трудности: ни один x не имеет e. ^х = 0 ; и оказывается, что е ^{2 и.п.} = 1 = и ⁰ . Поскольку мультипликативное свойство все еще работает для комплексной показательной функции, e ^С = и ^{с +2 киπ} , для всех комплексных z и целых чисел k .

Таким образом, логарифм не может быть определен для всей комплексной плоскости , и даже тогда он многозначен — любой комплексный логарифм можно превратить в «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2 iπ, по желанию. Комплексный логарифм может быть только однозначным на плоскости сечения . Например, ln i = ⁠ iπ / 2 ⁠ или ⁠ 5 iπ / 2 ⁠ или - ⁠ 3 iπ / 2 ⁠ и т. д.; и хотя я ⁴ = 1, 4 ln i можно определить как 2 iπ , 10 iπ или −6 iπ и так далее.

• Графики функции натурального логарифма на комплексной плоскости ( главная ветвь )
• 
  z = Re(ln( x + yi ))
• 
  г = | (Im(ln( x + yi ))) |
• 
  z знак равно | (пер ( х + уи )) |
• 
  Суперпозиция предыдущих трех графиков

См. также

• Аппроксимация натуральных показателей (логарифмическая база e)
• Повторный логарифм
• Напиров логарифм
• Список логарифмических тождеств
• Логарифм матрицы
• Логарифмические координаты элемента группы Ли.
• Логарифмическое дифференцирование
• Логарифмическая интегральная функция
• Николас Меркатор - первый, кто использовал термин натуральный логарифм.
• Полилогарифм
• Функция фон Мангольдта