Завернутое распределение Коши

Завернутый Коши

Функция плотности вероятности Носитель выбран [-π,π)
Кумулятивная функция распределения Носитель выбран [-π,π)
Параметры	$\mu$ Настоящий $\gamma >0$
Поддерживать	$-\pi \leq \theta <\pi$
PDF	${\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\sinh(\gamma )}{\cosh(\gamma )-\cos(\theta -\mu )}}$
CDF	$\,$
Иметь в виду	$\mu$ (круговой)
Дисперсия	$1-e^{-\gamma }$ (круговой)
Энтропия	$\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))$ (дифференциал)
CF	$e^{in\mu -|n|\gamma }$

В теории вероятностей и направленной статистике завернутое распределение Коши — это завернутое распределение вероятностей , возникающее в результате «обертывания» распределения Коши вокруг единичного круга . Распределение Коши иногда называют лоренцевым распределением, а обернутое распределение Коши иногда называют обернутым лоренцевым распределением.

Обернутое распределение Коши часто встречается в области спектроскопии, где оно используется для анализа дифракционных картин (например, см. Интерферометр Фабри – Перо ).

Описание

Функция плотности вероятности завернутого распределения Коши :

$f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta -\mu +2\pi n)^{2})}}\qquad -\pi <\theta <\pi$

где $\gamma$ масштабный коэффициент и $\mu$ это пиковое положение «развернутого» распределения. Выразив приведенный выше PDF-файл через характеристическую функцию распределения Коши, получим:

$f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\mu )-|n|\gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}$

PDF также может быть выражена через круговую переменную z = e ^я и комплексный параметр ζ = e ^{я ( μ + iγ )}

$f_{WC}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|z-\zeta |^{2}}}$

где, как показано ниже, ζ = ⟨ z ⟩.

В терминах круговой переменной $z=e^{i\theta }$ круговые моменты завернутого распределения Коши являются характеристической функцией распределения Коши, оцениваемой с целочисленными аргументами:

$\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\theta =e^{in\mu -|n|\gamma }.$

где $\Gamma \,$ это некоторый интервал длины $2\pi$. Тогда первый момент представляет собой среднее значение z , также известное как средний результирующий или средний результирующий вектор:

$\langle z\rangle =e^{i\mu -\gamma }$

Средний угол

$\langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu$

а длина среднего результата равна

$R=|\langle z\rangle |=e^{-\gamma }$

что дает круговую дисперсию 1 - R .

Оценка параметров

Серия N измерений $z_{n}=e^{i\theta _{n}}$ полученное из завернутого распределения Коши, можно использовать для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение серии ${\overline {z}}$ определяется как

${\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}$

и его математическое ожидание будет только первым моментом:

$\langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\gamma }$

Другими словами, ${\overline {z}}$ является несмещенной оценкой первого момента. Если предположить, что положение пика $\mu$ лежит в интервале $[-\pi ,\pi )$, тогда Арг $({\overline {z}})$ будет (смещенной) оценкой положения пика $\mu$.

Просмотр $z_{n}$ как набор векторов на комплексной плоскости, ${\overline {R}}^{2}$ статистика — это длина усредненного вектора:

${\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}$

и его математическое ожидание равно

$\langle {\overline {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}e^{-2\gamma }.$

Другими словами, статистика

$R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)$

будет несмещенной оценкой $e^{-2\gamma }$, и $\ln(1/R_{e}^{2})/2$ будет (предвзятой) оценкой $\gamma$.

Энтропия

Информационная энтропия завернутого распределения Коши определяется как:

$H=-\int _{\Gamma }f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))\,d\theta$

где $\Gamma$ любой интервал длины $2\pi$. Логарифм плотности завернутого распределения Коши можно записать в виде ряда Фурье в виде $\theta \,$:

$\ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )$

где

$c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln \left({\frac {\sinh \gamma }{2\pi (\cosh \gamma -\cos \theta )}}\right)\cos(m\theta )\,d\theta$

что дает:

$c_{0}=\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)$

(см. Развитие и Развитие 4.224.15) и

$c_{m}={\frac {e^{-m\gamma }}{m}}\qquad \mathrm {for} \,m>0$

(см. Развитие и Развитие 4.397.6). Характеристическое представление функции для завернутого распределения Коши в левой части интеграла:

$f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)$

где $\phi _{n}=e^{-|n|\gamma }$. Подставляя эти выражения в интеграл энтропии, меняя порядок интегрирования и суммирования и используя ортогональность косинусов, энтропию можно записать:

$H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}$

Ряд представляет собой просто разложение Тейлора для логарифма $(1-e^{-2\gamma })$ поэтому энтропию можно записать в замкнутой форме как:

$H=\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))\,$

Круговое распределение Коши

Если X распределено Коши с медианой µ и параметром масштаба γ, то комплексная переменная

$Z={\frac {X-i}{X+i}}$

имеет единичный модуль и распределяется на единичной окружности с плотностью:

$f_{CC}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|e^{i\theta }-\zeta |^{2}}}$

где

$\zeta ={\frac {\psi -i}{\psi +i}}$

и ψ выражает два параметра соответствующего линейного распределения Коши для x как комплексное число :

$\psi =\mu +i\gamma \,$

Можно видеть, что круговое распределение Коши имеет ту же функциональную форму, что и завернутое распределение Коши по z и ζ (т.е. f _WC (z, ζ)). Круговое распределение Коши представляет собой перепараметризованное обернутое распределение Коши:

$f_{CC}(\theta ,m,\gamma )=f_{WC}\left(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}}\right)$

Распределение $f_{CC}(\theta ;\mu ,\gamma )$ называется круговым распределением Коши (также комплексное распределение Коши ) с параметрами µ и γ. ( см. также в параметризации распределений Коши и ядра Пуассона Связанные концепции МакКаллахом.)

Круговое распределение Коши, выраженное в комплексной форме, имеет конечные моменты всех порядков.

$\operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}$

для целого n ≥ 1. Для |φ| < 1, преобразование

$U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar {\phi }}z}}$

голоморфна (ζ, φ ) на единичном круге, а преобразованная переменная U ( Z , φ) распределяется как комплексная Коши с параметром U .

Учитывая выборку z ₁ , ..., z _n размера n > 2, уравнение максимального правдоподобия

$n^{-1}U\left(z,{\hat {\zeta }}\right)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\right)=0$

можно решить простой итерацией с фиксированной точкой:

$\zeta ^{(r+1)}=U\left(n^{-1}U(z,\zeta ^{(r)}),\,-\zeta ^{(r)}\right)\,$

начиная с ζ ⁽⁰⁾ = 0. Последовательность значений правдоподобия не убывает, а решение уникально для выборок, содержащих не менее трех различных значений.

Оценка максимального правдоподобия для медианы ( ${\hat {\mu }}$) и параметр масштаба ( ${\hat {\gamma }}$) реальной выборки Коши получается обратным преобразованием:

${\hat {\mu }}\pm i{\hat {\gamma }}=i{\frac {1+{\hat {\zeta }}}{1-{\hat {\zeta }}}}.$

Для n ≤ 4 известны выражения в замкнутой форме для ${\hat {\zeta }}$. Плотность оценки максимального правдоподобия в момент t в единичном круге обязательно имеет вид:

${\frac {1}{4\pi }}{\frac {p_{n}(\chi (t,\zeta ))}{(1-|t|^{2})^{2}}},$

где

$\chi (t,\zeta )={\frac {|t-\zeta |^{2}}{4(1-|t|^{2})(1-|\zeta |^{2})}}$.

формулы для p ₃ и p _{4 .} Доступны

См. также

• Завернутое распространение
• Гребень Дирака
• Завернутое нормальное распределение
• Круговое равномерное распределение
• Параметризация МакКаллахом распределений Коши

Ссылки

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле . Спрингер . ISBN  978-3-540-43603-4 . Проверено 31 декабря 2009 г.
• Фишер, Нью-Йорк (1996). Статистический анализ круговых данных . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-56890-6 . Проверено 9 февраля 2010 г.