Обобщенное распределение хи-квадрат

Обобщенное распределение хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Обозначения	${\tilde {\chi }}({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},s,m)$
Параметры	${\boldsymbol {w}}$, вектор весов нецентральных компонентов хи-квадрат ${\boldsymbol {k}}$, вектор степеней свободы нецентральных компонент хи-квадрат ${\boldsymbol {\lambda }}$, вектор параметров нецентральности компонентов хи-квадрат $s$, шкала нормального члена $m$, компенсировать
Поддерживать	$x\in {\begin{cases}[m,+\infty ){\text{ if }}w_{i}\geq 0,s=0,\\(-\infty ,m]{\text{ if }}w_{i}\leq 0,s=0,\\\mathbb {R} {\text{ otherwise.}}\end{cases}}$
Иметь в виду	$\sum _{j}w_{j}(k_{j}+\lambda _{j})+m$
Дисперсия	$2\sum _{j}w_{j}^{2}(k_{j}+2\lambda _{j})+s^{2}$
CF	${\frac {\exp \left[it\left(m+\sum _{j}{\frac {w_{j}\lambda _{j}}{1-2iw_{j}t}}\right)-{\frac {s^{2}t^{2}}{2}}\right]}{\prod _{j}\left(1-2iw_{j}t\right)^{k_{j}/2}}}$

В теории вероятностей и статистике обобщенное распределение хи-квадрат (или обобщенное распределение хи-квадрат ) — это распределение квадратичной формы мультинормальной переменной (нормального вектора) или линейной комбинации различных нормальных переменных и квадратов нормальных переменных. Эквивалентно, это также линейная сумма независимых нецентральных переменных хи-квадрат и нормальной переменной . Есть еще несколько подобных обобщений, для которых иногда используется тот же термин; некоторые из них представляют собой частные случаи обсуждаемого здесь семейства, например гамма-распределение .

Определение

Обобщенную переменную хи-квадрат можно описать несколькими способами. Один из них — записать его как взвешенную сумму независимых хи-квадрат. нецентральных переменных ${{\chi }'}^{2}$ и стандартная нормальная переменная $z$:

${\tilde {\chi }}({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},s,m)=\sum _{i}w_{i}{{\chi }'}^{2}(k_{i},\lambda _{i})+sz+m.$

Здесь параметрами являются веса $w_{i}$, степени свободы $k_{i}$ и нецентральность $\lambda _{i}$ составляющих нецентральных хи-квадратов и коэффициентов $s$ и $m$ нормального. Некоторые важные частные случаи имеют все веса. $w_{i}$ одного и того же знака, или имеют центральные компоненты хи-квадрат, или пропускают нормальный член.

Поскольку нецентральная переменная хи-квадрат представляет собой сумму квадратов нормальных переменных с разными средними значениями, обобщенная переменная хи-квадрат также определяется как сумма квадратов независимых нормальных переменных плюс независимая нормальная переменная: то есть квадратичная по нормальным переменным.

Другой эквивалентный способ — сформулировать его как квадратичную форму нормального вектора. ${\boldsymbol {x}}$:

${\tilde {\chi }}=q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}'\mathbf {Q_{2}} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}}}'{\boldsymbol {x}}+q_{0}$.

Здесь $\mathbf {Q_{2}}$ это матрица, ${\boldsymbol {q_{1}}}$ является вектором, и $q_{0}$ является скаляром. Они вместе со средним ${\boldsymbol {\mu }}$ и ковариационная матрица $\mathbf {\Sigma }$ нормального вектора ${\boldsymbol {x}}$, параметризовать распределение. Параметры первого выражения (в терминах нецентральных хи-квадратов, нормали и константы) можно вычислить через параметры второго выражения (квадратичная форма вектора нормали). Если (и только если) $\mathbf {Q_{2}}$ в этой формулировке положительно определена , то все $w_{i}$ в первой формулировке будет иметь тот же знак.

В самом общем случае приведение к общей стандартной форме можно осуществить, используя представление следующего вида:

$X=(z+a)^{\mathrm {T} }A(z+a)+c^{\mathrm {T} }z=(x+b)^{\mathrm {T} }D(x+b)+d^{\mathrm {T} }x+e,$

где D — диагональная матрица, а x — вектор некоррелированных стандартных нормальных случайных величин.

Вычисление pdf/cdf/обратного cdf/случайных чисел

Плотность вероятности, кумулятивное распределение и обратные кумулятивные функции распределения обобщенной переменной хи-квадрат не имеют простых выражений в замкнутой форме. Однако численные алгоритмы и компьютерный код ( Fortran и C , Matlab , R , Python , Julia ) были опубликованы для оценки некоторых из них и для генерации случайных выборок.

Приложения

Обобщенный хи-квадрат — это распределение статистических оценок в тех случаях, когда обычная статистическая теория не работает, как в примерах ниже.

При примерке и выборе модели

Если прогностическая модель аппроксимируется методом наименьших квадратов , но остатки имеют либо автокорреляцию , либо гетероскедастичность , то альтернативные модели можно сравнивать (при выборе модели ), связывая изменения суммы квадратов с асимптотически действительным обобщенным распределением хи-квадрат.

Классификация нормальных векторов с использованием дискриминантного анализа Гаусса

Если ${\boldsymbol {x}}$ является нормальным вектором, его логарифмическая вероятность представляет собой форму квадратичную ${\boldsymbol {x}}$, и, следовательно, распределяется как обобщенный хи-квадрат. Логарифмическое отношение правдоподобия, которое ${\boldsymbol {x}}$ возникает из-за одного нормального распределения по сравнению с другим, также является квадратичной формой , поэтому распределяется как обобщенный хи-квадрат.

В дискриминантном анализе Гаусса выборки из мультинормальных распределений оптимально разделяются с помощью квадратичного классификатора , границы, которая является квадратичной функцией (например, кривая, определяемая путем установки отношения правдоподобия между двумя гауссианами равным 1). Коэффициенты ошибок классификации разных типов (ложноположительные и ложноотрицательные) являются интегралами нормального распределения в квадратичных областях, определенных этим классификатором. Поскольку это математически эквивалентно интегрированию квадратичной формы нормального вектора, результатом является интеграл от обобщенной переменной хи-квадрат.

В обработке сигналов

Следующее приложение возникает в контексте анализа Фурье в обработке сигналов , теории восстановления в теории вероятностей и многоантенных систем в беспроводной связи . Общим фактором этих областей является то, что важна сумма экспоненциально распределенных переменных (или, что то же самое, сумма квадратов величин циркулярно-симметричных центрированных комплексных гауссовских переменных).

Если $Z_{i}$ являются k независимыми циклически -симметричными центрированными комплексными гауссовскими случайными величинами со средним значением 0 и дисперсией $\sigma _{i}^{2}$, то случайная величина

${\tilde {Q}}=\sum _{i=1}^{k}|Z_{i}|^{2}$

имеет обобщенное распределение хи-квадрат определенной формы. Отличие от стандартного распределения хи-квадрат состоит в том, что $Z_{i}$ являются сложными и могут иметь разные дисперсии, а отличие от более общего обобщенного распределения хи-квадрат заключается в том, что соответствующая масштабирующая матрица A является диагональной. Если $\mu =\sigma _{i}^{2}$ для всех я , тогда ${\tilde {Q}}$, уменьшенный на $\mu /2$ (т.е. умножается на $2/\mu$), имеет распределение хи-квадрат , $\chi ^{2}(2k)$, также известный как распределение Эрланга . Если $\sigma _{i}^{2}$ имеют разные значения для всех i , тогда ${\tilde {Q}}$ есть pdf

$f(x;k,\sigma _{1}^{2},\ldots ,\sigma _{k}^{2})=\sum _{i=1}^{k}{\frac {e^{-{\frac {x}{\sigma _{i}^{2}}}}}{\sigma _{i}^{2}\prod _{j=1,j\neq i}^{k}\left(1-{\frac {\sigma _{j}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}}\quad {\text{for }}x\geq 0.$

Если среди $\sigma _{i}^{2}$, предположим, что они разделены на M наборов, каждый из которых представляет определенное значение дисперсии. Обозначим $\mathbf {r} =(r_{1},r_{2},\dots ,r_{M})$ количество повторений в каждой группе. То есть m- й набор содержит $r_{m}$ переменные, которые имеют дисперсию $\sigma _{m}^{2}.$ Он представляет собой произвольную линейную комбинацию независимых $\chi ^{2}$-распределенные случайные величины с разными степенями свободы:

${\tilde {Q}}=\sum _{m=1}^{M}\sigma _{m}^{2}/2*Q_{m},\quad Q_{m}\sim \chi ^{2}(2r_{m})\,.$

PDF-файл ${\tilde {Q}}$ является

$f(x;\mathbf {r} ,\sigma _{1}^{2},\dots \sigma _{M}^{2})=\prod _{m=1}^{M}{\frac {1}{\sigma _{m}^{2r_{m}}}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l,\mathbf {r} }}{(r_{k}-l)!}}(-x)^{r_{k}-l}e^{-{\frac {x}{\sigma _{k}^{2}}}},\quad {\text{ for }}x\geq 0,$

где

$\Psi _{k,l,\mathbf {r} }=(-1)^{r_{k}-1}\sum _{\mathbf {i} \in \Omega _{k,l}}\prod _{j\neq k}{\binom {i_{j}+r_{j}-1}{i_{j}}}\left({\frac {1}{\sigma _{j}^{2}}}\!-\!{\frac {1}{\sigma _{k}^{2}}}\right)^{-(r_{j}+i_{j})},$

с $\mathbf {i} =[i_{1},\ldots ,i_{M}]^{T}$ из набора $\Omega _{k,l}$ извсе разделы $l-1$ (с $i_{k}=0$) определяется как

$\Omega _{k,l}=\left\{[i_{1},\ldots ,i_{m}]\in \mathbb {Z} ^{m};\sum _{j=1}^{M}i_{j}\!=l-1,i_{k}=0,i_{j}\geq 0{\text{ for all }}j\right\}.$

См. также

• Нецентральное распределение хи-квадрат
• Распределение хи-квадрат

Внешние ссылки

• Дэвис, РБ: Исходный код на Фортране и C для «Линейной комбинации случайных величин хи-квадрат»
• Das, A: код MATLAB для вычисления статистики, PDF, CDF, обратного CDF и случайных чисел обобщенного распределения хи-квадрат.