Рыночная модель ЛИБОР

Рыночная модель LIBOR , также известная как Модель BGM ( Brace Gatarek Musiela Model , по именам некоторых изобретателей) представляет собой финансовую модель процентных ставок . Он используется для ценообразования процентных деривативов , особенно экзотических деривативов, таких как бермудские свопы, храповые верхние и нижние пределы, целевые облигации погашения, автокапсы, свопы с нулевым купоном, свопы с постоянным сроком погашения и опционы на спред, среди многих других. Моделируемые количества, а не краткосрочные ставки или мгновенные форвардные ставки (как в системе Хита – Джарроу – Мортона ), представляют собой набор форвардных ставок (также называемых форвардными ставками LIBOR ), которые имеют то преимущество, что их можно непосредственно наблюдать на рынке. , и чьи волатильности естественным образом связаны с торгуемыми контрактами. Каждая форвардная ставка моделируется логарифмически нормальным процессом с учетом ее форвардной меры , т.е. модели Блэка, ведущей к формуле Блэка для пределов процентных ставок . Эта формула является рыночным стандартом для определения предельных цен с точки зрения подразумеваемой волатильности, отсюда и термин «рыночная модель». Рыночную модель LIBOR можно интерпретировать как совокупность форвардной динамики LIBOR для различных форвардных ставок с охватывающими сроками и сроками погашения, при этом каждая форвардная ставка соответствует формуле каплетной процентной ставки Блэка для ее канонического срока погашения. Можно записать динамику разных тарифов при едином ценообразовании. мера , например, форвардная мера для привилегированного единственного срока погашения, и в этом случае форвардные ставки не будут логарифмически нормальными при уникальной мере в целом, что приводит к необходимости использования численных методов, таких как моделирование Монте-Карло , или приближений, таких как предположение о замороженном дрейфе.

Модель динамическая

Рынок LIBOR моделирует набор $n$ форвардные ставки $L_{j}$, $j=1,\ldots ,n$ как логнормальные процессы. В рамках соответствующего $T_{j}$ -Вперед мера $Q_{T_{j+1}}$$$dL_{j}(t)=\mu _{j}(t)L_{j}(t)dt+\sigma _{j}(t)L_{j}(t)dW^{Q_{T_{j+1}}}(t).$$Здесь мы можем считать, что $\mu _{j}(t)=0,\forall t$ (центрированный процесс).Здесь, $L_{j}$ форвардный курс за период $[T_{j},T_{j+1}]$. Для каждого отдельного форвардного курса модель соответствует модели Блэка.

Новизна заключается в том, что, в отличие от модели Блэка , рыночная модель LIBOR описывает динамику целого семейства форвардных ставок при едином показателе. Теперь вопрос в том, как переключаться между различными $T$-Прогрессивные меры.С помощью многомерной теоремы Гирсанова можно показать что $$dW^{Q_{T_{j}}}(t)={\begin{cases}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\end{cases}}$$и $$dL_{j}(t)={\begin{cases}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\\\end{cases}}$$

Литература

• Брейс А., Гатарек Д. и Мусиела М. (1997): «Рыночная модель динамики процентных ставок», Mathematical Finance, 7 (2), 127–154.
• Милтерсен К., Сандманн К. и Сондерманн Д. (1997): «Решения в закрытой форме для производных временной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками», Journal of Finance, 52(1), 409-430.
• Вернц, Дж. (2020): «Банковское управление и контроль», Springer Nature, 85–88.

Внешние ссылки

• Java-апплеты для ценообразования по рыночной модели LIBOR и методам Монте-Карло
• Исходный код Java и электронная таблица рыночной модели LIBOR, включая калибровку для обмена и оценки продукта.
• Конспект лекций Дамиано Бриго о модели рынка LIBOR для курса с фиксированным доходом Университета Боккони