Градиентная теорема

Теорема о градиенте , также известная как фундаментальная теорема исчисления линейных интегралов , гласит, что линейный интеграл через поле градиента может быть вычислен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой. Теорема является обобщением второй фундаментальной теоремы исчисления на любую кривую на плоскости или в пространстве (обычно n -мерном), а не только на действительную линию.

Если $φ : U \subseteq R н \to R$ — дифференцируемая функция , а $γ$ кривая — дифференцируемая в $U$ , которая начинается в точке $p$ и заканчивается в точке $q$ , тогда

$\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$

где $\nabla φ$ обозначает векторное поле градиента $φ$ .

Теорема о градиенте подразумевает, что линейные интегралы через градиентные поля не зависят от пути . В физике эта теорема является одним из способов определения консервативной силы . Помещая $φ$ как потенциал, $\nabla φ$ является консервативным полем . Как показывает приведенное выше уравнение, работа, совершаемая консервативными силами, не зависит от пути, по которому движется объект, а только от конечных точек.

Теорема о градиенте также имеет интересный обратный вариант: любое независимое от пути векторное поле можно выразить как градиент скалярного поля . Как и сама теорема о градиенте, это обращение имеет множество поразительных следствий и применений как в чистой, так и в прикладной математике.

Доказательство

Если $φ$ — дифференцируемая функция из некоторого открытого подмножества $U \subseteq R н$ к $R$ и $r$ является дифференцируемой функцией от некоторого замкнутого интервала $[a, b]$ до $U$ (Обратите внимание, что $r$ дифференцируема в конечных точках интервала $a$ и $b$ . Для этого $r$ определяется на интервале, который больше и включает $[a, b]$ .), то по правилу многомерной цепочки φ сложная функция $\circ r дифференцируема$ на $[a, b]$ :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

для всех $t$ в $[a, b]$ . Здесь $\cdot$ обозначает обычное скалярное произведение .

Теперь предположим, что область $U$ функции $φ$ содержит дифференцируемую кривую $γ$ с концами $p$ и $q$ . (Она ориентирована в направлении от $p$ к $q$ ). Если $r$ параметризует $γ$ для $t$ в $[a, b]$ (т. е. $r$ представляет $γ$ как функцию от $t$ ), то

${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}$

где определение линейного интеграла используется в первом равенстве, приведенное выше уравнение используется во втором равенстве, а вторая фундаментальная теорема исчисления используется в третьем равенстве. ^[1]

Даже если теорема о градиенте (также называемая фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов ) до сих пор была доказана для дифференцируемой (так называемой гладкой) кривой, эта теорема доказывается и для кусочно-гладкой кривой, поскольку эта кривая получается путем соединения несколько дифференцируемых кривых, поэтому доказательство для этой кривой осуществляется путем доказательства для каждого компонента дифференцируемой кривой. ^[2]

Примеры

Пример 1

Предположим, $γ \subset R 2$ — дуга окружности, ориентированная против часовой стрелки от $(5, 0)$ до $(-4, 3)$ . Используя определение линейного интеграла ,

${\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}$

Этот результат можно получить гораздо проще, заметив, что функция $f(x,y)=xy$ имеет градиент $\nabla f(x,y)=(y,x)$ , поэтому по градиентной теореме:

$\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$

Пример 2

В качестве более абстрактного примера предположим, что $γ \subset R н$ имеет концы $p$ , $q$ , с ориентацией от $p$ до $q$ . Для $тебя$ в $Р н$ , пусть $| ты |$ обозначаем евклидову u $.$ норму Если $α \geq 1$ — действительное число, то

${\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}$

Здесь окончательное равенство следует из градиентной теоремы, поскольку функция $f (x) = | х | +1 $ дифференцируема на $R н$ если $α \geq 1$ .

Если $α < 1$ , то это равенство по-прежнему будет выполняться в большинстве случаев, но необходимо соблюдать осторожность, если γ проходит через начало координат или замыкает его, поскольку векторное поле подынтегральной функции $| х | а - 1 x$ там не будет определен. Однако случай $α = -1$ несколько иной; в этом случае подынтегральная функция становится $| х | -2 x = \nabla(log | x |)$ , так что окончательное равенство становится $log | д | - журнал | р |$ .

Обратите внимание: если $n = 1$ , то этот пример представляет собой просто небольшой вариант знакомого правила степени из исчисления с одной переменной.

Пример 3

Предположим, что имеется $n$ точечных зарядов, расположенных в трехмерном пространстве, и $i$ -й точечный заряд имеет заряд $Q i$ находится в позиции $pi и$ в $R. 3$ . Мы хотели бы вычислить работу , совершаемую частицей с зарядом $q$ при ее перемещении из точки $a$ в точку $b$ в $R. 3$ . Используя закон Кулона , мы легко можем определить, что сила , действующая на частицу в положении $r,$ будет равна

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}$

Здесь $| ты |$ обозначает евклидову норму вектора $u$ в $R 3$ , и $k = 1/(4 πε 0)$ , где $ε 0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Пусть $γ \subset R 3 - {p 1, ..., p n}$ — произвольная дифференцируемая кривая от $a$ до $b$ . Тогда работа, совершенная над частицей, равна

$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)$

Теперь для каждого $i$ прямые вычисления показывают, что

${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.$

Таким образом, продолжая вышеизложенное и используя теорему о градиенте,

$W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)$

Мы закончили. Конечно, мы могли бы легко завершить этот расчет, используя мощный язык электростатического потенциала или электростатической потенциальной энергии (с помощью знакомых формул $W = -Δ U = - q Δ V$ ). Однако мы еще не определили потенциал или потенциальную энергию, поскольку обращение теоремы о градиенте требуется для доказательства того, что это четко определенные дифференцируемые функции и что эти формулы выполняются ( см. ниже ). Таким образом, мы решили эту проблему, используя только закон Кулона, определение работы и теорему о градиенте.

Обращение градиентной теоремы

Теорема о градиенте утверждает, что если векторное поле $F$ является градиентом некоторой скалярной функции (т. е. если $)$ , F консервативно то $F$ является векторным полем, независимым от пути (т. е. интегралом $F$ по некоторой кусочно-дифференцируемой кривой). зависит только от конечных точек). Эта теорема имеет мощное обратное:

Теорема . Если $F$ — векторное поле, не зависящее от пути, то $F$ — градиент некоторой скалярной функции. ^[3]

Несложно показать, что векторное поле не зависит от пути тогда и только тогда, когда интеграл векторного поля по каждому замкнутому контуру в его области определения равен нулю. Таким образом, обратное можно альтернативно сформулировать следующим образом: если интеграл от $F$ по каждому замкнутому контуру в области определения $F$ равен нулю, то $F$ является градиентом некоторой скалярной функции.

Доказательство обратного

Предположим, что $U$ — открытое , связное по путям . подмножество $R н$ и $F : U \to R н$ представляет собой непрерывное и независимое от пути векторное поле. Зафиксируйте некоторый элемент $a$ из $U$ и определите $f : U \to R$ по формуле $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ Здесь $γ [a, x]$ — любая (дифференцируемая) кривая в $U,$ начинающаяся в точке $a$ и заканчивающаяся в точке $x$ . Мы знаем, что $f$ поскольку корректно определен, F $не$ зависит от пути.

Пусть $v —$ любой ненулевой вектор из $R н$ . По определению производной по направлению , ${\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}$ Чтобы вычислить интеграл в конечном пределе, мы должны параметризовать $γ [x, x + t v]$ . Поскольку $F$ не зависит от пути, $U$ открыт, а $t$ приближается к нулю, мы можем предположить, что этот путь представляет собой прямую линию, и параметризовать его как $u (s) = x + s v$ для $0 < s < t$ . Теперь, поскольку $u' (s) = v$ , предел становится $\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ где первое равенство взято из определения производной с учетом того, что интеграл равен 0 при $t$ = 0, а второе равенство взято из первой фундаментальной теоремы исчисления . Таким образом, у нас есть формула для $\partial v f$ (один из способов представления производной по направлению ), где $v$ произвольно; для $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ (см. его полное определение выше), его производная по направлению относительно $v$ равна ${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ где первые два равенства просто показывают разные представления производной по направлению. Согласно определению градиента скалярной функции $f$ , $\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ , таким образом, мы нашли скалярную функцию $f$ , градиент которой является независимым от пути векторным полем $F$ (т. е. $F$ является консервативным векторным полем), как и хотелось. ^[3]

Пример обратного принципа

Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приведем пример, имеющий важные физические последствия. В классическом электромагнетизме электрическая сила не зависит от пути; т.е. работа , совершенная над частицей, которая вернулась в исходное положение в электрическом поле, равна нулю (при условии отсутствия изменяющихся магнитных полей ).

Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что электрическое силовое поле $F e : S \to R 3$ консервативен (здесь $S$ — некоторое открытое , линейно связное подмножество $R 3$ содержащий распределение заряда ). Следуя идеям приведенного выше доказательства, мы можем установить некоторую опорную точку $a$ в $S$ и определить функцию $U e : S \to R$ по формуле

$U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$

Используя приведенное выше доказательство, мы знаем, $что U e$ четко определена и дифференцируема, а $F e = -\nabla U e$ (из этой формулы мы можем использовать градиентную теорему, чтобы легко вывести известную формулу для расчета работы, совершаемой консервативными силами: $W = -Δ U$ ). Эту функцию $U e$ часто называют электростатической потенциальной энергией системы зарядов в $S$ (относительно нуля потенциала $a$ ). Во многих случаях область $S$ предполагается неограниченной , а опорная точка $a$ принимается равной «бесконечности», что можно сделать строгим, используя методы ограничения. Эта функция $U e$ является незаменимым инструментом, используемым при анализе многих физических систем.

Обобщения

Многие критические теоремы векторного исчисления элегантно обобщаются на утверждения об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях . На языке дифференциальных форм и внешних производных градиентная теорема утверждает, что

$\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$

для любой 0-формы , $φ$ , определенной на некоторой дифференцируемой кривой $γ \subset R н$ (здесь под интегралом от $φ$ по границе $γ$ понимается оценка $φ$ на концах γ ).

Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной теоремой Стокса , которая гласит, что интеграл любой компактной дифференциальной формы $ω$ по границе некоторого ориентируемого многообразия $Ω$ равен интегралу от ее внешней производной $d ω$ по всему $Ω.$ , то есть,

$\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega$

Это мощное утверждение является обобщением теоремы о градиенте от 1-форм, определенных на одномерных многообразиях, до дифференциальных форм, определенных на многообразиях произвольной размерности.

Обратная формулировка градиентной теоремы также имеет мощное обобщение в терминах дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим, что $ω$ — форма, определенная на стягиваемой области , и интеграл от $ω$ по любому замкнутому многообразию равен нулю. Тогда существует форма $ψ$ такая, что $ω = d ψ$ . Таким образом, в стягиваемой области каждая замкнутая форма точна . Этот результат резюмируется леммой Пуанкаре .

См. также

Ссылки

^ Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание, с. 374. Пирсон Эдьюкейшн, Инк.
^ Стюарт, Джеймс (2021). «16.3 Основная теорема для линейных интегралов». Исчисление (9-е изд.). Cengage Обучение. стр. 1182–1185. ISBN 978-1-337-62418-3 .
^ Jump up to: ^а ^б «Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание , стр. 410. Pearson Education, Inc.»

[1] Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание, с. 374. Пирсон Эдьюкейшн, Инк.

[2] Стюарт, Джеймс (2021). «16.3 Основная теорема для линейных интегралов». Исчисление (9-е изд.). Cengage Обучение. стр. 1182–1185. ISBN 978-1-337-62418-3 .

[wt-3] Jump up to: ^а ^б «Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание , стр. 410. Pearson Education, Inc.»

[1]

[2]

[3]