Chernoff's distribution

В теории вероятности распределение Черноффа , названное в честь Германа Черноффа , является распределением вероятности случайной величины

$Z={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-s^{2}),$

где W- «двухсторонний» процесс винера (или двухстороннее « Браунское движение »), удовлетворяющий w (0) = 0. Если

$V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-c(s-a)^{2}),$

Тогда v (0, c ) имеет плотность

$f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)$

где G _C имеет преобразование Фурье, данное

${\hat {g}}_{c}(s)={\frac {(2/c)^{1/3}}{\operatorname {Ai} (i(2c^{2})^{-1/3}s)}},\ \ \ s\in \mathbf {R}$

и где ИИ является воздушной функцией . Таким образом, F _C является симметричным около 0, а плотность ƒ _z = ƒ ₁ . Groeneboom (1989) показывает это

$f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3}|z|}{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}|z|^{3}+2^{1/3}{\tilde {a}}_{1}|z|\right){\text{ as }}z\rightarrow \infty$

где ${\tilde {a}}_{1}\approx -2.3381$ является крупнейшим нолью AI -AI FUNCAND AI и где $\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})\approx 0.7022$Полем В той же статье Groeneboom также дает анализ процесса $\{V(a,1):a\in \mathbf {R} \}$Полем Связь со статистической проблемой оценки монотонной плотности обсуждается в Groeneboom (1985). В настоящее время известно, что распределение Chernoff появляется в широком спектре монотонных проблем, включая изотоническую регрессию .

Распределение Чернофф не следует путать с геометрическим распределением Чернофф. (называется точкой Чернофф в геометрии информации), вызванная информацией Чернофф.

История

Groeneboom, Lalley и Temme Укажите, что первое расследование этого распределения, вероятно, было Чернофф в 1964 году, изучал поведение определенной оценки режима . кто В своей статье Чернофф охарактеризовал распределение посредством аналитического представления через тепловое уравнение с подходящими граничными условиями . Однако первоначальные попытки аппроксимирования распределения Черноффа путем решения уравнения теплового уравнения не достигли удовлетворительной точности из -за характера граничных условий. Вычисление распределения рассматривается, например, в Groeneboom and Wellner (2001).

Соединение распределения Черноффа с воздушными функциями также было найдено независимо от Дэниелса и Скирма и Темму, Как цитируется в Groeneboom, Lalley и Temme. Эти две статьи, наряду с Groeneboom (1989), были написаны в 1984 году.