Jump to content

Твин Прайм

(Перенаправлено с простых пар )

Простое число-близнец — это простое число , которое на 2 меньше или на 2 больше, чем другое простое число, например любой член пары простых чисел-близнецов (17, 19) или (41, 43) . Другими словами, простое число-близнец — это простое число, у которого разница между простыми числами равна двум. Иногда термин « простые числа-близнецы» используется для обозначения пары простых чисел-близнецов; альтернативное название для этого — простой близнец или простая пара .

Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере того, как изучаются большие диапазоны, в соответствии с общей тенденцией промежутков между соседними простыми числами становиться больше по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза простых чисел-близнецов ) или существует наибольшая пара. Прорыв [1] Работа Итана Чжана в 2013 году, а также работа Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и других позволили добиться существенного прогресса в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время эта проблема остается нерешенной. [2]

Нерешенная задача по математике :
Существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов?

Характеристики

[ редактировать ]

Обычно пара (2, 3) не считается парой простых чисел-близнецов. [3] Поскольку 2 — единственное четное простое число, эта пара — единственная пара простых чисел, отличающихся на единицу; таким образом, простые числа-близнецы расположены как можно ближе к любым другим простым числам.

Первые несколько пар простых чисел-близнецов

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 , 103), (107, 109), (137, 139), ... OEIS : A077800 .

Пять — единственное простое число, принадлежащее двум парам, поскольку каждая пара простых чисел-близнецов больше (3, 5) имеет вид для некоторого натурального числа n ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. [4] В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12.

Теорема Брюна

[ редактировать ]

В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных чисел-близнецов сходится . [5] Этот знаменитый результат, названный теоремой Брюна , был первым применением сита Брюна и помог положить начало развитию современной теории сита . Современную версию аргумента Брюна можно использовать, чтобы показать, что число простых чисел-близнецов меньше N не превышает

для некоторой абсолютной константы C > 0. [6] Фактически, оно ограничено сверху где константа простого числа близнецов (чуть меньше 2/3), приведенная ниже . [7]

Гипотеза о простых числах-близнецах

[ редактировать ]

Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, был одним из величайших открытых вопросов в теории чисел на протяжении многих лет . В этом состоит содержание гипотезы о простых числах-близнецах , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 также является простым. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу о том, что для каждого натурального числа k существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 k также является простым. [8] Случай . k = 1 гипотезы де Полиньяка - это гипотеза о простых числах-близнецах

Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди-Литтлвуда (см. ниже), постулирует закон распределения простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах .

17 апреля 2013 года Итан Чжан объявил о доказательстве того, что для некоторого целого числа N , меньшего 70 миллионов, существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на N . [9] Статья Чжана была принята в начале мая 2013 года. [10] Впоследствии Теренс Тао предложил совместную работу над проектом Polymath Project по оптимизации границы Чжана. [11]

По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после заявления Чжана, это количество было сокращено до 246. [12] Эти улучшенные границы были обнаружены с использованием другого подхода, который был проще, чем подход Чжана, и был открыт независимо Джеймсом Мейнардом и Теренсом Тао . Этот второй подход также дал границы для наименьшего f ( m ), необходимые для того, чтобы гарантировать, что бесконечно много интервалов ширины f ( m ) содержат по крайней мере m простых чисел. Более того (см. также следующий раздел), предполагая гипотезу Эллиотта – Хальберштама и ее обобщенную форму, вики-сайт Polymath Project утверждает, что оценка равна 12 и 6 соответственно. [12]

Усиление гипотезы Гольдбаха , если оно будет доказано, также докажет существование бесконечного числа простых чисел-близнецов, а также существование нулей Зигеля .

Другие теоремы, более слабые, чем гипотеза о простых числах-близнецах.

[ редактировать ]

В 1940 году Пол Эрдеш показал, что существует константа c < 1 и бесконечное число простых чисел p таких, что p ′ − p < c ln p , где p′ обозначает следующее простое число после p . Это означает, что мы можем найти бесконечное множество интервалов, содержащих два простых числа ( p , p ′) , если мы позволяем этим интервалам медленно увеличиваться в размерах по мере перехода к все большим и большим простым числам. Здесь «расти медленно» означает, что длина этих интервалов может расти логарифмически . Этот результат последовательно улучшался; в 1986 году Хельмут Майер константу c <0,25 показал, что можно использовать . В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константу можно улучшить до c = 0,085786... . В 2005 году Голдстон , Пинц и Йылдырым установили, что c можно выбрать сколь угодно малым: [13] [14] т.е.

С другой стороны, этот результат не исключает того, что интервалов, содержащих два простых числа, не может быть бесконечно много, если мы позволяем интервалам только увеличиваться в размерах, как, например, c ln ln p .

Приняв гипотезу Эллиотта-Хальберштама или несколько более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много n таких, что по крайней мере два из n , n + 2 , n + 6 , n + 8 , n + 12 , n + 18 или n + 20 — простые числа. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечного числа n по крайней мере два из n , n + 2 , n + 4 и n + 6 являются простыми.

Результат Итан Чжана ,

является значительным улучшением результата Голдстона – Грэма – Пинца – Йылдырыма. Оптимизация границы Чжана в рамках проекта Polymath и работа Мейнарда уменьшили границу: нижний предел не превышает 246. [15] [16]

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда

[ редактировать ]

Первая гипотеза Харди-Литтлвуда (названная в честь Г.Х. Харди и Джона Литтлвуда ) представляет собой обобщение гипотезы о простых числах-близнецах. Он касается распределения простых созвездий , включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах . Пусть обозначает количество простых чисел p x таких, что p + 2 также является простым. Определим константу простого близнеца C 2 как [17] (Здесь произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3. ) Тогда частным случаем первой гипотезы Харди-Литтлвуда является то, что в том смысле, что частное двух выражений стремится к 1, когда x приближается к бесконечности. [6] (Второе ~ не является частью гипотезы и доказывается интегрированием по частям .)

Гипотезу можно обосновать (но не доказать), если предположить, что описывает функцию плотности простого распределения. Это предположение, предложенное теоремой о простых числах, подразумевает гипотезу о простых числах-близнецах, как показано в формуле для выше.

Полностью общая первая гипотеза Харди–Литтлвуда о простых k -наборах (здесь не приводится) означает, что вторая гипотеза Харди–Литтлвуда неверна.

Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона .

Гипотеза Полиньяка

[ редактировать ]

Гипотеза Полиньяка 1849 года гласит, что для каждого положительного четного числа k существует бесконечно много последовательных пар простых чисел p и p' таких, что p ' - p = k (т.е. существует бесконечно много простых пробелов размера k ). Случай k = 2 представляет собой гипотезу о простых числах-близнецах . Гипотеза еще не доказана и не опровергнута ни для какого конкретного значения k , но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (на данный момент неизвестного) значения k . Действительно, если бы такого k не существовало, то для любого положительного четного натурального числа N существует не более чем конечное число n таких, что для всех m < N и, следовательно, для достаточно большого n имеем что противоречило бы результату Чжана. [8]

Большие простые числа-близнецы

[ редактировать ]

Начиная с 2007 года, два распределенных вычислений проекта , Twin Prime Search и PrimeGrid , создали несколько рекордных по величине простых чисел-близнецов. По состоянию на август 2022 г. , на данный момент самая большая известная пара простых чисел-близнецов равна 2996863034895 × 2. 1290000 ± 1 , [18] с 388 342 десятичными цифрами. Его обнаружили в сентябре 2016 года. [19]

Существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов ниже 10. 18 . [20] [21]

Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 × 10. 15 показывает, что если число таких пар меньше x равно f ( x ) · x /(log x ) 2 тогда f ( x ) составляет около 1,7 для малых x и уменьшается примерно до 1,3 по мере того, как x стремится к бесконечности. предельное значение f ( x ) равно удвоенной константе простых чисел-близнецов ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна Согласно гипотезе Харди-Литтлвуда, ).

Другие элементарные свойства

[ редактировать ]

Каждое третье нечетное число делится на 3, и поэтому никакие три последовательных нечетных числа не могут быть простыми, если только одно из них не равно 3. Таким образом, пять — единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Младший член пары по определению является простым числом Чена .

Это было доказано [22] что пара ( m , m + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда

Если m −4 или m +6 также простое число, то эти три простых числа называются тройкой простых чисел .

Для пары простых чисел-близнецов вида (6 n - 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n > 1 n должно заканчиваться цифрой 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ). .

Изолированное простое число

[ редактировать ]

Изолированное простое число (также известное как простое простое число или простое число, не являющееся близнецом ) — это такое простое число p , что ни p − 2, ни p + 2 не являются простыми. Другими словами, p не является частью пары простых чисел-близнецов. Например, 23 — изолированное простое число, поскольку 21 и 25 — составные .

Первые несколько изолированных простых чисел

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510 .

следует Из теоремы Брюна , что почти все простые числа изолированы в том смысле, чтоотношение количества изолированных простых чисел меньше заданного порога n к числу всех простых чисел меньше n стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Томас, Келли Дивайн (лето 2014 г.). «Захватывающее математическое путешествие Итан Чжана» . Письмо института . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований – через ias.edu.
  2. ^ Тао, Терри, доктор философии. (ведущий) (7 октября 2014 г.). Маленькие и большие промежутки между простыми числами (видеолекция). Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе – через YouTube. Департамент математики
  3. ^ «Первые 100 000 простых чисел-близнецов (только первый член пары)» (обычный текст) . Списки. Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
  4. ^ Колдуэлл, Крис К. «Все ли простые числа (прошлые 2 и 3) имеют формы 6 n +1 и 6 n −1 . Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин . Проверено 27 сентября 2018 г.
  5. ^ Брун, В. (1915). «О правиле Гольдбаха и количестве пар простых чисел». Архив математики и Naturvidenskab (на немецком языке). 34 (8): 3–19. ISSN   0365-4524 . ЯФМ   45.0330.16 .
  6. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004). Аналитическая теория чисел . Всемирная научная. стр. 313 и 334–335. ISBN  981-256-080-7 . Збл   1074.11001 .
  7. ^ Хальберштам, Хейни; Рихерт, Ханс-Эгон (2010). Ситовые методы . Дуврские публикации. п. 117.
  8. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б де Полиньяк, А. (1849). «Новые исследования простых чисел» . Отчеты (на французском языке). 29 : 397–401. [Из стр. 400] "1 является Теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел бесконечным числом способов ...
  9. ^ Макки, Мэгги (14 мая 2013 г.). «Первое доказательство того, что бесконечно много простых чисел образуют пары» . Природа . дои : 10.1038/nature.2013.12989 . ISSN   0028-0836 .
  10. ^ Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. дои : 10.4007/анналы.2014.179.3.7 . МР   3171761 .
  11. ^ Тао, Теренс (4 июня 2013 г.). «Предложение Полимата: ограниченные промежутки между простыми числами» .
  12. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Полимат (michaelnielsen.org) . Проверено 27 марта 2014 г.
  13. ^ Голдстон, Дэниел Алан ; Мотохаси, Йоичи; Пинц, Янош ; Йылдырым, Джем Ялчин (2006). «Существуют небольшие промежутки между простыми числами» . Японская академия. Слушания . Серия А. Математические науки. 82 (4): 61–65. arXiv : math.NT/0505300 . дои : 10.3792/pjaa.82.61 . МР   2222213 . S2CID   18847478 .
  14. ^ Голдстон, Вашингтон ; Грэм, Юго-Запад; Пинц, Дж .; Йылдырым, CY (2009). «Небольшие промежутки между простыми или почти простыми числами». Труды Американского математического общества . 361 (10): 5285–5330. arXiv : math.NT/0506067 . дои : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6 . МР   2515812 . S2CID   12127823 .
  15. ^ Мейнард, Джеймс (2015). «Малые промежутки между простыми числами». Анналы математики . Вторая серия. 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . дои : 10.4007/анналы.2015.181.1.7 . МР   3272929 . S2CID   55175056 .
  16. ^ Полимат, DHJ (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие множество простых чисел» . Исследования в области математических наук . 1 . искусство 12, 83. arXiv : 1407.4897 . дои : 10.1186/s40687-014-0012-7 . МР   3373710 .
  17. ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005597 (Десятичное разложение константы простого числа-близнеца)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 ноября 2019 г.
  18. ^ Колдуэлл, Крис К. » 2996863034895 × 2 1290000 − 1 " . База данных Prime . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
  19. ^ «Найдены мировые рекорды простых чисел-близнецов!» . primegrid.com . 20 сентября 2016 г.
  20. ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007508 (количество пар простых чисел-близнецов менее 10 н . Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 01.11.2019 .
  21. ^ Оливейра и Силва, Томас (7 апреля 2008 г.). Таблицы значений π ( x ) и π2 x ( « ) » . Университет Авейру . Проверено 7 января 2011 г.
  22. ^ П. А. Клемент (1949). «Сравнения множеств простых чисел». Американский математический ежемесячник . 56 : 23–25. дои : 10.2307/2305816 . JSTOR   2305816 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3bc427e648a70c6aec9068367dafaafe__1714934580
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3b/fe/3bc427e648a70c6aec9068367dafaafe.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Twin prime - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)