Твин Прайм
Простое число-близнец — это простое число , которое на 2 меньше или на 2 больше, чем другое простое число, например любой член пары простых чисел-близнецов (17, 19) или (41, 43) . Другими словами, простое число-близнец — это простое число, у которого разница между простыми числами равна двум. Иногда термин « простые числа-близнецы» используется для обозначения пары простых чисел-близнецов; альтернативное название для этого — простой близнец или простая пара .
Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере того, как изучаются большие диапазоны, в соответствии с общей тенденцией промежутков между соседними простыми числами становиться больше по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза простых чисел-близнецов ) или существует наибольшая пара. Прорыв [1] Работа Итана Чжана в 2013 году, а также работа Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и других позволили добиться существенного прогресса в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время эта проблема остается нерешенной. [2]
Характеристики
[ редактировать ]Обычно пара (2, 3) не считается парой простых чисел-близнецов. [3] Поскольку 2 — единственное четное простое число, эта пара — единственная пара простых чисел, отличающихся на единицу; таким образом, простые числа-близнецы расположены как можно ближе к любым другим простым числам.
Первые несколько пар простых чисел-близнецов
- (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 , 103), (107, 109), (137, 139), ... OEIS : A077800 .
Пять — единственное простое число, принадлежащее двум парам, поскольку каждая пара простых чисел-близнецов больше (3, 5) имеет вид для некоторого натурального числа n ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. [4] В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12.
Теорема Брюна
[ редактировать ]В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных чисел-близнецов сходится . [5] Этот знаменитый результат, названный теоремой Брюна , был первым применением сита Брюна и помог положить начало развитию современной теории сита . Современную версию аргумента Брюна можно использовать, чтобы показать, что число простых чисел-близнецов меньше N не превышает
для некоторой абсолютной константы C > 0. [6] Фактически, оно ограничено сверху где — константа простого числа близнецов (чуть меньше 2/3), приведенная ниже . [7]
Гипотеза о простых числах-близнецах
[ редактировать ]Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, был одним из величайших открытых вопросов в теории чисел на протяжении многих лет . В этом состоит содержание гипотезы о простых числах-близнецах , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 также является простым. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу о том, что для каждого натурального числа k существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 k также является простым. [8] Случай . k = 1 гипотезы де Полиньяка - это гипотеза о простых числах-близнецах
Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди-Литтлвуда (см. ниже), постулирует закон распределения простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах .
17 апреля 2013 года Итан Чжан объявил о доказательстве того, что для некоторого целого числа N , меньшего 70 миллионов, существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на N . [9] Статья Чжана была принята в начале мая 2013 года. [10] Впоследствии Теренс Тао предложил совместную работу над проектом Polymath Project по оптимизации границы Чжана. [11]
По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после заявления Чжана, это количество было сокращено до 246. [12] Эти улучшенные границы были обнаружены с использованием другого подхода, который был проще, чем подход Чжана, и был открыт независимо Джеймсом Мейнардом и Теренсом Тао . Этот второй подход также дал границы для наименьшего f ( m ), необходимые для того, чтобы гарантировать, что бесконечно много интервалов ширины f ( m ) содержат по крайней мере m простых чисел. Более того (см. также следующий раздел), предполагая гипотезу Эллиотта – Хальберштама и ее обобщенную форму, вики-сайт Polymath Project утверждает, что оценка равна 12 и 6 соответственно. [12]
Усиление гипотезы Гольдбаха , если оно будет доказано, также докажет существование бесконечного числа простых чисел-близнецов, а также существование нулей Зигеля .
Другие теоремы, более слабые, чем гипотеза о простых числах-близнецах.
[ редактировать ]В 1940 году Пол Эрдеш показал, что существует константа c < 1 и бесконечное число простых чисел p таких, что p ′ − p < c ln p , где p′ обозначает следующее простое число после p . Это означает, что мы можем найти бесконечное множество интервалов, содержащих два простых числа ( p , p ′) , если мы позволяем этим интервалам медленно увеличиваться в размерах по мере перехода к все большим и большим простым числам. Здесь «расти медленно» означает, что длина этих интервалов может расти логарифмически . Этот результат последовательно улучшался; в 1986 году Хельмут Майер константу c <0,25 показал, что можно использовать . В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константу можно улучшить до c = 0,085786... . В 2005 году Голдстон , Пинц и Йылдырым установили, что c можно выбрать сколь угодно малым: [13] [14] т.е.
С другой стороны, этот результат не исключает того, что интервалов, содержащих два простых числа, не может быть бесконечно много, если мы позволяем интервалам только увеличиваться в размерах, как, например, c ln ln p .
Приняв гипотезу Эллиотта-Хальберштама или несколько более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много n таких, что по крайней мере два из n , n + 2 , n + 6 , n + 8 , n + 12 , n + 18 или n + 20 — простые числа. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечного числа n по крайней мере два из n , n + 2 , n + 4 и n + 6 являются простыми.
Результат Итан Чжана ,
является значительным улучшением результата Голдстона – Грэма – Пинца – Йылдырыма. Оптимизация границы Чжана в рамках проекта Polymath и работа Мейнарда уменьшили границу: нижний предел не превышает 246. [15] [16]
Догадки
[ редактировать ]Первая гипотеза Харди – Литтлвуда
[ редактировать ]Первая гипотеза Харди-Литтлвуда (названная в честь Г.Х. Харди и Джона Литтлвуда ) представляет собой обобщение гипотезы о простых числах-близнецах. Он касается распределения простых созвездий , включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах . Пусть обозначает количество простых чисел p ≤ x таких, что p + 2 также является простым. Определим константу простого близнеца C 2 как [17] (Здесь произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3. ) Тогда частным случаем первой гипотезы Харди-Литтлвуда является то, что в том смысле, что частное двух выражений стремится к 1, когда x приближается к бесконечности. [6] (Второе ~ не является частью гипотезы и доказывается интегрированием по частям .)
Гипотезу можно обосновать (но не доказать), если предположить, что описывает функцию плотности простого распределения. Это предположение, предложенное теоремой о простых числах, подразумевает гипотезу о простых числах-близнецах, как показано в формуле для выше.
Полностью общая первая гипотеза Харди–Литтлвуда о простых k -наборах (здесь не приводится) означает, что вторая гипотеза Харди–Литтлвуда неверна.
Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона .
Гипотеза Полиньяка
[ редактировать ]Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( август 2020 г. ) |
Гипотеза Полиньяка 1849 года гласит, что для каждого положительного четного числа k существует бесконечно много последовательных пар простых чисел p и p' таких, что p ' - p = k (т.е. существует бесконечно много простых пробелов размера k ). Случай k = 2 представляет собой гипотезу о простых числах-близнецах . Гипотеза еще не доказана и не опровергнута ни для какого конкретного значения k , но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (на данный момент неизвестного) значения k . Действительно, если бы такого k не существовало, то для любого положительного четного натурального числа N существует не более чем конечное число n таких, что для всех m < N и, следовательно, для достаточно большого n имеем что противоречило бы результату Чжана. [8]
Большие простые числа-близнецы
[ редактировать ]Начиная с 2007 года, два распределенных вычислений проекта , Twin Prime Search и PrimeGrid , создали несколько рекордных по величине простых чисел-близнецов. По состоянию на август 2022 г. [update], на данный момент самая большая известная пара простых чисел-близнецов равна 2996863034895 × 2. 1290000 ± 1 , [18] с 388 342 десятичными цифрами. Его обнаружили в сентябре 2016 года. [19]
Существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов ниже 10. 18 . [20] [21]
Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 × 10. 15 показывает, что если число таких пар меньше x равно f ( x ) · x /(log x ) 2 тогда f ( x ) составляет около 1,7 для малых x и уменьшается примерно до 1,3 по мере того, как x стремится к бесконечности. предельное значение f ( x ) равно удвоенной константе простых чисел-близнецов ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна Согласно гипотезе Харди-Литтлвуда, ).
Другие элементарные свойства
[ редактировать ]Каждое третье нечетное число делится на 3, и поэтому никакие три последовательных нечетных числа не могут быть простыми, если только одно из них не равно 3. Таким образом, пять — единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Младший член пары по определению является простым числом Чена .
Это было доказано [22] что пара ( m , m + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда
Если m −4 или m +6 также простое число, то эти три простых числа называются тройкой простых чисел .
Для пары простых чисел-близнецов вида (6 n - 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n > 1 n должно заканчиваться цифрой 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ). .
Изолированное простое число
[ редактировать ]Изолированное простое число (также известное как простое простое число или простое число, не являющееся близнецом ) — это такое простое число p , что ни p − 2, ни p + 2 не являются простыми. Другими словами, p не является частью пары простых чисел-близнецов. Например, 23 — изолированное простое число, поскольку 21 и 25 — составные .
Первые несколько изолированных простых чисел
следует Из теоремы Брюна , что почти все простые числа изолированы в том смысле, чтоотношение количества изолированных простых чисел меньше заданного порога n к числу всех простых чисел меньше n стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Томас, Келли Дивайн (лето 2014 г.). «Захватывающее математическое путешествие Итан Чжана» . Письмо института . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований – через ias.edu.
- ^ Тао, Терри, доктор философии. (ведущий) (7 октября 2014 г.). Маленькие и большие промежутки между простыми числами (видеолекция). Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе – через YouTube. Департамент математики
- ^ «Первые 100 000 простых чисел-близнецов (только первый член пары)» (обычный текст) . Списки. Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
- ^ Колдуэлл, Крис К. «Все ли простые числа (прошлые 2 и 3) имеют формы 6 n +1 и 6 n −1 ?» . Прайм-страницы (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин . Проверено 27 сентября 2018 г.
- ^ Брун, В. (1915). «О правиле Гольдбаха и количестве пар простых чисел». Архив математики и Naturvidenskab (на немецком языке). 34 (8): 3–19. ISSN 0365-4524 . ЯФМ 45.0330.16 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004). Аналитическая теория чисел . Всемирная научная. стр. 313 и 334–335. ISBN 981-256-080-7 . Збл 1074.11001 .
- ^ Хальберштам, Хейни; Рихерт, Ханс-Эгон (2010). Ситовые методы . Дуврские публикации. п. 117.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б де Полиньяк, А. (1849). «Новые исследования простых чисел» . Отчеты (на французском языке). 29 : 397–401.
[Из стр. 400] "1 является Теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел бесконечным числом способов ...
- ^ Макки, Мэгги (14 мая 2013 г.). «Первое доказательство того, что бесконечно много простых чисел образуют пары» . Природа . дои : 10.1038/nature.2013.12989 . ISSN 0028-0836 .
- ^ Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. дои : 10.4007/анналы.2014.179.3.7 . МР 3171761 .
- ^ Тао, Теренс (4 июня 2013 г.). «Предложение Полимата: ограниченные промежутки между простыми числами» .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Полимат (michaelnielsen.org) . Проверено 27 марта 2014 г.
- ^ Голдстон, Дэниел Алан ; Мотохаси, Йоичи; Пинц, Янош ; Йылдырым, Джем Ялчин (2006). «Существуют небольшие промежутки между простыми числами» . Японская академия. Слушания . Серия А. Математические науки. 82 (4): 61–65. arXiv : math.NT/0505300 . дои : 10.3792/pjaa.82.61 . МР 2222213 . S2CID 18847478 .
- ^ Голдстон, Вашингтон ; Грэм, Юго-Запад; Пинц, Дж .; Йылдырым, CY (2009). «Небольшие промежутки между простыми или почти простыми числами». Труды Американского математического общества . 361 (10): 5285–5330. arXiv : math.NT/0506067 . дои : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6 . МР 2515812 . S2CID 12127823 .
- ^ Мейнард, Джеймс (2015). «Малые промежутки между простыми числами». Анналы математики . Вторая серия. 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . дои : 10.4007/анналы.2015.181.1.7 . МР 3272929 . S2CID 55175056 .
- ^ Полимат, DHJ (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие множество простых чисел» . Исследования в области математических наук . 1 . искусство 12, 83. arXiv : 1407.4897 . дои : 10.1186/s40687-014-0012-7 . МР 3373710 .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005597 (Десятичное разложение константы простого числа-близнеца)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 ноября 2019 г.
- ^ Колдуэлл, Крис К. » 2996863034895 × 2 1290000 − 1 " . База данных Prime . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
- ^ «Найдены мировые рекорды простых чисел-близнецов!» . primegrid.com . 20 сентября 2016 г.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007508 (количество пар простых чисел-близнецов менее 10 н )» . Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 01.11.2019 .
- ^ Оливейра и Силва, Томас (7 апреля 2008 г.). Таблицы значений π ( x ) и π2 x ( « ) » . Университет Авейру . Проверено 7 января 2011 г.
- ^ П. А. Клемент (1949). «Сравнения множеств простых чисел». Американский математический ежемесячник . 56 : 23–25. дои : 10.2307/2305816 . JSTOR 2305816 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Слоан, Нил ; Плуфф, Саймон (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Близнецы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Топ-20 простых чисел-близнецов Криса Колдуэлла на сайте Prime Pages
- Ксавье Гурдон, Паскаль Себа: Введение в простые числа-близнецы и константу Бруна
- «Официальный пресс-релиз» о 58711-значной записи простых чисел-близнецов
- Вайсштейн, Эрик В. «Простые числа-близнецы» . Математический мир .
- 20 000 первых простых чисел-близнецов
- Полиматематика: ограниченные промежутки между простыми числами
- Внезапный прогресс в решении проблемы простых чисел взволновал математиков