Экспоненциально модифицированное распределение Гаусса

ЭМГ

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	µ ∈ R — среднее значение гауссовой компоненты п 2 > 0 — дисперсия гауссовой составляющей λ > 0 — скорость экспоненциальной составляющей
Поддерживать	х € Р
PDF	${\frac {\lambda }{2}}e^{{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$
CDF	$\Phi (x,\mu ,\sigma )-{\frac {1}{2}}e^{{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$ где $\Phi (x,\mu ,\sigma )$ CDF гауссова распределения
Иметь в виду	$\mu +1/\lambda$
Режим	$x_{m}=\mu -\operatorname {sgn} \left(\tau \right){\sqrt {2}}\sigma \operatorname {erfcxinv} \left({\frac {{|}\tau {|}}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{\tau }}$ $f(x_{m})=h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu -x_{m}}{\sigma }}\right)^{2}\right)$
Дисперсия	$\sigma ^{2}+1/\lambda ^{2}$
асимметрия	${\frac {2}{\sigma ^{3}\lambda ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{\sigma ^{2}\lambda ^{2}}}\right)^{-3/2}$
Избыточный эксцесс	${\frac {3(1+{\frac {2}{\sigma ^{2}\lambda ^{2}}}+{\frac {3}{\lambda ^{4}\sigma ^{4}}})}{\left(1+{\frac {1}{\lambda ^{2}\sigma ^{2}}}\right)^{2}}}-3$
МГФ	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,\exp \left(\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)$
CF	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,\exp \left(i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)$

В теории вероятностей экспоненциально модифицированное распределение Гаусса ( ЭМГ , также известное как экс-распределение Гаусса ) описывает сумму независимых нормальных и экспоненциальных случайных величин. Эксгауссова случайная величина Z может быть выражена как Z = X + Y , где X и Y независимы, X является гауссовой со средним значением µ и дисперсией σ. ² , а Y является экспоненциальной скоростью λ . Он имеет характерный положительный перекос от экспоненциальной составляющей.

Его также можно рассматривать как взвешенную функцию смещенной экспоненты, причем вес является функцией нормального распределения.

Определение

Функция плотности вероятности (pdf) экспоненциально модифицированного нормального распределения равна

$f(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {\lambda }{2}}e^{{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),$

где erfc — дополнительная функция ошибок, определенная как

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt.\end{aligned}}$

Эта функция плотности получается путем свертки нормальной и экспоненциальной функций плотности вероятности.

Альтернативные формы вычислений

Альтернативная, но эквивалентная форма распределения ЭМГ используется для описания формы пика в хроматографии . Это следующим образом

$f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\exp \left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}\right)^{2}-{\frac {x-\mu }{\tau }}\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),$ ( 1 )

где

$h$ - амплитуда гауссиана,

$\tau ={\frac {1}{\lambda }}$ – время релаксации показателя, $\tau ^{2}$ представляет собой дисперсию экспоненциальной функции плотности вероятности.

Эту функцию невозможно вычислить для некоторых значений параметров (например, $\tau =0$) из-за арифметического переполнения. Альтернативную, но эквивалентную форму записи функции предложил Делли:

$f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )=h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right){\frac {\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {erfcx} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),$ ( 2 )

где $\operatorname {erfcx} t=\exp t^{2}\cdot \operatorname {erfc} t$ это масштабированная дополнительная функция ошибок

В случае этой формулы возможно и арифметическое переполнение, область переполнения отличается от первой формулы, за исключением очень малых τ.

При малых τ разумно использовать асимптотику второй формулы:

$f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}{1+{\frac {\left(x-\mu \right)\tau }{\sigma ^{2}}}}},$ ( 3 )

Решение об использовании формулы принимается на основании параметра $z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$:

для z < 0 необходимо произвести расчет по первой формуле,

для 0 ≤ z ≤ 6,71·10 ⁷ (в случае формата с плавающей запятой двойной точности ) по второй формуле,

а для z > 6,71·10 ⁷ по третьей формуле.

мода (положение вершины, наиболее вероятное значение) Рассчитывается используя производную формулы 2; обратная масштабированной функции дополнительных ошибок Для расчета используется erfcxinv(). Приблизительные значения также предложены Каламбетом и др. Хотя мода имеет значение выше, чем у исходного гауссиана, вершина всегда расположена на исходном (немодифицированном) гауссиане.

Оценка параметров

Есть три параметра: среднее значение нормального распределения ( μ ), стандартное отклонение нормального распределения ( σ ) и параметр экспоненциального затухания ( τ = 1/ λ ). Форма K = τ / σ также иногда используется для характеристики распределения. В зависимости от значений параметров форма распределения может изменяться от почти нормальной до почти экспоненциальной.

Параметры распределения можно оценить по выборочным данным методом моментов следующим образом:

$m=\mu +\tau ,$

$s^{2}=\sigma ^{2}+\tau ^{2},$

$\gamma _{1}={\frac {2\tau ^{3}}{(\sigma ^{2}+\tau ^{2})^{3/2}}},$

где m — выборочное среднее, s — выборочное стандартное отклонение, а γ ₁ — асимметрия .

Решение этих задач для параметров дает:

${\hat {\mu }}=m-s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3},$

${\hat {\sigma ^{2}}}=s^{2}\left[1-\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{2/3}\right],$

${\hat {\tau }}=s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3}.$

Рекомендации

Рэтклифф предположил, что в выборке должно быть не менее 100 точек данных, прежде чем оценки параметров можно будет считать надежными. Усреднение Винсента можно использовать для выборок меньшего размера, поскольку эта процедура лишь незначительно искажает форму распределения. Эти точечные оценки могут использоваться в качестве начальных значений, которые можно уточнить с помощью более мощных методов, включая оптимизацию методом наименьших квадратов, которая, как было показано, работает в случае мультимодальной экспоненциально модифицированной гауссовой системы (MEMG). Реализация кода с аналитическими производными MEMG и дополнительным термином колебаний для обработки звука выпущена как часть проекта с открытым исходным кодом.

Доверительные интервалы

В настоящее время нет опубликованных таблиц, доступных для проверки значимости с этим распределением. Распределение можно смоделировать путем формирования суммы двух случайных величин, одна из которых получена из нормального распределения, а другая - из экспоненциального.

Перекос

Значение непараметрического перекоса

${\frac {{\text{mean}}-{\text{median}}}{\text{standard deviation}}}$

этого распределения лежит между 0 и 0,31. Нижний предел достигается при доминировании нормальной составляющей, а верхний — при доминировании экспоненциальной составляющей.

возникновение

Распределение используется в качестве теоретической модели формы хроматографических пиков. Он был предложен в качестве статистической модели интермитотического времени в делящихся клетках. Он также используется при моделировании пучков кластерных ионов. Он обычно используется в психологии и других науках о мозге при изучении времени реакции. В небольшом варианте, где среднее значение нормального компонента установлено равным нулю, оно также используется в анализе стохастической границы в качестве одной из спецификаций распределения для составного члена ошибки, который моделирует неэффективность. При обработке сигналов ЭМГ были расширены до мультимодального случая с дополнительным термином колебаний для представления оцифрованных звуковых сигналов.

Связанные дистрибутивы

Это семейство распределений является особым или предельным случаем нормального экспоненциального гамма-распределения . Это также можно рассматривать как трехпараметрическое обобщение нормального распределения для добавления асимметрии; Другое подобное распределение — это асимметричное нормальное распределение с более тонкими хвостами. Распределение представляет собой составное распределение вероятностей , в котором среднее значение нормального распределения изменяется случайным образом как смещенное экспоненциальное распределение .

гауссово минус экспоненциальное распределение. Для моделирования цен опционов было предложено Если такая случайная величина Y имеет параметры µ , σ , λ , то ее отрицательное значение -Y имеет экспоненциально модифицированное гауссово распределение с параметрами -μ , σ , λ , и, таким образом, Y имеет среднее значение $\mu -{\tfrac {1}{\lambda }}$ и дисперсия $\sigma ^{2}+{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}$.