Процесс Чана – Кароли – Лонгстаффа – Сандерса

В математике процесс Чана -Кароли-Лонгстаффа-Сандерса (сокращенно процесс CKLS ) представляет собой стохастический процесс , имеющий приложения для финансирования . В частности, он использовался для моделирования временной структуры процентных ставок . Процесс CKLS также можно рассматривать как обобщение процесса Орнштейна – Уленбека . Он назван в честь К.С. Чана, Дж. Эндрю Кароли, Фрэнсиса А. Лонгстаффа и Энтони Б. Сандерса, их статья была опубликована в 1992 году. ^[1]^[2]

Определение

Процесс CKLS $X_{t}$ определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением :

$dX_{t}=(\alpha +\beta X_{t})dt+\sigma X_{t}^{\gamma }dW_{t}$

где $W_{t}$ обозначает винеровский процесс . Процесс CKLS имеет следующее эквивалентное определение: ^[3]

$dX_{t}=-k(X_{t}-a)dt+\sigma X_{t}^{\gamma }dW_{t}$

Характеристики

CKLS является примером процесса возврата к среднему значению. ^[3]
Момент -производящая функция (МГФ) $X_{t}^{2(1-\gamma )}$ имеет особенность в критический момент, не зависящую от $\gamma$ . Более того, MGF можно записать как MGF модели CIR плюс член, который является решением нелинейного уравнения в частных производных . ^{[ нужна ссылка ]}
Уравнение CKLS имеет единственное траекторное решение. ^[4]
Цай и Ван (2015) вывели центральную предельную теорему и принцип отклонения для модели CKLS при изучении ее асимптотического поведения. ^[4]
CKLS называют однородной во времени моделью, поскольку обычно параметры $\alpha ,\beta ,\sigma ,\gamma$ считаются независимыми от времени. ^[5]
CKLS также называют однофакторной моделью (см. также Факторный анализ ). ^[6]^[7]

Особые случаи

Многие процентных ставок модели и модели с короткими ставками представляют собой частные случаи процесса CKLS, которые можно получить, установив для параметров модели CKLS определенные значения. ^[1]^[7] Во всех случаях $\sigma$ предполагается положительным.

Семейство процессов CKLS с различными параметрическими спецификациями.
Модель/Процесс	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
Мертон	Любой	0	0
Деревня	Любой	Любой	0
CIR или процесс квадратного корня	Любой	Любой	1/2
Дотан	0	0	1
Геометрическое броуновское движение или модель Блэка – Шоулза – Мертона.	0	Любой	1
Бреннан и Шварц	Любой	Любой	1
ЦИР ВР	0	0	3/2
ЕКВ	0	Любой	Любой

Финансовые приложения

Процесс CKLS часто используется для моделирования динамики процентных ставок и ценообразования облигаций , опционов на облигации , ^[8] курсы валют , ^[9] ценные бумаги , ^[10] и другие опционы , деривативы и условные требования . ^[11]^[5] Он также использовался при оценке фиксированного дохода и кредитного риска и сочетался с другими методами временных рядов, такими как модели класса GARCH . ^[12]

Один из вопросов, изучаемых в литературе, заключается в том, как задать параметры модели, в частности параметр эластичности. $\gamma$ . ^[13]^[14] надежная статистика и методы непараметрической оценки . Для измерения параметров модели CKLS использовались ^[6]^[5]

В своей оригинальной статье CKLS утверждала, что эластичность волатильности процентных ставок на основе исторических данных составляет 1,5, и этот результат широко цитируется. Также они показали, что модели с $\gamma \geq 1$ могут моделировать краткосрочные процентные ставки более точно, чем модели с $\gamma <1$ . ^[1]

Более поздние эмпирические исследования Блисса и Смита показали обратное: иногда ниже $\gamma$ значения (например, 0,5) в модели CKLS могут более точно отразить зависимость волатильности по сравнению с более высокими значениями. $\gamma$ ценности. Более того, переопределив период режима, Блисс и Смит показали, что существуют доказательства смены режима в Федеральной резервной системе в период с 1979 по 1982 год. Они нашли доказательства, подтверждающие модель квадратного корня Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR SR), специальную модель случай модели CKLS с $\gamma =1/2$ . ^[15]

Период 1979-1982 годов ознаменовал изменение денежно-кредитной политики Федеральной резервной системы , и это изменение режима часто изучалось в контексте моделей CKLS. ^[6]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Чан, КЦ; Кароли, Г. Эндрю; Лонгстафф, Фрэнсис А.; Сандерс, Энтони Б. (июль 1992 г.). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки» . Журнал финансов . 47 (3): 1209–1227. дои : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .
^ Чан и др. 1992 год .
^ Jump up to: ^а ^б Кокабисаги, Сомайе; Пауэлс, Эрик Дж.; Ван Мёлдер, Катриен; Дорсман, Андре Б. (2 сентября 2018 г.). «Реальны ли эти потрясения? Анализ чувствительности значимости вейвлет-ответа на некоторые процессы CKLS» . Международный журнал финансовых исследований . 6 (3): 76. дои : 10.3390/ijfs6030076 . ISSN 2227-7072 .
^ Jump up to: ^а ^б Цай, Юджие; Ван, Шаочэнь (01 марта 2015 г.). «Центральная предельная теорема и принцип умеренного отклонения для модели CKLS с малым случайным возмущением» . Статистика и вероятностные буквы . 98 : 6–11. дои : 10.1016/j.spl.2014.11.017 . ISSN 0167-7152 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Фань, Цзян, Цзянчэн; Чжоу , Чжэньвэй (2003). зависящие от времени» , Statistica Sinica , 13 ): 965–992 . ( 4 «Модели диффузии , Чжан , .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Делл'Акуила, Росарио; Ронкетти, Эльвезио; Трояни, Фабио (01 мая 2003 г.). «Надежный GMM-анализ моделей краткосрочного процесса» . Журнал эмпирических финансов . 10 (3): 373–397. дои : 10.1016/S0927-5398(02)00050-6 . ISSN 0927-5398 .
^ Jump up to: ^а ^б Ноуман, КБ (сентябрь 1997 г.). «Гауссова оценка однофакторных моделей временной структуры процентных ставок с непрерывным временем» . Журнал финансов . 52 (4): 1695–1706. дои : 10.1111/j.1540-6261.1997.tb01127.x .
^ Тангман, ДЮ; Такур, Н.; Духитрам, К.; Бхурут, М. (01 декабря 2011 г.). «Быстрое приближение цен опционов на облигации по моделям CKLS» . Письма о финансовых исследованиях . 8 (4): 206–212. дои : 10.1016/j.frl.2011.03.002 . ISSN 1544-6123 .
^ Сикора, Гжегож; Михалак, Анна; Беляк, Лукаш; Миста, Павел; Виломанская, Агнешка (01.06.2019). «Стохастическое моделирование курсов обмена валют с новыми методами проверки» . Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 523 : 1202–1215. Бибкод : 2019PhyA..523.1202S . дои : 10.1016/j.physa.2019.04.098 . ISSN 0378-4371 . S2CID 149884892 .
^ Ноуман, К. Бен; Сорвар, Гулам (1 марта 1999 г.). «Ценообразование на ценные бумаги Великобритании и США в рамках модели CKLS. Дальнейшие результаты» . Международное обозрение финансового анализа . 8 (3): 235–245. дои : 10.1016/S1057-5219(99)00019-8 . ISSN 1057-5219 .
^ Диненис, Э.; Аллегретто, В.; Сорвар, Г.; Н, Квадерно; Бароне-адези, Джованни; Диненис, Элиас; Сорвар, Гулам, Оценка производных финансовых инструментов на основе моделей процентных ставок CKLS , CiteSeerX 10.1.1.24.6963
^ Кодейк, Кес Г.; Ниссен, Франсуа ЖА; Шотман, Питер К.; Вольф, Кристиан К.П. (1 апреля 1997 г.). «Пересмотр динамики краткосрочной волатильности процентных ставок» . Обзор финансов . 1 (1): 105–130. дои : 10.1023/А:1009714314989 . ISSN 1572-3097 .
^ Мишура, Юлия; Ральченко Константин; Дегтияр, Елена (01.05.2022). «Оценка параметров модели CKLS путем непрерывных наблюдений» . Статистика и вероятностные буквы . 184 : 109391. arXiv : 2105.13724 . дои : 10.1016/j.spl.2022.109391 . ISSN 0167-7152 . S2CID 235248362 .
^ Ноуман, К. Бен; Сорвар, Гулам (1 сентября 1999 г.). «Оценка условных требований с использованием модели процентных ставок CKLS: анализ Австралии, Японии и Соединенного Королевства» . Финансовые рынки Азиатско-Тихоокеанского региона . 6 (3): 205–219. дои : 10.1023/А:1010013604561 . ISSN 1573-6946 . S2CID 150454155 .
^ Блисс, Роберт Р.; Смит, Дэвид К. (1 марта 1998 г.). «Эластичность волатильности процентных ставок: новый взгляд на Чана, Кароли, Лонгстаффа и Сандерса». ССНР 99894 .

[:5-1] Jump up to: ^а ^б ^с Чан, КЦ; Кароли, Г. Эндрю; Лонгстафф, Фрэнсис А.; Сандерс, Энтони Б. (июль 1992 г.). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки» . Журнал финансов . 47 (3): 1209–1227. дои : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .

[FOOTNOTEChanKarolyiLongstaffSanders1992-2] Чан и др. 1992 год .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Кокабисаги, Сомайе; Пауэлс, Эрик Дж.; Ван Мёлдер, Катриен; Дорсман, Андре Б. (2 сентября 2018 г.). «Реальны ли эти потрясения? Анализ чувствительности значимости вейвлет-ответа на некоторые процессы CKLS» . Международный журнал финансовых исследований . 6 (3): 76. дои : 10.3390/ijfs6030076 . ISSN 2227-7072 .

[:1-4] Jump up to: ^а ^б Цай, Юджие; Ван, Шаочэнь (01 марта 2015 г.). «Центральная предельная теорема и принцип умеренного отклонения для модели CKLS с малым случайным возмущением» . Статистика и вероятностные буквы . 98 : 6–11. дои : 10.1016/j.spl.2014.11.017 . ISSN 0167-7152 .

[:2-5] Jump up to: ^а ^б ^с Фань, Цзян, Цзянчэн; Чжоу , Чжэньвэй (2003). зависящие от времени» , Statistica Sinica , 13 ): 965–992 . ( 4 «Модели диффузии , Чжан , .

[:3-6] Jump up to: ^а ^б ^с Делл'Акуила, Росарио; Ронкетти, Эльвезио; Трояни, Фабио (01 мая 2003 г.). «Надежный GMM-анализ моделей краткосрочного процесса» . Журнал эмпирических финансов . 10 (3): 373–397. дои : 10.1016/S0927-5398(02)00050-6 . ISSN 0927-5398 .

[:4-7] Jump up to: ^а ^б Ноуман, КБ (сентябрь 1997 г.). «Гауссова оценка однофакторных моделей временной структуры процентных ставок с непрерывным временем» . Журнал финансов . 52 (4): 1695–1706. дои : 10.1111/j.1540-6261.1997.tb01127.x .

[8] Тангман, ДЮ; Такур, Н.; Духитрам, К.; Бхурут, М. (01 декабря 2011 г.). «Быстрое приближение цен опционов на облигации по моделям CKLS» . Письма о финансовых исследованиях . 8 (4): 206–212. дои : 10.1016/j.frl.2011.03.002 . ISSN 1544-6123 .

[9] Сикора, Гжегож; Михалак, Анна; Беляк, Лукаш; Миста, Павел; Виломанская, Агнешка (01.06.2019). «Стохастическое моделирование курсов обмена валют с новыми методами проверки» . Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 523 : 1202–1215. Бибкод : 2019PhyA..523.1202S . дои : 10.1016/j.physa.2019.04.098 . ISSN 0378-4371 . S2CID 149884892 .

[10] Ноуман, К. Бен; Сорвар, Гулам (1 марта 1999 г.). «Ценообразование на ценные бумаги Великобритании и США в рамках модели CKLS. Дальнейшие результаты» . Международное обозрение финансового анализа . 8 (3): 235–245. дои : 10.1016/S1057-5219(99)00019-8 . ISSN 1057-5219 .

[11] Диненис, Э.; Аллегретто, В.; Сорвар, Г.; Н, Квадерно; Бароне-адези, Джованни; Диненис, Элиас; Сорвар, Гулам, Оценка производных финансовых инструментов на основе моделей процентных ставок CKLS , CiteSeerX 10.1.1.24.6963

[12] Кодейк, Кес Г.; Ниссен, Франсуа ЖА; Шотман, Питер К.; Вольф, Кристиан К.П. (1 апреля 1997 г.). «Пересмотр динамики краткосрочной волатильности процентных ставок» . Обзор финансов . 1 (1): 105–130. дои : 10.1023/А:1009714314989 . ISSN 1572-3097 .

[13] Мишура, Юлия; Ральченко Константин; Дегтияр, Елена (01.05.2022). «Оценка параметров модели CKLS путем непрерывных наблюдений» . Статистика и вероятностные буквы . 184 : 109391. arXiv : 2105.13724 . дои : 10.1016/j.spl.2022.109391 . ISSN 0167-7152 . S2CID 235248362 .

[14] Ноуман, К. Бен; Сорвар, Гулам (1 сентября 1999 г.). «Оценка условных требований с использованием модели процентных ставок CKLS: анализ Австралии, Японии и Соединенного Королевства» . Финансовые рынки Азиатско-Тихоокеанского региона . 6 (3): 205–219. дои : 10.1023/А:1010013604561 . ISSN 1573-6946 . S2CID 150454155 .

[15] Блисс, Роберт Р.; Смит, Дэвид К. (1 марта 1998 г.). «Эластичность волатильности процентных ставок: новый взгляд на Чана, Кароли, Лонгстаффа и Сандерса». ССНР 99894 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Это распространится Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Каталог путей Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля и единицы ( Блюменталь , Борель-Кантелли , Энгельберт-Шмидт , Хьюитт-Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Его интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохора Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теория представлений Скорохода Skorokhod space Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Stratonovich integral Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория