Процесс Орнштейна – Уленбека

Не путать с оператором Орнштейна – Уленбека .

Пять симуляций с θ = 1, σ = 1 и µ = 0.

3D-моделирование с θ = 1, σ = 3, µ = (0, 0, 0) и начальной позицией (10, 10, 10).

В математике процесс Орнштейна-Уленбека представляет собой случайный процесс, имеющий приложения в финансовой математике и физических науках. Его первоначальное применение в физике заключалось в моделировании скорости массивной броуновской частицы под действием трения. Он назван в честь Леонарда Орнштейна и Джорджа Юджина Уленбека .

Процесс Орнштейна-Уленбека является стационарным процессом Гаусса-Маркова , что означает, что это гауссов процесс , марковский процесс и он однороден во времени. Фактически, это единственный нетривиальный процесс, который удовлетворяет этим трем условиям, вплоть до возможности линейных преобразований пространственных и временных переменных. Со временем процесс имеет тенденцию приближаться к своей средней функции: такой процесс называется возвратом к среднему значению .

Этот процесс можно рассматривать как модификацию случайного блуждания в непрерывном времени или винеровского процесса , в котором свойства процесса были изменены так, что существует тенденция блуждания вернуться к центральному местоположению с большее притяжение, когда процесс находится дальше от центра. Процесс Орнштейна – Уленбека также можно рассматривать как временем с непрерывным аналог процесса AR(1) .

Определение

Упрощенная формула процесса Орнштейна-Уленбека из фрески, показанной ниже.

Коллектив голландских художников De Strakke Hand: фреска Леонарда Орнштейна, изображающая Орнштейна как сооснователя Голландского физического общества ( Нидерландское физическое общество ) за своим столом в 1921 году и иллюстрирующая двойное случайное блуждание пьяницы с помощью упрощенной формулы Орнштейна-Уленбека. процесс. Остеркаде, Утрехт, Нидерланды, недалеко от лаборатории Орнштейна. Переведенный текст: Профессор Орнштейн исследует случайное движение, 1930 год.

Процесс Орнштейна – Уленбека $x_{t}$ определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением :

$dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}$

где $\theta >0$ и $\sigma >0$ являются параметрами и $W_{t}$ обозначает винеровский процесс .

Иногда добавляется дополнительный термин дрейфа:

$dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}$

где $\mu$ является константой.Процесс Орнштейна – Уленбека иногда также записывают как уравнение Ланжевена вида

${\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)$

где $\eta (t)$, также известный как белый шум , заменяет предполагаемую производную $dW_{t}/dt$ Винеровского процесса. Однако, $dW_{t}/dt$ не существует, поскольку винеровский процесс нигде не дифференцируем, и поэтому уравнение Ланжевена имеет смысл только в том случае, если его интерпретировать в смысле распределения. В физике и инженерных дисциплинах это обычное представление процесса Орнштейна-Уленбека и подобных стохастических дифференциальных уравнений, молчаливо предполагающее, что шумовой член является производной дифференцируемой (например, Фурье) интерполяции винеровского процесса.

Представление уравнения Фоккера – Планка

Процесс Орнштейна – Уленбека также можно описать с помощью функции плотности вероятности: $P(x,t)$, задающий вероятность нахождения процесса в состоянии $x$ во время $t$. Эта функция удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}$

где $D=\sigma ^{2}/2$. Это линейное параболическое уравнение в частных производных , которое можно решить различными методами. Вероятность перехода, также известная как функция Грина , $P(x,t\mid x',t')$ является гауссовой функцией со средним значением $x'e^{-\theta (t-t')}$ и дисперсия ${\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t')}\right)$:

$P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]$

Это дает вероятность состояния $x$ происходит во время $t$ данное начальное состояние $x'$ во время $t'<t$. Эквивалентно, $P(x,t\mid x',t')$ является решением уравнения Фоккера–Планка с начальным условием $P(x,t')=\delta (x-x')$.

Математические свойства

При условии определенного значения $x_{0}$, среднее значение

$\operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})$

и ковариация ​

$\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).$

Для стационарного (безусловного) процесса среднее $x_{t}$ является $\mu$и ковариация $x_{s}$ и $x_{t}$ является ${\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}$.

Процесс Орнштейна-Уленбека является примером гауссова процесса , который имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей , в отличие от процесса Винера ; разница между ними заключается в их термине «дрейф». Для процесса Винера член дрейфа является постоянным, тогда как для процесса Орнштейна-Уленбека он зависит от текущего значения процесса: если текущее значение процесса меньше (долгосрочного) среднего значения, дрейф будет позитивный; если текущее значение процесса превышает (долгосрочное) среднее значение, дрейф будет отрицательным. Другими словами, среднее значение действует как уровень равновесия для процесса. Это дало процессу информативное название «возврат к среднему».

Свойства образцов путей

Однородный во времени процесс Орнштейна – Уленбека можно представить как масштабированный, преобразованный во времени процесс Винера :

$x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}-1}$

где $W_{t}$ стандартный винеровский процесс. Это примерно соответствует теореме 1.2 из Doob 1942 . Эквивалентно, с заменой переменной $s=e^{2\theta t}$ это становится

$W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0$

Используя это отображение, можно перевести известные свойства $W_{t}$ в соответствующие утверждения для $x_{t}$. Например, закон повторного логарифма для $W_{t}$ становится

$\limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}$

Формальное решение

Стохастическое дифференциальное уравнение для $x_{t}$ может быть формально решена вариацией параметров . Письмо

$f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,$

мы получаем

${\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}$

Интеграция из $0$ к $t$ мы получаем

$x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,$

после чего мы видим

$x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,$

, что первый момент Из этого представления видно (т. е. среднее значение) равен

$\operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\$

предполагая $x_{0}$ является постоянным. Более того, изометрию Ито можно использовать для расчета ковариационной функции по формуле

${\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}$

Поскольку интеграл Ито детерминированного подынтегрального выражения нормально распределен, отсюда следует, что

$x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}W_{1-e^{-2\theta t}}$

Уравнения Колмогорова

генератор Бесконечно малый процесса $$Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''$$Если мы позволим $y=x{\sqrt {\frac {2\mu }{\sigma ^{2}}}}$, то уравнение собственных значений упрощается до: $${\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi +{\frac {\lambda }{\mu }}\phi =0$$которое является определяющим уравнением для полиномов Эрмита . Его решения $\phi (y)=He_{n}(y)$, с $\lambda =n\mu$, что означает, что среднее время первого прохождения частицы до точки на границе составляет порядка $\mu ^{-1}$.

Численное моделирование

Используя дискретно выбранные данные с интервалами времени шириной $t$, оценки максимального правдоподобия для параметров процесса Орнштейна – Уленбека асимптотически нормальны к своим истинным значениям. Точнее, $${\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)$$

Четыре выборочных пути различных OU-процессов с θ = 1, σ = ${\sqrt {2}}$:
синий : начальное значение a = 10, μ = 0
оранжевый : начальное значение a = 0, μ = 0
зеленый : начальное значение a = −10, μ = 0
красный : начальное значение a = 0, μ = −10

Чтобы смоделировать процесс OU численно со стандартным отклонением $\Sigma$ и время корреляции $\tau =1/\Theta$, один из методов — применить формулу конечных разностей

$$x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}$$где $\nu _{i}$ представляет собой нормально распределенное случайное число с нулевым средним значением и единичной дисперсией, отбираемое независимо на каждом временном шаге. $dt$.

Интерпретация предела масштабирования

Процесс Орнштейна-Уленбека можно интерпретировать как предел масштабирования дискретного процесса, точно так же, как броуновское движение является пределом масштабирования случайных блужданий . Рассмотрим урну, содержащую $n$ синие и желтые шарики. На каждом этапе случайным образом выбирается шар и заменяется шаром противоположного цвета. Позволять $X_{k}$ будет количество синих шаров в урне после $k$ шаги. Затем ${\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}$ по закону сходится к процессу Орнштейна – Уленбека как $n$ стремится к бесконечности. Это было получено Марком Кацем .

Эвристически это можно получить следующим образом.

Позволять $X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}$, и мы получим стохастическое дифференциальное уравнение в $n\to \infty$ предел. Первый вывод $$\Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.$$Благодаря этому мы можем вычислить среднее значение и дисперсию $\Delta X_{t}^{(n)}$, что оказывается $-2X_{t}^{(n)}\Delta t$ и $\Delta t$. Таким образом, на $n\to \infty$ предел, у нас есть $dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}$, с решением (полагая $X_{0}$ распределение стандартное нормальное) $X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}$.

Приложения

По физике: шумная релаксация

Процесс Орнштейна-Уленбека является прототипом шумного процесса релаксации . Канонический пример — пружина Гука ( гармонический осциллятор ) с жесткостью пружины $k$ чья динамика перезаглушена с коэффициентом трения $\gamma$. При наличии тепловых колебаний с температурой $T$, длина $x(t)$ пружины колеблется вокруг длины покоя пружины $x_{0}$; его стохастическая динамика описывается процессом Орнштейна–Уленбека с

${\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}$

где $\sigma$ выводится из уравнения Стокса – Эйнштейна $D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma$ для эффективной константы диффузии. Эта модель была использована для характеристики движения броуновской частицы в оптической ловушке .

В состоянии равновесия пружина сохраняет среднюю энергию $\langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2$ в соответствии с теоремой о равнораспределении .

По финансовой математике

Процесс Орнштейна-Уленбека используется в Васичека . модели процентной ставки Процесс Орнштейна-Уленбека — один из нескольких подходов, используемых для стохастического моделирования (с модификациями) процентных ставок, курсов обмена валют и цен на сырьевые товары. Параметр $\mu$ представляет собой равновесное или среднее значение, поддерживаемое фундаментальными показателями ; $\sigma$ степень волатильности вокруг него, вызванная шоками , и $\theta$ скорость, с которой эти потрясения рассеиваются и переменная возвращается к среднему значению. Одним из применений этого процесса является торговая стратегия, известная как парная торговля .

Дальнейшая реализация процесса Орнштейна-Уленбека была предложена Марчелло Миненной для моделирования доходности акций в условиях динамики логнормального распределения . Это моделирование направлено на определение доверительного интервала для прогнозирования явлений рыночного злоупотребления .

В эволюционной биологии

Процесс Орнштейна-Уленбека был предложен как улучшение модели броуновского движения для моделирования изменения фенотипов организма с течением времени. Модель броуновского движения предполагает, что фенотип может двигаться без ограничений, тогда как для большинства фенотипов естественный отбор требует платы за слишком далекое движение в любом направлении. Метаанализ 250 временных рядов ископаемых фенотипов показал, что модель Орнштейна-Уленбека лучше всего подходит для 115 (46%) исследованных временных рядов, подтверждая застой как общую эволюционную закономерность. Тем не менее, существуют определенные проблемы с его использованием: механизмы выбора модели часто склонны отдавать предпочтение процессу OU без достаточной поддержки, а ничего не подозревающий специалист по данным легко может неверно истолковать его.

Обобщения

Можно определить управляемый Леви процесс Орнштейна – Уленбека , в котором фоновым движущим процессом является процесс Леви, а не процесс Винера:

$dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}$

Здесь дифференциал винеровского процесса $W_{t}$ заменен дифференциалом процесса Леви $L_{t}$.

Кроме того, в финансах используются стохастические процессы, при которых волатильность увеличивается при больших значениях $X$. В частности, процесс CKLS (Чан-Каройи-Лонгстафф-Сандерс) с заменой термина волатильности на $\sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}$ можно решить в закрытом виде для $\gamma =1$, а также для $\gamma =0$, что соответствует обычному процессу OU. Другим частным случаем является $\gamma =1/2$, что соответствует модели Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR-модель).

Высшие измерения

Многомерная версия процесса Орнштейна – Уленбека, обозначаемая N -мерным вектором. $\mathbf {x} _{t}$, можно определить из

$d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.$

где $\mathbf {W} _{t}$ является N -мерным винеровским процессом, и ${\boldsymbol {\beta }}$ и ${\boldsymbol {\sigma }}$ являются постоянными размера N × N. матрицами Решение

$\mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}$

и среднее значение

$\operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).$

В этих выражениях используется матричная экспонента .

Процесс также можно описать с помощью функции плотности вероятности $P(\mathbf {x} ,t)$, которое удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.$

где матрица ${\boldsymbol {D}}$ с компонентами $D_{ij}$ определяется ${\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2$. Что касается 1d случая, то процесс представляет собой линейное преобразование гауссовских случайных величин и, следовательно, сам должен быть гауссовским. В связи с этим вероятность перехода $P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')$ является гауссианой, которую можно записать явно. Если действительные части собственных значений ${\boldsymbol {\beta }}$ больше нуля, стационарное решение $P_{\text{st}}(\mathbf {x} )$ более того, существует, учитывая

$P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right)$

где матрица ${\boldsymbol {\omega }}$ определяется из уравнения Ляпунова ${\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}$.

См. также

• Стохастическое исчисление
• Винеровский процесс
• Гауссов процесс
• Математические финансы
• Модель Васичека процентных ставок
• Краткосрочная модель
• Диффузия
• Теорема о флуктуации-диссипации
• Уравнение Клейна – Крамерса

Ссылки

• Айт-Сахалия, Ю. (апрель 2002 г.). «Оценка максимального правдоподобия дискретно выбранной диффузии: подход аппроксимации в закрытой форме». Эконометрика . 70 (1): 223–262. дои : 10.1111/1468-0262.00274 .
• Биббона, Э.; Панфило, Г.; Тавелла, П. (2008). «Процесс Орнштейна-Уленбека как модель белого шума с фильтрацией нижних частот». Метрология . 45 (6): С117–С126. Бибкод : 2008Метро..45С.117Б . дои : 10.1088/0026-1394/45/6/S17 . hdl : 2318/58227 . S2CID   56160285 .
• Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-957474-2 .
• Чан, КЦ; Каройи, Джорджия; Лонгстафф, ФА; Сандерс, AB (1992). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки» . Журнал финансов . 47 (3): 1209–1227. дои : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .
• Корнюо, Жослен (2022). «Байесовский анализ сравнительных данных с помощью модели Орнштейна – Уленбека: потенциальные ловушки» . Систематическая биология . 71 (6): 1524–1540. дои : 10.1093/sysbio/syac036 . ПМЦ   9558839 . ПМИД   35583306 .
• Дуб, Дж. Л. (апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики . 43 (2): 351–369. дои : 10.2307/1968873 . ISSN   0003-486X . JSTOR   1968873 .
• Финк, Хольгер; Клуппельберг, Клаудия (01 февраля 2011 г.). «Дробные процессы Орнштейна – Уленбека, управляемые Леви, и стохастические дифференциальные уравнения». Бернулли . 17 (1). arXiv : 1102.1830 . дои : 10.3150/10-bej281 . ISSN   1350-7265 . S2CID   9269536 .
• Хант, Г. (14 ноября 2007 г.). «Относительная важность изменения направления, случайных блужданий и стаза в эволюции ископаемых линий» . Труды Национальной академии наук . 104 (47): 18404–18408. дои : 10.1073/pnas.0704088104 . ISSN   0027-8424 . ПМК   2141789 . ПМИД   18003931 .
• Гард, Томас К. (1988), Введение в стохастические дифференциальные уравнения , Марсель Деккер, ISBN  978-0-8247-7776-0
• Гардинер, Криспин В. (1985), Справочник по стохастическим методам (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-15607-1
• Гиллеспи, DT (1996). «Точное численное моделирование процесса Орнштейна – Уленбека и его интеграла» . Физ. Преподобный Е. 54 (2): 2084–2091. Бибкод : 1996PhRvE..54.2084G . дои : 10.1103/PhysRevE.54.2084 . ПМИД   9965289 .
• Иглхарт, Дональд Л. (июнь 1968 г.). «Предельные теоремы для модели Эренфеста с несколькими урнами» . Анналы математической статистики . 39 (3): 864–876. дои : 10.1214/aoms/1177698318 . ISSN   0003-4851 .
• Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97655-6
• Гёрлих, Реми; Ли, Минхао; Альберт, Сэмюэл; Манфреди, Джованни; Эрвье, Поль-Антуан; Жене, Сириак (19 марта 2021 г.). «Шум и эргодические свойства броуновского движения в оптическом пинцете: рассмотрение пересечений режимов в процессе Орнштейна-Уленбека». Физический обзор E . 103 (3): 032132. arXiv : 2007.12246 . Бибкод : 2021PhRvE.103c2132G . дои : 10.1103/physreve.103.032132 . ISSN   2470-0045 . ПМИД   33862817 . S2CID   220768666 .
• Йесперсен, Суне; Мецлер, Ральф; Фогедби, Ганс К. (1 марта 1999 г.). «Полёты Леви во внешних силовых полях: уравнения Ланжевена и дробные уравнения Фоккера-Планка и их решения». Физический обзор E . 59 (3): 2736–2745. arXiv : cond-mat/9810176 . Бибкод : 1999PhRvE..59.2736J . дои : 10.1103/physreve.59.2736 . ISSN   1063-651X . S2CID   51944991 .
• Клоден, Питер Э.; Платен, Экхард; Шурц, Анри (1994). Численное решение СДУ посредством компьютерных экспериментов . Берлин: Springer Verlag. ISBN  3-540-57074-8 . OCLC   29788831 .
• Лоулер, Грегори Ф. (2006). Введение в случайные процессы (2-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. ISBN  978-1584886518 .
• Люнг, Тим; Ли, Синь (2016). Оптимальная торговля с возвратом к среднему: математический анализ и практические приложения . Всемирной научной издательской компании ISBN  978-9814725910 .
• Люнг, Тим; Ли, Синь (2015). «Оптимальная торговля с возвратом к среднему с транзакционными издержками и выходом со стоп-лоссом». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . дои : 10.1142/S021902491550020X .
• Ли, Минхао; Сентисси, Усама; Аццини, Стефано; Шнеринг, Габриэль; Канагье-Дюран, Антуан; Жене, Сириак (10 декабря 2019 г.). «Субфемтоньютоновые силовые поля, измеренные с помощью эргодических броуновских ансамблей». Физический обзор А. 100 (6): 063816. arXiv : 1908.00610 . Бибкод : 2019PhRvA.100f3816L . дои : 10.1103/physreva.100.063816 . ISSN   2469-9926 . S2CID   199405409 .
• Мартинс, Эмилия П. (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции на основе сравнительных данных». Американский натуралист . 144 (2): 193–209. дои : 10.1086/285670 . ISSN   0003-0147 . S2CID   85300707 .
• Нёрреликке, Саймон Ф.; Фливбьерг, Хенрик (4 апреля 2011 г.). «Гармонический осциллятор в тепловой ванне: точное моделирование данных, записанных в режиме замедленной съемки, и точная аналитическая статистика». Физический обзор E . 83 (4): 041103. arXiv : 1102.0524 . Бибкод : 2011PhRvE..83d1103N . дои : 10.1103/physreve.83.041103 . ISSN   1539-3755 . ПМИД   21599111 . S2CID   18518657 .
• Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера–Планка: методы решения и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0387504988 .
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения (PDF) . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07950-1 . OCLC   769464 .
• Уленбек, GE; Орнштейн, Л.С. (1930). «К теории броуновского движения». Физ. Преподобный . 36 (5): 823–841. Бибкод : 1930PhRv...36..823U . дои : 10.1103/PhysRev.36.823 .

Внешние ссылки

• Инструментарий стохастических процессов для управления рисками , Дамиано Бриго, Антонио Далессандро, Матиас Нойгебауэр и Фарес Трики
• Моделирование и калибровка процесса Орнштейна–Уленбека , М.А. ван ден Берг
• Оценка максимального правдоподобия процессов, возвращающихся к среднему , Хосе Карлос Гарсиа Франко
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» . Архивировано из оригинала 20 сентября 2015 г. Проверено 3 июля 2015 г.