Интегральный тест для конвергенции

В математике интегральный тест для конвергенции - это метод, используемый для тестирования бесконечной серии терминов монотонных для сходимости . Он был разработан Колином Маклаурином и Августином-Луи Коши и иногда известен как тест Маклаурина-уч .

Заявление теста

Рассмотрим целое число $n$ и функцию $F,$ определенную на неограниченном интервале $[n, \infty)$ , на котором он уменьшается монотон . Тогда бесконечная серия

\sum _{n=N}^{\infty }f(n)

сходится к реальному числу , если и только тогда, когда неправильный интеграл

\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx

конечно. В частности, если интегральный расходится, то расходится серия также .

Примечание

Если неправильный интеграл конечен, то доказательство также дает нижние и верхние границы

\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx

( 1 )

Для бесконечной серии.

Обратите внимание, что если функция $f(x)$ увеличивается, затем функция $-f(x)$ уменьшается, и применяется вышеупомянутая теорема.

Многие учебники требуют функции $f$ быть позитивным, ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Но это условие не на самом деле необходимо. С тех пор $f$ отрицательно и уменьшается, оба $\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$ и $\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$ расходится, как обсуждалось в математическом обмене стека. ^{[ 4 ]}^{[ Лучший источник необходим ]}

Доказательство

Доказательство в основном использует тест на сравнение , сравнивая термин $F (n)$ с интегралом $F$ в течение интервалов $[n - 1, n)$ и $[n, n + 1)$ соответственно.

Монотонная функция $f$ непрерывно . везде почти Чтобы показать это, пусть $D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}$ Полем На каждый $x\in D$ , существует плотности по $\mathbb {Q}$ а $c(x)\in \mathbb {Q}$ так что $c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]$ Полем Обратите внимание, что этот набор содержит открытый непустые интервал точно, если $f$ прерывится в $x$ Полем Мы можем уникально идентифицировать $c(x)$ как рациональный номер , который имеет наименьший индекс в перечислении $\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ и удовлетворяет вышеуказанному собственности. С $f$ это монотонно , это определяет инъективное отображение $c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)$ и, таким образом $D$ это исчисляется . Это следует за этим $f$ непрерывно . везде почти Этого достаточно для интеграции Riemann . ^{[ 5 ]}

Поскольку $F$ является функцией уменьшения монотонного, мы знаем, что

f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )

и

f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].

Следовательно, для каждого целого числа $n \geq n$ ,

\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)

( 2 )

и для каждого целого числа $n \geq n + 1$ ,

f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.

( 3 )

Суммированием всех $n$ от $N$ до некоторого более крупного целого числа $M$ , мы получаем ( 2 )

\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)

и из ( 3 )

\sum _{n=N}^{M}f(n)=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.

Объединение этих двух оценок доходности

\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.

Пусть $M$ имеет тенденцию к бесконечности, границы в ( 1 ) и результат следуют.

Приложения

Гармоническая серия

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}

расходится, потому что, используя естественный логарифм , его антидовидный и фундаментальная теорема о исчислении , мы получаем

\int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .

С другой стороны, сериал

\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}

(См. Функция Riemann Zeta ) сходится для каждого $ε > 0$ , потому что по правилу мощности

\int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.

От ( 1 ) мы получаем верхнюю оценку

\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},

который можно сравнить с некоторыми из конкретных значений функции Riemann Zeta .

Граница между дивергенцией и конвергенцией

Приведенные выше примеры с участием ряда гармоники поднимают вопрос о том, существуют ли монотонные последовательности такие, что $f (n)$ уменьшается до 0 быстрее, чем $1/ n,$ но медленнее, чем $1/ n 1+ e$ в том смысле, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty

для каждого $ε > 0$ , и все еще расходится соответствующая серия $f (n)$ . После того, как такая последовательность найдена, аналогичный вопрос можно задать с $F (n),$ взяв роль $1/ N$ и т. Д. Таким образом, можно исследовать границу между дивергенцией и конвергенцией бесконечных серий.

Используя интегральный тест для конвергенции, можно показать (см. Ниже), что для каждого натурального числа $K$ серия

\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}

( 4 )

Все еще расходится (ср. взаимных сумма $простых простых$ Доказательство того, что

\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}

( 5 )

сходится для каждого $ε > 0$ . Здесь $LN K$ обозначает $K$ -краю композицию естественного логарифма, рекурсивно определяемого

\ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}

Кроме того, $n K$ обозначает наименьшее естественное число, так что $K$ -нафтфотовая композиция четко определена и $ln k (n k) \geq 1$ , т.е.

N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k

Использование тетрации или нотации Кнута .

Чтобы увидеть дивергенцию серии ( 4 ) с использованием интегрального теста, обратите внимание, что при повторном применении цепочки правила

{\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},

следовательно

\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .

Чтобы увидеть сходимость серии ( 5 ), обратите внимание, что по правилу власти , правило цепи и вышеупомянутый результат

-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},

следовательно

\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty

и ( 1 ) дает границы для бесконечной серии в ( 5 ).

Смотрите также

Ссылки

Knopp, Konrad , «Infinite Perquences and Series», Dover Publications , Inc., Нью -Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, ET и Watson, GN, курс современного анализа , четвертое издание, издательство Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3

^ Стюарт, Джеймс; Клегг, Даниэль; Уотсон, Салим (2021). Calculus: метрическая версия (9 изд.). Cengage. ISBN 9780357113462 .
^ Уэйд, Уильям (2004). Введение в анализ (3 ред.). Пирсон Образование. ISBN 9780131246836 .
^ Томас, Джордж; Хасс, Джоэл; Хейл, Кристофер; Вейр, Морис; Зулета, Хосе Луис (2018). Исчисление Томаса: ранние трансцендентные (14 изд.). Пирсон Образование. ISBN 9781292253114 .
^ savemycalculus. «Почему это должно быть положительным и уменьшающимся, чтобы применить интегральный тест?» Полем Математический обмен стеком . Получено 2020-03-11 .
^ Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега для интеграции Riemann». Американский математический ежемесячный . 43 (7): 396–398. doi : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[1] Стюарт, Джеймс; Клегг, Даниэль; Уотсон, Салим (2021). Calculus: метрическая версия (9 изд.). Cengage. ISBN 9780357113462 .

[2] Уэйд, Уильям (2004). Введение в анализ (3 ред.). Пирсон Образование. ISBN 9780131246836 .

[3] Томас, Джордж; Хасс, Джоэл; Хейл, Кристофер; Вейр, Морис; Зулета, Хосе Луис (2018). Исчисление Томаса: ранние трансцендентные (14 изд.). Пирсон Образование. ISBN 9781292253114 .

[4] savemycalculus. «Почему это должно быть положительным и уменьшающимся, чтобы применить интегральный тест?» Полем Математический обмен стеком . Получено 2020-03-11 .

[5] Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега для интеграции Riemann». Американский математический ежемесячный . 43 (7): 396–398. doi : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]