Поверхностный интеграл

В математике , особенно в исчислении многих переменных , поверхностный интеграл представляет собой обобщение множественных интегралов для интегрирования по поверхностям . Его можно рассматривать как двойной интеграл, аналог линейного интеграла . Учитывая поверхность, можно интегрировать по этой поверхности скалярное поле (то есть функцию положения, которая возвращает скаляр в качестве значения) или векторное поле (то есть функцию, которая возвращает вектор в качестве значения). Если область R не плоская, то она называется поверхностью , как показано на рисунке.

Поверхностные интегралы имеют приложения в физике , особенно в теориях классического электромагнетизма .

Поверхностные интегралы скалярных полей

Предположим, что f — скалярное, векторное или тензорное поле, определенное на S. поверхности Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла от f по S , нам нужно параметризовать S , определив систему криволинейных координат на S , например широту и долготу на сфере . Пусть такой параметризацией будет $r (s, t)$ , где $(s, t)$ изменяется в некоторой области $T$ на плоскости . Тогда поверхностный интеграл определяется выражением

\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r}  \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

где выражение между столбцами в правой части представляет собой величину векторного произведения частных производных r $вблизи (s, t)$ и известно как элемент поверхности (который, например, даст меньшее значение полюса сферы, где линии долготы сходятся резче, а широтные координаты расположены более компактно). Поверхностный интеграл также можно выразить в эквивалентной форме

\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

где $g$ — определитель первой фундаментальной формы поверхностного отображения $r (s, t)$ . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Например, если мы хотим найти площадь поверхности графика некоторой скалярной функции, скажем, $z = f (x, y)$ , мы имеем

A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r}  \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r}  \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y

где $р знак равно (Икс, y, z) знак равно (Икс, y, ж (Икс, y))$ . Так что ${\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))$ , и ${\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))$ . Так,

{\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}

что является стандартной формулой площади поверхности, описанной таким образом. Вектор в предпоследней строке выше можно распознать как вектор нормали к поверхности.

Из-за наличия векторного произведения приведенные выше формулы работают только для поверхностей, включенных в трехмерное пространство.

Это можно рассматривать как интегрирование римановой формы объема на параметризованной поверхности, где метрический тензор задается первой фундаментальной формой поверхности.

Поверхностные интегралы векторных полей

Изогнутая поверхность

S

с векторным полем

\mathbf {F}

проходя через него. Красные стрелки (векторы) обозначают величину и направление поля в различных точках поверхности.

Поверхность разделена на небольшие участки

dS=du\,dv

путем параметризации поверхности

[u(\mathbf {x} ),v(\mathbf {x} )]

Поток через каждый участок равен нормальной (перпендикулярной) составляющей поля.

F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta

на месте патча

\mathbf {x}

умноженный на площадь

dS

. Нормальный компонент равен произведению скалярному

\mathbf {F} (\mathbf {x} )

с единичным вектором нормали

\mathbf {n} (\mathbf {x} )

(синие стрелки)

Полный поток через поверхность находится сложением

\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS

для каждого патча. В пределе, когда участки становятся бесконечно малыми, это поверхностный интеграл

{\textstyle \int _{S}\mathbf {F\cdot n} \;dS}

Рассмотрим векторное поле v на поверхности S , то есть для каждого $r = (x, y, z)$ в S , v ( r ) является вектором.

Интеграл от v на S был определен в предыдущем разделе. Предположим теперь, что требуется интегрировать только нормальная составляющая векторного поля над поверхностью, результат которой представляет собой скаляр, обычно называемый потоком, проходящим через поверхность. Например, представьте, что у нас есть жидкость, текущая через S , так что v ( r ) определяет скорость жидкости в точке r . Поток S определяется как количество жидкости, протекающей через в единицу времени.

что если векторное поле касается S этой иллюстрации следует , в каждой точке, то поток равен нулю, поскольку жидкость просто течет параллельно S , Из а не внутрь и наружу. Это также означает, что если v течет не только вдоль S , то есть если v имеет как тангенциальную, так и нормальную составляющую, то только нормальная составляющая вносит вклад в поток. Основываясь на этих рассуждениях, чтобы найти поток, нам нужно взять произведение v скалярное с единичной поверхностью, нормалью n к S в каждой точке, что даст нам скалярное поле, и проинтегрировать полученное поле, как указано выше. Другими словами, нам нужно проинтегрировать v по элементу векторной поверхности $\mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s$ , который является вектором, нормальным к S в данной точке, величина которого равна $\mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.$

Находим формулу

{\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}

Перекрестное произведение в правой части этого выражения представляет собой (не обязательно единичную) нормаль к поверхности, определенную параметризацией.

Эта формула определяет интеграл слева (обратите внимание на точку и векторное обозначение элемента поверхности).

Мы также можем интерпретировать это как особый случай интегрирования 2-форм, когда мы отождествляем векторное поле с 1-формой, а затем интегрируем ее двойственную по поверхности Ходжа. Это эквивалентно интегрированию $\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S$ над погруженной поверхностью, где $\mathrm {d} S$ – форма индуцированного объема на поверхности, полученная внутренним умножением римановой метрики объемлющего пространства на внешнюю нормаль поверхности.

Поверхностные интегралы дифференциальных 2-форм

Позволять

f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}

— дифференциальная 2-форма, определенная на поверхности S , и пусть

\mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))

будет сохраняющей ориентацию параметризацией S с $(s,t)$ в Д. Изменение координат с $(x,y)$ к $(s,t)$ , дифференциальные формы преобразуются как

\mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t

\mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t

Так $\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ превращается в ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t$ , где ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}$ обозначает определитель якобиана от функции перехода $(s,t)$ к $(x,y)$ . Трансформация остальных форм аналогична.

Тогда поверхностный интеграл от f на S определяется выражением

\iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

где

{\partial \mathbf {r}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r}  \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)

— элемент поверхности, нормальный S. к

Заметим, что поверхностный интеграл этой 2-формы аналогичен поверхностному интегралу векторного поля, которое имеет компонентами $f_{x}$ , $f_{y}$ и $f_{z}$ .

Теоремы, связанные с поверхностными интегралами

Различные полезные результаты для поверхностных интегралов могут быть получены с использованием дифференциальной геометрии и векторного исчисления , такие как теорема о расходимости , магнитный поток и ее обобщение, теорема Стокса .

Зависимость от параметризации

Заметим, что мы определили поверхностный интеграл, используя параметризацию поверхности S . Мы знаем, что данная поверхность может иметь несколько параметризаций. Например, если мы переместим Северный и Южный полюс на сфере, широта и долгота изменятся для всех точек сферы. Тогда возникает естественный вопрос: зависит ли определение поверхностного интеграла от выбранной параметризации. Для интегралов от скалярных полей ответ на этот вопрос прост; значение поверхностного интеграла будет одинаковым независимо от того, какую параметризацию использовать.

С интегралами от векторных полей дела обстоят сложнее, поскольку здесь задействована нормаль к поверхности. Можно доказать, что для двух параметризаций одной и той же поверхности, нормали к поверхности которых направлены в одном направлении, можно получить одно и то же значение поверхностного интеграла с обеими параметризациями. Однако если нормали для этих параметризаций указывают в противоположных направлениях, значение поверхностного интеграла, полученного с помощью одной параметризации, является отрицательным по сравнению с значением, полученным с помощью другой параметризации. Отсюда следует, что, учитывая поверхность, нам не нужно придерживаться какой-либо уникальной параметризации, но при интегрировании векторных полей нам нужно заранее решить, в каком направлении будет указывать нормаль, а затем выбрать любую параметризацию, соответствующую этому направлению.

Другая проблема заключается в том, что иногда поверхности не имеют параметризации, охватывающей всю поверхность. Очевидным решением будет разделить эту поверхность на несколько частей, вычислить поверхностный интеграл для каждой части, а затем сложить их все. Это действительно так, но при интегрировании векторных полей нужно снова быть осторожным при выборе вектора, указывающего нормаль для каждого фрагмента поверхности, чтобы при повторном соединении фрагментов результаты были согласованными. Для цилиндра это означает, что если мы решим, что для боковой области нормаль будет указывать из тела, то для верхней и нижней круглых частей нормаль также должна указывать из тела.

Наконец, существуют поверхности, которые не допускают нормали к поверхности в каждой точке с непротиворечивыми результатами (например, лента Мёбиуса ). Если такую поверхность разбить на куски, на каждом куске выбрать параметризацию и соответствующую нормаль к поверхности и соединить куски обратно, то мы обнаружим, что векторы нормалей, исходящие от разных кусков, не могут быть согласованы. Это означает, что на каком-то стыке двух частей у нас будут векторы нормалей, направленные в противоположные стороны. Такая поверхность называется неориентируемой , и на такой поверхности нельзя говорить об интегрировании векторных полей.

См. также

Ссылки

^ Эдвардс, Швейцария (1994). Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. п. 335. ИСБН 0-486-68336-2 .
^ Хазевинкель, Мишель (2001). «Поверхностный интеграл» . Энциклопедия математики . Спрингер. ISBN 978-1-55608-010-4 .

Внешние ссылки

[1] Эдвардс, Швейцария (1994). Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. п. 335. ИСБН 0-486-68336-2 .

[2] Хазевинкель, Мишель (2001). «Поверхностный интеграл» . Энциклопедия математики . Спрингер. ISBN 978-1-55608-010-4 .

[ 1 ]

[ 2 ]