Вогнутая функция

В математике — вогнутая функция это функция, значение которой в любой выпуклой комбинации элементов в области больше или равно выпуклой комбинации значений в конечных точках. Эквивалентно, вогнутая функция — это любая функция, у которой гипограф выпуклый. Класс вогнутых функций в некотором смысле противоположен классу выпуклых функций . Вогнутую функцию также синонимом называют вогнутой вниз , вогнутой вниз , выпуклой вверх , выпуклой крышкой или верхней выпуклостью .

Определение

Действительнозначная функция $f$ на интервале (или, в более общем смысле, выпуклом множестве в векторном пространстве ) называется вогнутым , если для любого $x$ и $y$ на интервале и для любого $\alpha \in [0,1]$,

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

Функция называется строго вогнутой, если

$f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,$

для любого $\alpha \in (0,1)$ и $x\neq y$.

Для функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, это второе определение просто утверждает, что для каждого $z$ строго между $x$ и $y$, точка $(z,f(z))$ на графике $f$ находится выше прямой, соединяющей точки $(x,f(x))$ и $(y,f(y))$.

Функция $f$ является квазивогнутым, если верхний контур задает функцию $S(a)=\{x:f(x)\geq a\}$ являются выпуклыми множествами.

Характеристики

Кубическая функция является вогнутой (левая половина), когда ее первая производная (красная) монотонно убывает, т. е. ее вторая производная (оранжевая) отрицательна, и выпуклой (правая половина), когда ее первая производная монотонно возрастает, т. е. ее вторая производная положительна.

Функции одной переменной

1. f Дифференцируемая функция является (строго) вогнутой на интервале тогда и только тогда, когда ее производная функция f ′ (строго) монотонно убывает на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающий (убывающий) наклон .
2. Точки , где вогнутость меняется (между вогнутостью и выпуклостью ), являются точками перегиба .
3. Если f дважды дифференцируема , то f вогнута тогда и только тогда, когда ( или f неположительно , неформально, если « ускорение » неположительно). Если f» отрицательно , то f строго вогнутая, но обратное неверно, как показано f ( x ) = − x ⁴ .
4. Если f вогнута и дифференцируема, то она ограничена сверху своим приближением Тейлора первого порядка : $$f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]$$
5. Измеримая по Лебегу функция на интервале C является вогнутой тогда и только тогда, когда она вогнута в средней точке, т. е. для любых x и y из C $$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$$
6. Если функция f вогнутая и f ≥ 0 , то f субаддитивна (0 ) на $[0,\infty )$. Доказательство:
   • Поскольку f вогнутая и 1 ≥ t ≥ 0 , полагая y = 0, мы имеем $$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).$$
   • Для $a,b\in [0,\infty )$: $$f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)$$

Функции n переменных

1. Функция f является вогнутой над выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция −f является выпуклой функцией над этим множеством.
2. Сумма двух вогнутых функций сама по себе является вогнутой, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, т. е. набор вогнутых функций в данной области образует полуполе .
3. Вблизи строгого локального максимума внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; как частичное обратное: если производная строго вогнутой функции равна нулю в какой-то точке, то эта точка является локальным максимумом.
4. Любой локальный максимум вогнутой функции является также глобальным максимумом . вогнутая функция Строго будет иметь не более одного глобального максимума.

Примеры

• Функции $f(x)=-x^{2}$ и $g(x)={\sqrt {x}}$ вогнуты в своих областях определения, как и их вторые производные $f''(x)=-2$ и ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ всегда отрицательные.
• логарифма ​ Функция $f(x)=\log {x}$ является вогнутым в своей области $(0,\infty )$, как его производная ${\frac {1}{x}}$ является строго убывающей функцией.
• Любая аффинная функция $f(x)=ax+b$ одновременно вогнута и выпукла, но не является ни строго вогнутой, ни строго выпуклой.
• Синусоидальная отрезке функция вогнута на $[0,\pi ]$.
• Функция $f(B)=\log |B|$, где $|B|$ является определителем неотрицательно -определенной матрицы B , является вогнутой.

Приложения

• Изгиб лучей при расчете затухания радиоволн в атмосфере включает вогнутые функции.
• В ожидаемой полезности теории для выбора в условиях неопределенности кардинальные функции полезности лиц, не склонных к риску, являются вогнутыми.
• В микроэкономической теории обычно предполагается , что производственные функции вогнуты в некоторых или во всех своих областях, что приводит к уменьшению отдачи от факторов производства.
• В термодинамике и теории информации энтропия — это вогнутая функция. В случае термодинамической энтропии без фазового перехода энтропия как функция экстенсивных переменных строго вогнута. Если система может претерпевать фазовый переход и если ей разрешено распасться на две подсистемы с разными фазами ( фазовое разделение , например, кипение), максимальные по энтропии параметры подсистем приведут к объединенной энтропии точно на прямой линии между две фазы. Это означает, что «эффективная энтропия» системы с фазовым переходом представляет собой выпуклую оболочку энтропии без разделения фаз; следовательно, энтропия системы, включающей фазовое разделение, будет не строго вогнутой.

См. также

• Вогнутый многоугольник
• Неравенство Дженсена
• Логарифмически вогнутая функция
• Квазивогнутая функция
• Вогнутость

Дальнейшие ссылки

• Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость» . В Дюрлауфе, Стивен Н.; Блюм, Лоуренс Э. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 815–816. дои : 10.1057/9780230226203.1375 . ISBN  978-0-333-78676-5 .
• Рао, Сингиресу С. (2009). Инженерная оптимизация: теория и практика . Джон Уайли и сыновья. п. 779. ИСБН  978-0-470-18352-6 .