Абстрактная алгебра

Эта статья о разделе математики. Чтобы узнать о шведской группе, см. Abstrakt Algebra .

«Современная алгебра» перенаправляется сюда. О книге ван дер Вардена см. «Современная алгебра» .

Перестановки . образуют кубика Рубика группу — фундаментальное понятие абстрактной алгебры

В математике , более конкретно, алгебра , абстрактная алгебра или современная алгебра — это изучение алгебраических структур , которые представляют собой множества с определенными операциями, действующими на их элементы. Алгебраические структуры включают группы , кольца , поля , модули , векторные пространства , решетки и алгебры над полем . Термин «абстрактная алгебра» был придуман в начале 20-го века, чтобы отличить его от старых частей алгебры, а точнее от элементарной алгебры , использования переменных для представления чисел в вычислениях и рассуждениях. Абстрактная точка зрения на алгебру стала настолько фундаментальной для высшей математики, что ее называют просто «алгеброй», тогда как термин «абстрактная алгебра» используется редко, за исключением педагогики .

Алгебраические структуры и связанные с ними гомоморфизмы образуют математические категории . Теория категорий дает единую основу для изучения свойств и конструкций, схожих для различных структур.

Универсальная алгебра — смежный предмет, изучающий типы алгебраических структур как отдельные объекты. Например, структура групп — это единый объект универсальной алгебры, который называется многообразием групп .

История

До девятнадцатого века алгебра определялась как изучение многочленов . Абстрактная алгебра возникла в девятнадцатом веке по мере развития более сложных проблем и методов решения. Конкретные задачи и примеры взяты из теории чисел, геометрии, анализа и решения алгебраических уравнений . Большинство теорий, признанных сейчас частью абстрактной алгебры, начинались как совокупность разрозненных фактов из различных разделов математики, приобретали общую тему, служившую ядром, вокруг которого группировались различные результаты, и, наконец, стали едиными на основе общего набора. концепций. Это объединение произошло в первые десятилетия 20-го века и привело к формальным аксиоматическим определениям различных алгебраических структур, таких как группы, кольца и поля. Это историческое развитие почти противоположно трактовке, встречающейся в популярных учебниках, таких как «Современная алгебра» ван дер Вардена . в которых каждая глава начинается с формального определения структуры, а затем следуют конкретные примеры.

Элементарная алгебра

Основная статья: История алгебры

Изучение полиномиальных уравнений или алгебраических уравнений имеет долгую историю. в. В 1700 году до нашей эры вавилоняне умели решать квадратные уравнения в виде текстовых задач. Этот этап словесной задачи классифицируется как риторическая алгебра и был доминирующим подходом до 16 века. Аль-Хорезми придумал слово «алгебра» в 830 году нашей эры, но его работы были полностью риторической алгеброй. Полностью символическая алгебра не появлялась до Франсуа Вьета 1591 года «Новой алгебры» , и даже в ней были некоторые прописанные слова, которым были даны символы в «Геометрии» Декарта 1637 года . Формальное изучение решения символических уравнений привело Леонарда Эйлера в конце 18 века к принятию того, что тогда считалось «бессмысленными» корнями, такими как отрицательные числа и мнимые числа . Однако европейские математики по большей части сопротивлялись этим концепциям вплоть до середины XIX века.

Джорджа Пикока 1830 года «Трактат по алгебре» был первой попыткой поставить алгебру на строго символическую основу. Он выделил новую символическую алгебру , отличную от старой арифметической алгебры . Тогда как в арифметической алгебре $a-b$ ограничивается $a\geq b$, в символической алгебре все правила операций выполняются без ограничений. Используя этот Павлин, можно было бы показать такие законы, как $(-a)(-b)=ab$, позволяя $a=0,c=0$ в $(a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc$. Пикок использовал то, что он назвал принципом постоянства эквивалентных форм , чтобы обосновать свой аргумент, но его рассуждения страдали от проблемы индукции . Например, ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ справедливо для неотрицательных действительных чисел , но не для общих комплексных чисел .

Ранняя теория групп

Основная статья: История теории групп

Несколько областей математики привели к изучению групп. Исследование Лагранжем в 1770 году решений уравнения пятой степени привело к созданию группы Галуа многочлена . Исследование Гауссом в 1801 году малой теоремы Ферма привело к кольцу целых чисел по модулю n , мультипликативной группе целых чисел по модулю n и к более общим понятиям циклических групп и абелевых групп . Кляйна в Эрлангене 1872 года Программа изучала геометрию и привела к таким группам симметрии, как евклидова группа и группа проективных преобразований . В 1874 году Ли представил теорию групп Ли , стремясь к «теории Галуа дифференциальных уравнений». В 1876 году Пуанкаре и Кляйн ввели группу преобразований Мёбиуса и ее подгруппы, такие как модулярная группа и фуксова группа , на основе работ по автоморфным функциям в анализе.

Абстрактная концепция группы медленно возникла в середине девятнадцатого века. Галуа в 1832 году первым употребил термин «группа». что означает совокупность перестановок, замкнутых по композиции. В статье Артура Кэли 1854 года «О теории групп» группа определялась как множество с операцией ассоциативной композиции и тождеством 1, которое сегодня называется моноидом . В 1870 году Кронекер определил абстрактную бинарную операцию, которая была замкнутой, коммутативной, ассоциативной и имела свойство отмены слева. $b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c$, аналогичны современным законам для конечной абелевой группы . Определение группы, данное Вебером в 1882 году, представляло собой закрытую бинарную операцию, которая была ассоциативной и имела левое и правое сокращение. Вальтер фон Дейк в 1882 году был первым, кто потребовал обратные элементы как часть определения группы.

Как только появилась эта абстрактная концепция группы, результаты были переформулированы в этой абстрактной обстановке. Например, теорема Силова была опровергнута Фробениусом в 1887 году непосредственно на основе законов конечной группы, хотя Фробениус заметил, что эта теорема следует из теоремы Коши о группах подстановок и того факта, что каждая конечная группа является подгруппой группы подстановок. Отто Гёльдер был особенно плодовитым в этой области, определив факторгруппы в 1889 году, групповые автоморфизмы в 1893 году, а также простые группы. Он также завершил теорему Джордана-Гёльдера . Дедекинд и Миллер независимо охарактеризовали гамильтоновы группы и ввели понятие коммутатора двух элементов. Бернсайд, Фробениус и Молиен создали теорию представлений конечных групп в конце девятнадцатого века. В монографии Ж. А. де Сегье 1905 года «Элементы теории абстрактных групп» многие из этих результатов были представлены в абстрактной, общей форме, отнеся «конкретные» группы в приложение, хотя оно и ограничивалось конечными группами. » О. К. Шмидта 1916 года Первой монографией как о конечных, так и о бесконечных абстрактных группах была «Абстрактная теория групп .

Ранняя теория колец

См. Также: Теория колец § История и Кольцо (математика) § История.

Некоммутативная теория колец началась с расширения комплексных чисел до гиперкомплексных чисел , в частности, Уильяма Роуэна Гамильтона в кватернионов 1843 году. Вскоре последовали многие другие системы счисления. В 1844 году Гамильтон представил бикватернионы , Кэли ввёл октонионы , а Грассман ввёл внешние алгебры . Джеймс Кокл представил тессарины в 1848 году. и кокватернионы в 1849 году. Уильям Кингдон Клиффорд представил расщепленные бикватернионы в 1873 году. Кроме того, Кэли представил групповые алгебры над действительными и комплексными числами в 1854 году и квадратные матрицы в двух статьях 1855 и 1858 годов.

Раз уж примеров было достаточно, оставалось их классифицировать. В монографии 1870 года Бенджамин Пирс классифицировал более 150 гиперкомплексных систем счисления размерности ниже 6 и дал явное определение ассоциативной алгебры . Он определил нильпотентные и идемпотентные элементы и доказал, что любая алгебра содержит тот или иной элемент. Он также определил разложение Пирса . Фробениус в 1878 году и Чарльз Сандерс Пирс в 1881 году независимо доказали, что единственные конечномерные алгебры с делением над $\mathbb {R}$ были действительные числа, комплексные числа и кватернионы. В 1880-х годах Киллинг и Картан показали, что полупростые алгебры Ли можно разложить на простые, и классифицировали все простые алгебры Ли. Вдохновленные этим, в 1890-х годах Картан, Фробениус и Молиен доказали (независимо), что конечномерная ассоциативная алгебра над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ однозначно разлагается в прямые суммы нильпотентной алгебры и полупростой алгебры, являющейся произведением некоторого числа простых алгебр , квадратных матриц над алгебрами с делением. Картан был первым, кто определил такие понятия, как прямая сумма и простая алгебра, и эти концепции оказались весьма влиятельными. В 1907 году Веддерберн распространил результаты Картана на произвольное поле в том, что сейчас называется основной теоремой Веддерберна и теоремой Артина-Веддерберна .

Что касается коммутативных колец, несколько областей вместе привели к созданию теории коммутативных колец. В двух статьях 1828 и 1832 годов Гаусс сформулировал гауссовы целые числа и показал, что они образуют уникальную область факторизации (UFD), и доказал биквадратичный закон взаимности . Якоби и Эйзенштейн примерно в то же время доказали кубический закон взаимности для целых чисел Эйзенштейна . Изучение последней теоремы Ферма привело к появлению целых алгебраических чисел . В 1847 году Габриэль Ламе думал, что доказал FLT, но его доказательство было ошибочным, поскольку он предполагал, что все круговые поля были UFD, однако, как указал Куммер, $\mathbb {Q} (\zeta _{23}))$ не был УФО. В 1846 и 1847 годах Куммер ввел идеальные числа и доказал уникальную факторизацию в идеальные простые числа для круговых полей. Дедекинд расширил это в 1871 году, чтобы показать, что каждый ненулевой идеал в области целых чисел поля алгебраических чисел является уникальным произведением простых идеалов , предшественник теории областей Дедекинда . В целом, работа Дедекинда создала предмет алгебраической теории чисел .

В 1850-х годах Риман ввёл фундаментальное понятие римановой поверхности . Методы Римана основывались на предположении, которое он назвал принципом Дирихле . которое в 1870 г. было подвергнуто сомнению Вейерштрассом. Намного позже, в 1900 году, Гильберт обосновал подход Римана, разработав прямой метод вариационного исчисления . В 1860-1870-х годах Клебш, Гордан, Брилль и особенно М. Нётер изучали алгебраические функции и кривые. В частности, Нётер исследовала, какие условия необходимы для того, чтобы многочлен был элементом идеала, порожденного двумя алгебраическими кривыми в кольце полиномов. $\mathbb {R} [x,y]$, хотя Нётер не пользовалась этим современным языком. В 1882 году Дедекинд и Вебер, по аналогии с более ранними работами Дедекинда по теории алгебраических чисел, создали теорию полей алгебраических функций , которая позволила дать первое строгое определение римановой поверхности и строгое доказательство теоремы Римана-Роха . Кронекер в 1880-х годах, Гильберт в 1890 году, Ласкер в 1905 году и Маколи в 1913 году продолжили исследование идеалов колец многочленов, неявно заложенных в Э. Нётер работах . Ласкер доказал частный случай теоремы Ласкера-Нётер , а именно, что каждый идеал в кольце многочленов является конечным пересечением первичных идеалов . Маколей доказал единственность этого разложения. В целом эта работа привела к развитию алгебраической геометрии .

В 1801 году Гаусс ввёл двоичные квадратичные формы над целыми числами и определил их эквивалентность . Далее он определил дискриминант этих форм, который является инвариантом двоичной формы . Между 1860-ми и 1890-ми годами теория инвариантов развивалась и стала основной областью алгебры. Кэли, Сильвестр, Гордан и другие нашли якобиан и гессиан для бинарных форм четвертой степени и кубических форм. В 1868 г. Гордан доказал, что градуированная алгебра инвариантов бинарной формы над комплексными числами конечно порождена, т. е. имеет базис. Гильберт написал диссертацию об инвариантах в 1885 году, а в 1890 году показал, что любая форма любой степени или числа переменных имеет основу. В 1890 году он расширил это до базовой теоремы Гильберта .

После того как эти теории были разработаны, прошло еще несколько десятилетий, прежде чем появилась абстрактная концепция кольца. Первое аксиоматическое определение было дано Абрахамом Френкелем в 1914 году. Его определение состояло в основном из стандартных аксиом: множества с двумя операциями сложения, образующими группу (не обязательно коммутативную), и умножения, которое является ассоциативным, распределяется по сложению и имеет единичный элемент. Кроме того, у него были две аксиомы о «регулярных элементах», вдохновленные работой над p-адическими числами , которые исключали теперь распространенные кольца, такие как кольцо целых чисел. Это позволило Френкелю доказать, что сложение коммутативно. Работа Френкеля была направлена ​​на перенос определения полей Стейница 1910 года на кольца, но она не была связана с существующими работами по конкретным системам. Определение Масазо Соно 1917 года было первым эквивалентом нынешнего.

В 1920 году Эмми Нётер в сотрудничестве с В. Шмейдлером опубликовала работу о теории идеалов , в которой определили левый и правый идеалы в кольце . В следующем году она опубликовала знаковую статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen (« Идеальная теория в кольцах» ), в которой анализировались условия восходящей цепи с учетом (математических) идеалов. Публикация породила термин « нётерово кольцо », а также несколько других математических объектов, названных нётеровскими . Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; Было показано, что результаты, которые казались неразрывно связанными со свойствами колец полиномов, следуют из единственной аксиомы. Артин, вдохновленный работой Нётер, придумал условие нисходящей цепи . Эти определения ознаменовали рождение абстрактной теории колец.

Ранняя теория поля

Основная статья: Область (математика) § История

В 1801 году Гаусс ввёл целые числа по модулю p , где p — простое число. Галуа распространил это в 1830 году на конечные поля с $p^{n}$ элементы. В 1871 году Ричард Дедекинд представил для набора действительных или комплексных чисел, замкнутого четырьмя арифметическими операциями, немецкое , которое означает « тело слово Körper » или «корпус» (что означает органически закрытую сущность). Английский термин «поле» был введен Муром в 1893 году. В 1881 году Леопольд Кронекер определил то, что он назвал областью рациональности представляет собой область рациональных дробей . , которая в современных терминах Первое четкое определение абстрактного поля было дано Генрихом Мартином Вебером в 1893 году. В нем отсутствовал ассоциативный закон умножения, но оно охватывало конечные поля, а также поля теории алгебраических чисел и алгебраической геометрии. В 1910 году Стейниц синтезировал накопленные к настоящему времени знания абстрактной теории поля. Он дал аксиоматическое определение полям в современном понимании, классифицировал их по характеристикам и доказал множество теорем, часто встречающихся сегодня.

Другие основные направления

• Решение систем линейных уравнений , приведшее к линейной алгебре

Современная алгебра

В конце 19 — начале 20 веков произошел сдвиг в методологии математики. Абстрактная алгебра возникла примерно в начале 20-го века под названием « современная алгебра» . Его изучение было частью стремления к большей интеллектуальной строгости в математике. Первоначально предположения в классической алгебре , от которых зависит вся математика (и основные части естественных наук ), приняли форму аксиоматических систем . Не довольствуясь установлением свойств конкретных объектов, математики начали обращать внимание на общую теорию. Формальные определения некоторых алгебраических структур начали появляться в 19 веке. Например, результаты о различных группах перестановок стали рассматриваться как примеры общих теорем, касающихся общего понятия абстрактной группы . На первый план вышли вопросы строения и классификации различных математических объектов.

Эти процессы происходили во всей математике, но особенно ярко проявились в алгебре. Формальное определение посредством примитивных операций и аксиом было предложено для многих основных алгебраических структур, таких как группы , кольца и поля . Следовательно, такие понятия, как теория групп и теория колец, заняли свое место в чистой математике . Алгебраические исследования общих полей Эрнста Стейница и коммутативных, а затем общих колец Давида Гильберта , Эмиля Артина и Эмми Нётер , основанные на работах Эрнста Куммера , Леопольда Кронекера и Рихарда Дедекинда , которые рассматривали идеалы в коммутативных кольцах, и Георг Фробениус и Иссаи Шур , занимаясь теорией представлений групп, пришли к определению абстрактной алгебры. Эти разработки последней четверти XIX и первой четверти XX веков были систематически изложены в Бартеля ван дер Вардена » «Современной алгебре , двухтомной монографии, опубликованной в 1930–1931 годах, которая переориентировала идею алгебры из теории алгебры. уравнения к теории алгебраических структур .

Основные понятия

Основная статья: Алгебраическая структура

Абстрагируя различное количество деталей, математики определили различные алгебраические структуры, которые используются во многих областях математики. Например, почти все изучаемые системы представляют собой множества , к которым применимы теоремы теории множеств . Те множества, над которыми определена определенная бинарная операция, образуют магмы , к которым применимы понятия, касающиеся магм, а также понятия, касающиеся множеств. Мы можем добавить дополнительные ограничения на алгебраическую структуру, такие как ассоциативность (для формирования полугрупп ); тождество и инверсия (для образования групп ); и другие более сложные конструкции. При наличии дополнительной структуры можно было бы доказать больше теорем, но общность снизится. «Иерархия» алгебраических объектов (с точки зрения общности) создает иерархию соответствующих теорий: например, теоремы теории групп могут быть использованы при изучении колец (алгебраических объектов, имеющих две бинарные операции с определенными аксиомами), поскольку кольцо представляет собой группу над одной из своих операций. В целом существует баланс между степенью общности и богатством теории: более общие структуры обычно имеют меньше нетривиальные теоремы и меньше приложений.

Алгебраические структуры между магмами и группами . Например, моноиды — это полугруппы с единицей.

Примеры алгебраических структур с одной бинарной операцией :

• Магма
• Квазигруппа
• Моноид
• Полугруппа
• Группа

Примеры, включающие несколько операций, включают:

• Кольцо
• Поле
• Модуль
• Векторное пространство
• Алгебра над полем
• Ассоциативная алгебра
• Алгебра Ли
• Решетка
• Булева алгебра

Разделы абстрактной алгебры

Теория групп

Основная статья: Теория групп

Группа – это набор $G$ вместе с «групповым произведением» — бинарная операция $\cdot :G\times G\rightarrow G$. Группа удовлетворяет следующим определяющим аксиомам (см. Группа (математика) § Определение ):

Идентичность : существует элемент $e$ такая, что для каждого элемента $a$ в $G$, он утверждает, что $e\cdot a=a\cdot e=a$.

Обратный : для каждого элемента $a$ из $G$, существует элемент $b$ так что $a\cdot b=b\cdot a=e$.

Ассоциативность : для каждой тройки элементов $a,b,c$ в $G$, он утверждает, что $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Теория колец

Основная статья: Теория колец

Кольцо — это комплект $R$ с двумя бинарными операциями , сложение: $(x,y)\mapsto x+y,$ и умножение: $(x,y)\mapsto xy$ удовлетворяющие следующим аксиомам .

• $R$ является коммутативной группой по сложению.
• $R$ является моноидом при умножении.
• Умножение распределительно по отношению к сложению.

Приложения

Из-за своей общности абстрактная алгебра используется во многих областях математики и естественных наук. Например, алгебраическая топология использует алгебраические объекты для изучения топологий. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2003 году, утверждает, что фундаментальная группа многообразия, которая кодирует информацию о связности, может использоваться для определения того, является ли многообразие сферой или нет. Алгебраическая теория чисел изучает различные числовые кольца , обобщающие множество целых чисел. Используя инструменты алгебраической теории чисел, Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма .

В физике группы используются для представления операций симметрии, а использование теории групп может упростить дифференциальные уравнения. В калибровочной теории требование локальной симметрии можно использовать для вывода уравнений, описывающих систему. Группы, описывающие эти симметрии, являются группами Ли , и изучение групп Ли и алгебр Ли многое говорит о физической системе; например, число носителей силы в теории равно размерности алгебры Ли, и эти бозоны взаимодействуют с силой, которую они опосредуют, если алгебра Ли неабелева.

См. также

Основная статья: Список тем абстрактной алгебры

• Теория кодирования
• Теория групп
• Список публикаций по абстрактной алгебре

Ссылки

Библиография

• Грей, Джереми (2018). История абстрактной алгебры: от алгебраических уравнений к современной алгебре . Серия Springer по математике для студентов. Чам, Швейцария. дои : 10.1007/978-3-319-94773-0 . ISBN  978-3-319-94773-0 . S2CID   125927783 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Кимберлинг, Кларк (1981). «Эмми Нётер и ее влияние». В Брюэре, Джеймс В.; Смит, Марта К. (ред.). Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и творчеству . Марсель Деккер . стр. 3–61.
• Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4685-1 . ISBN  978-0-8176-4685-1 .
• Монна, AF (1975), Принцип Дирихле: математическая комедия ошибок и ее влияние на развитие анализа , Остхук, Шелтема и Холкема, ISBN  978-9031301751

Дальнейшее чтение

• Алленби, RBJT (1991), Кольца, поля и группы , Баттерворт-Хейнеманн, ISBN  978-0-340-54440-2
• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл , ISBN  978-0-89871-510-1
• Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (1999) [1981], Курс универсальной алгебры
• Гилберт, Джимми; Гилберт, Линда (2005), Элементы современной алгебры , Томсон Брукс/Коул, ISBN  978-0-534-40264-8
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556
• Сетураман, BA (1996), Кольца, поля, векторные пространства и теория групп: введение в абстрактную алгебру посредством геометрической конструктивности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94848-5
• Уайтхед, К. (2002), Руководство по абстрактной алгебре (2-е изд.), Houndmills: Palgrave, ISBN  978-0-333-79447-0
• В. Кейт Николсон (2012) Введение в абстрактную алгебру , 4-е издание, John Wiley & Sons ISBN   978-1-118-13535-8 .
• Джон Р. Дурбин (1992) Современная алгебра: введение , John Wiley & Sons

Внешние ссылки

• Чарльз К. Пинтер (1990) [1982] Книга абстрактной алгебры , второе издание, из Университета Мэриленда.