Распределение полукруга Вигнера

Полукруг Вигнера

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$R>0\!$ радиус ( реальный )
Поддерживать	$x\in [-R;+R]\!$
PDF	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!$
CDF	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!$ для $-R\leq x\leq R$
Иметь в виду	$0\,$
медиана	$0\,$
Режим	$0\,$
Дисперсия	${\frac {R^{2}}{4}}\!$
асимметрия	$0\,$
Избыточный эксцесс	$-1\,$
Энтропия	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,$
МГФ	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}$
CF	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}$

Распределение полукруга Вигнера , названное в честь физика Юджина Вигнера , представляет собой распределение вероятностей на [− R , R ], чья функция плотности вероятности f представляет собой масштабированный полукруг (т. е. полуэллипс) с центром в (0, 0):

$f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,$

для − R ≤ x ≤ R и f ( x ) = 0, если |x| > Р. ​Параметр R обычно называют параметром «радиуса» распределения.

Распределение возникает как предельное распределение собственных значений многих случайных симметричных матриц , то есть когда размеры случайной матрицы стремятся к бесконечности. Распределение промежутков или промежутков между собственными значениями рассматривается в одноименной гипотезе Вигнера .

Общие свойства

нечетного порядка Из-за симметрии все моменты распределения Вигнера равны нулю. Для натуральных чисел n -й момент 2 n этого распределения равен

${\frac {1}{n+1}}\left({R \over 2}\right)^{2n}{2n \choose n}\,$

В типичном частном случае, когда R = 2 , эта последовательность совпадает с каталонскими числами 1, 2, 5, 14 и т. д. В частности, второй момент равен Р ² ⁄ 4 и четвертый момент Р ⁴ ⁄ 8 , что показывает, что избыточный эксцесс равен −1 . Как можно вычислить с помощью теоремы о вычетах , преобразование Стилтьеса распределения Вигнера определяется выражением

$s(z)=-{\frac {2}{R^{2}}}(z-{\sqrt {z^{2}-R^{2}}})$

для комплексных чисел z с положительной мнимой частью, где комплексный квадратный корень имеет положительную мнимую часть.

Распределение Вигнера совпадает с масштабированным и сдвинутым бета-распределением : если Y — бета-распределенная случайная величина с параметрами α = β = 3 ⁄ 2 , то случайная величина 2 RY – R имеет распределение полукруга Вигнера с радиусом R . С помощью этого преобразования можно напрямую вычислить некоторые статистические величины для распределения Вигнера в терминах более известных бета-распределений. В частности, можно напрямую восстановить характеристическую функцию распределения Вигнера по функции Y :

$\varphi (t)=e^{-iRt}\varphi _{Y}(2Rt)=e^{-iRt}{}_{1}F_{1}\left({\frac {3}{2}};3;2iRt\right)={\frac {2J_{1}(Rt)}{Rt}},$

где ₁ F ₁ — вырожденная гипергеометрическая функция , а J ₁ — функция Бесселя первого рода . Аналогично, производящую функцию момента можно рассчитать как

$M(t)=e^{-Rt}M_{Y}(2Rt)=e^{-Rt}{}_{1}F_{1}\left({\frac {3}{2}};3;2Rt\right)={\frac {2I_{1}(Rt)}{Rt}}$

где I ₁ — модифицированная функция Бесселя первого рода . Итоговые равенства в обеих приведенных строках представляют собой хорошо известные тождества, связывающие вырожденную гипергеометрическую функцию с функциями Бесселя.

Полиномы Чебышева третьего рода являются ортогональными полиномами относительно распределения полукругов Вигнера радиуса 1 .

Связь со свободной вероятностью

В свободной теории вероятностей роль полукругового распределения Вигнера аналогична роли нормального распределения в классической теории вероятностей. А именно,в свободной теории вероятностей роль кумулянтов занимают «свободные кумулянты», отношение которых к обычным кумулянтам просто состоит в том, что роль множества всех разбиений конечного множества в теории обычных кумулянтов заменяется множеством всех непересекающиеся разбиения конечного множества. Точно так же, как все кумулянты степени более 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение нормально, так и все свободные кумулянты степени более 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение Распределение полукруга Вигнера.

См. также

• Предположение Вигнера
• Распределение полукруга Вигнера является пределом распределений Кестена – Маккея , поскольку параметр d стремится к бесконечности.
• В теоретико-числовой литературе распределение Вигнера иногда называют распределением Сато – Тейта. См. гипотезу Сато – Тейта .
• Распределение Марченко – Пастура или распределение свободного Пуассона

Ссылки

• Андерсон, Грег В.; Гионне, Алиса ; Зейтуни, Офер (2010). Введение в случайные матрицы . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 118. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511801334 . ISBN  978-0-521-19452-5 . МР   2670897 . Збл   1184.15023 .
• Бай, Чжидун; Сильверстайн, Джек В. (2010). Спектральный анализ случайных матриц большой размерности . Серия Springer по статистике (второе издание оригинальной редакции 2006 г.). Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4419-0661-8 . ISBN  978-1-4419-0660-1 . МР   2567175 . Збл   1301.60002 .
• Джонсон, Норман Л .; Коц, Сэмюэл ; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения. Том 2 . Серия Уайли по вероятности и математической статистике: прикладная вероятность и статистика (второе издание оригинального издания 1970 г.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-58494-0 . МР   1326603 . Збл   0821.62001 .
• Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел В.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-14063-8 . МР   2723248 . Збл   1198.00002 .
• Вигнер, Юджин П. (1955). «Характеристические векторы граничных матриц бесконечных размерностей». Анналы математики . Вторая серия. 62 (3): 548–564. дои : 10.2307/1970079 . МР   0077805 . Збл   0067.08403 .

Внешние ссылки

• Эрик В. Вайсштейн и др., Полукруг Вигнера