Геометрическое исчисление

Не путать с матричным исчислением или векторным исчислением .

В математике геометрическое исчисление расширяет геометрическую алгебру , включив в нее дифференцирование и интегрирование . Этот формализм является мощным и может быть показано, что он охватывает другие математические теории, включая векторное исчисление , дифференциальную геометрию и дифференциальные формы .

Дифференциация

Имея заданную геометрическую алгебру, пусть $a$ и $b$ быть векторами и пусть $F$ — многовекторная -значная функция вектора. Производная направлению по $F$ вдоль $b$ в $a$ определяется как

$(\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},$

при условии, что предел существует для всех $b$, где предел взят для скаляра $\epsilon$. Это похоже на обычное определение производной по направлению, но расширяет его до функций, которые не обязательно являются скалярными.

Далее выберите набор базисных векторов $\{e_{i}\}$ и рассмотрим операторы, обозначенные $\partial _{i}$, которые выполняют производные по направлению в направлениях $e_{i}$:

$\partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).$

Затем, используя обозначения суммирования Эйнштейна , рассмотрим оператор:

$e^{i}\partial _{i},$

что означает

$F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,$

где геометрическое произведение применяется после производной по направлению. Более подробно:

$F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).$

Этот оператор не зависит от выбора системы отсчета и, таким образом, может использоваться для определения того, что в геометрическом исчислении называется производной вектора :

$\nabla =e^{i}\partial _{i}.$

Это похоже на обычное определение градиента , но оно также распространяется на функции, которые не обязательно являются скалярными.

Производная по направлению линейна относительно своего направления, то есть:

$\nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.$

Отсюда следует, что производная по направлению является скалярным произведением своего направления на векторную производную. Все, что необходимо учитывать, это то, что направление $a$ можно написать $a=(a\cdot e^{i})e_{i}$, так что:

$\nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .$

По этой причине, $\nabla _{a}F(x)$ часто отмечается $a\cdot \nabla F(x)$.

Стандартный порядок действий для векторной производной таков: она действует только на функцию, ближайшую к ней непосредственно справа. Даны две функции $F$ и $G$, то, например, мы имеем

$\nabla FG=(\nabla F)G.$

Правило продукта

Хотя частная производная подчиняется правилу произведения , векторная производная лишь частично наследует это свойство. Рассмотрим две функции $F$ и $G$:

${\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}$

Поскольку геометрическое произведение не коммутативно с $e^{i}F\neq Fe^{i}$ в общем, чтобы продолжить, нам нужны новые обозначения. Решение состоит в том, чтобы принять с точкой обозначение , в которой областью действия векторной производной с точкой является многовекторная функция, имеющая одну и ту же точку. В этом случае, если мы определим

${\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),$

тогда правило произведения для векторной производной будет

$\nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.$

Внутренняя и внешняя производная

Позволять $F$ быть $r$-классная многовекторность. Тогда мы можем определить дополнительную пару операторов, внутреннюю и внешнюю производные,

$\nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,$

$\nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.$

В частности, если $F$ имеет степень 1 (векторная функция), то мы можем написать

$\nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F$

и определим расхождение и завиток как

$\nabla \cdot F=\operatorname {div} F,$

$\nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.$

В отличие от векторной производной, ни оператор внутренней производной, ни оператор внешней производной не являются обратимыми.

Многовекторная производная

Производная по вектору, как обсуждалось выше, может быть обобщена до производной по общему мультивектору, называемой мультивекторной производной .

Позволять $F$ — многовекторная функция многовектора. Производная по направлению $F$ относительно $X$ в направлении $A$, где $X$ и $A$ являются мультивекторами, определяется как

$A*\partial _{X}F(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F(X+\epsilon A)-F(X)}{\epsilon }}\ ,$

где $A*B=\langle AB\rangle$ скалярное произведение . С $\{e_{i}\}$ векторный базис и $\{e^{i}\}$ соответствующий дуальный базис , многовекторная производная определяется через производную по направлению как

${\frac {\partial }{\partial X}}=\partial _{X}=\sum _{i<\dots <j}e^{i}\wedge \cdots \wedge e^{j}(e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{i})*\partial _{X}\ .$

Это уравнение просто выражает $\partial _{X}$ с точки зрения компонентов взаимного базиса лопаток, как обсуждается в разделе статьи Геометрическая алгебра # Двойной базис .

Ключевое свойство многовекторной производной состоит в том, что

$\partial _{X}\langle XA\rangle =P_{X}(A)\ ,$

где $P_{X}(A)$ это проекция $A$ на оценки, содержащиеся в $X$.

Многовекторная производная находит приложения в лагранжевой теории поля .

Интеграция

Позволять $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ быть набором базисных векторов, охватывающих $n$-мерное векторное пространство. Из геометрической алгебры мы интерпретируем псевдоскаляр $e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ быть подписанным томом $n$- параллелоэдр, опирающийся на эти базисные векторы. Если базисные векторы ортонормированы , то это единичный псевдоскаляр.

В более общем смысле мы можем ограничиться подмножеством $k$ базисных векторов, где $1\leq k\leq n$, для обработки длины, площади или других общих $k$-объем подпространства в целом $n$-мерное векторное пространство. Обозначим эти выбранные базисные векторы через $\{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}$. Генерал $k$-объем $k$-параллелотоп, опирающийся на эти базисные векторы, является оценкой $k$ многовекторный $e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}$.

В более общем плане мы можем рассмотреть новый набор векторов $\{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}$ пропорционально $k$ базисные векторы, где каждый из $\{x^{i_{j}}\}$ — это компонент, который масштабирует один из базисных векторов. Мы вольны выбирать настолько бесконечно малые компоненты, насколько пожелаем, при условии, что они остаются ненулевыми. Поскольку внешний продукт этих термов можно интерпретировать как $k$-объем, естественным способом определения меры является

${\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}$

Таким образом, мера всегда пропорциональна единичному псевдоскаляру $k$-мерное подпространство векторного пространства. Сравните риманову форму объема в теории дифференциальных форм. Интеграл берется по этой мере:

$\int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.$

Более формально, рассмотрим некоторый направленный объем $V$ подпространства. Мы можем разделить этот объем на сумму симплексов . Позволять $\{x_{i}\}$ - координаты вершин. Каждой вершине присваиваем меру $\Delta U_{i}(x)$ как средняя мера симплексов, разделяющих одну вершину. Тогда интеграл от $F(x)$ относительно $U(x)$ над этим объемом получается в пределе более тонкого разбиения объема на более мелкие симплексы:

$\int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).$

Основная теорема геометрического исчисления

Причина определения векторной производной и интеграла, как указано выше, заключается в том, что они допускают сильное обобщение теоремы Стокса . Позволять ${\mathsf {L}}(A;x)$ быть многовекторной функцией от $r$-оценка ввода $A$ и общее положение $x$, линейный по первому аргументу. Тогда основная теорема геометрического исчисления связывает интеграл производной по объему $V$ к интегралу по его границе:

$\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).$

В качестве примера позвольте ${\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle$ для векторной функции $F(x)$ и ( $n-1$) многовекторного уровня $A$. Мы находим это

${\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}$

Так же,

${\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}$

Таким образом, мы восстанавливаем теорему о расходимости ,

$\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.$

Ковариантная производная

Достаточно гладкая $k$-поверхность в $n$-мерное пространство считается многообразием . К каждой точке многообразия можно присоединить $k$-лезвие $B$ то, что касается многообразия. Локально, $B$ действует как псевдоскаляр $k$-мерное пространство. Эта лопасть определяет проекцию векторов на многообразие:

${\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.$

Так же, как векторная производная $\nabla$ определяется на протяжении всего $n$-мерное пространство, мы можем захотеть определить внутреннюю производную $\partial$, локально определенный на многообразии:

$\partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.$

(Примечание: правая часть вышеизложенного не может лежать в касательном пространстве к многообразию. Следовательно, это не то же самое, что ${\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)$, которое обязательно лежит в касательном пространстве.)

Если $a$ является вектором, касательным к многообразию, то действительно и векторная производная, и внутренняя производная дают одну и ту же производную по направлению:

$a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.$

Хотя эта операция вполне допустима, она не всегда полезна, поскольку $\partial F$ само по себе не обязательно находится на многообразии. Поэтому мы определяем ковариантную производную как вынужденную проекцию внутренней производной обратно на многообразие:

$a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).$

Поскольку любой общий мультивектор можно выразить как сумму проекции и отклонения, в этом случае

$a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),$

мы вводим новую функцию — тензор формы ${\mathsf {S}}(a)$, что удовлетворяет

$F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),$

где $\times$ является коммутаторным произведением . В локальных координатах $\{e_{i}\}$ охватывающую касательную поверхность, тензор формы определяется выражением

${\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).$

Важно отметить, что на общем многообразии ковариантная производная не коммутирует. В частности, коммутатор связан с тензором формы соотношением

$[a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.$

Очевидно, что термин ${\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)$ представляет интерес. Однако она, как и внутренняя производная, не обязательно находится на многообразии. Следовательно, мы можем определить тензор Римана как проекцию обратно на многообразие:

${\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).$

Наконец, если $F$ имеет сорт $r$, то мы можем определить внутренние и внешние ковариантные производные как

$D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},$

$D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},$

то же самое и для внутренней производной.

Связь с дифференциальной геометрией

На многообразии локально мы можем назначить касательную поверхность, натянутую набором базисных векторов. $\{e_{i}\}$. Мы можем связать компоненты метрического тензора , символы Кристоффеля и тензор кривизны Римана следующим образом:

$g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},$

$\Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},$

$R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.$

Эти отношения включают теорию дифференциальной геометрии в геометрическое исчисление.

Отношение к дифференциальным формам

В местной системе координат ( $x^{1},\ldots ,x^{n}$), координатные дифференциалы $dx^{1}$, ..., $dx^{n}$ образуют базовый набор одноформ внутри координатной диаграммы . Учитывая мультииндекс $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ с $1\leq i_{p}\leq n$ для $1\leq p\leq k$, мы можем определить $k$-форма

$\omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.$

В качестве альтернативы мы можем ввести $k$-классный многовекторный $A$ как

$A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}$

и мера

${\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}$

Помимо тонкой разницы в значении внешнего произведения по отношению к дифференциальным формам и внешнего произведения по отношению к векторам (в первом случае приращения являются ковекторами, тогда как во втором они представляют собой скаляры), мы видим соответствия дифференциальной формы

$\omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },$

его производная

$d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },$

и его двойник Ходжа

$\star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,$

внедрить теорию дифференциальных форм в геометрическое исчисление.

История

Ниже приводится диаграмма, обобщающая историю геометрического исчисления.

История геометрического исчисления.

Ссылки и дальнейшее чтение

• Макдональд, Алан (2012). Векторное и геометрическое исчисление . Чарльстон: CreateSpace. ISBN  9781480132450 . OCLC   829395829 .