Угловая трисекция

Углы можно разделить на три части с помощью конструкции neusis, используя инструменты, помимо немаркированной линейки и циркуля. В примере показано трисекция любого угла $θ > .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 3π / 4 ⁠$ линейкой длиной, равной радиусу круга, что дает трисекционный угол $φ = ⁠ θ / 3 ⁠$ .

Трисекция угла — классическая задача построения линейки и циркуля древнегреческой математики . Речь идет о построении угла, равного одной трети заданного произвольного угла, с использованием всего двух инструментов: немаркированной линейки и циркуля .

В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что поставленную задачу невозможно решить для произвольных углов. на три части тривиально Однако некоторые специальные углы можно разделить на три части: например, разделить прямой угол .

Произвольный угол можно разделить на три части, используя другие инструменты, кроме линейки и циркуля. Например, конструкция неусиса , также известная древним грекам, предполагает одновременное скольжение и вращение отмеченной линейки, чего невозможно добиться оригинальными инструментами. Другие методы разрабатывались математиками на протяжении веков.

Поскольку проблема трисекции угла определена в простых терминах, но ее сложно доказать, что она неразрешима, она является частым предметом псевдоматематических попыток решения наивных энтузиастов. Эти «решения» часто включают ошибочную интерпретацию правил или просто неверны. ^[1]

Предыстория и постановка проблемы

Биссекция углов произвольных уже давно решена.

Используя только немаркированную линейку и циркуль, греческие математики нашли способы разделить линию на произвольный набор равных отрезков, провести параллельные линии, разделить углы пополам , построить множество многоугольников и построить квадраты , площадь которых равна или вдвое больше заданный многоугольник.

Три задачи оказались неразрешимыми, а именно: разделение угла на три части, удвоение куба и квадратура круга . Задача о трисекции угла гласит:

Постройте угол , равный одной трети заданного произвольного угла (или разделите его на три равных угла), используя всего два инструмента:

немаркированная линейка и
компас.

Доказательство невозможности

Правители . Отображенные отмечены — идеальная линейка не отмечена

Пьер Ванцель опубликовал доказательство невозможности классического разделения произвольного угла на три части в 1837 году. ^[2] Доказательство Ванцеля, переформулированное в современной терминологии, использует концепцию расширения полей , тему, которую сейчас обычно объединяют с теорией Галуа . Однако Ванцель опубликовал эти результаты раньше, чем Эварист Галуа (работа которого, написанная в 1830 г., была опубликована только в 1846 г.) и не использовал понятия, введенные Галуа. ^[3]

Задача построения угла заданной меры $θ$ эквивалентна построению двух отрезков, отношение их длин равно $cos θ$ . От решения одной из этих двух задач можно перейти к решению другой с помощью построения циркуля и линейки. Формула тройного угла дает выражение, связывающее косинусы исходного угла и его трисекции: $cos θ$ = $4 cos 3 ⁠ θ / 3 ⁠ - 3 потому что ⁠ θ / 3 ⁠$ .

Отсюда следует, что для сегмента, длина которого определена как единица, задача трисекции угла эквивалентна построению сегмента, длина которого является корнем кубического многочлена . Эта эквивалентность сводит исходную геометрическую задачу к чисто алгебраической задаче.

Каждое рациональное число конструктивно. Каждое иррациональное число , которое можно построить за один шаг из некоторых заданных чисел, является корнем многочлена степени 2 с коэффициентами в поле, порожденном этими числами. Следовательно, любое число, которое можно построить с помощью последовательности шагов, является корнем минимального многочлена , степень которого равна степени двойки . Угол $⁠ π / 3 ⁠$ радиан (60 градусов , пишется 60°) является конструктивным . Приведенные ниже рассуждения показывают, что невозможно построить угол в 20°. Это означает, что угол 60° нельзя разделить на три части, а значит, и произвольный угол нельзя разделить на три части.

Обозначим множество рациональных чисел через $Q$ . Если бы 60° можно было разделить на три части, степень минимального многочлена $cos 20°$ над $Q$ была бы степенью двойки. Теперь пусть $x = cos 20°$ . Обратите внимание, что $cos 60°$ = $cos ⁠ π / 3 ⁠$ = $⁠ 1/2 ⁠ $ . Тогда по формуле тройного угла $cos π ⁠ / 3 = 4 х 3 - 3 x$ и, следовательно, $4 x 3 - 3 х = ⁠ 1/2 ⁠ $ . Таким образом, $8 х 3 - 6 Икс - 1 знак равно 0$ . Определите $p (t)$ как многочлен $p (t) = 8 t 3 - 6 т - 1$ .

Поскольку $x = cos 20°$ является корнем $p (t)$ , минимальный полином для $cos 20°$ является фактором $p (t)$ . Поскольку $p (t)$ имеет степень 3, если его можно сократить с помощью $Q,$ то он имеет рациональный корень . По теореме о рациональном корне этот корень должен быть $\pm1, \pm ⁠ 1 / 2 ⁠, \pm ⁠ 1/4 ⁠ $ или $\pm ⁠ 1/8 но ни одно из ⁠,$ них не является корнем. Следовательно, $p (t)$ неприводим имеет по $Q$ , а минимальный полином для $cos 20°$ степень $3$ .

Следовательно, угол измерения $60°$ нельзя разделить на три части.

Углы, которые можно разделить на три части

Однако некоторые углы можно разделить на три части. Например, для любого конструктивного угла $θ$ угол меры $3 θ$ можно тривиально разделить на три части, игнорируя данный угол и напрямую создавая угол меры $θ$ . Существуют углы, которые не являются конструктивными, но являются трисекционными (несмотря на то, что угол в одну треть сам по себе неконструируемый). Например, $⁠ 3 π / 7 ⁠$ — такой угол: пять углов меры $⁠ 3 π / 7 ⁠$ образуют угол измерения $⁠ 15 π / 7 ⁠$ , что составляет полный круг плюс искомый $⁠ π / 7 ⁠$ .

Для положительного целого числа $N$ угол измерения $⁠ 2 π / N ⁠$ делится пополам тогда и только тогда, когда $3$ не делит $N$ . ^[4]^[5] В отличие, $⁠ 2 π / N ⁠$ является конструктивным тогда и только тогда, когда $N$ является степенью $2$ или произведением степени $2$ на произведение одного или нескольких различных простых чисел Ферма .

Алгебраическая характеристика

Снова обозначим множество рациональных чисел через $Q$ .

Теорема : Угол меры $θ$ можно разделить на три части тогда и только тогда, когда $q (t) = 4 t 3 - 3 t - cos(θ)$ приводимо над расширением поля $Q (cos(θ))$ .

Доказательство представляет собой относительно прямое обобщение приведенного выше доказательства того, что $угол 60 °$ не делится пополам. ^[6]

Другое количество деталей

Для любого ненулевого целого числа $N$ угол меры $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2 π ⁄ N$ радианов можно разделить на $n$ равных частей с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда $n$ является либо степенью $2$ , либо степенью $2,$ умноженной на произведение одного или нескольких различных простых чисел Ферма, ни одно из которых не делит $N.$ . В случае трисекции ( $n = 3$ , которое является простым числом Ферма), этим условием становится вышеупомянутое требование, чтобы $N$ не делилось на $3$ . ^[5]

Другие методы

Общую проблему трисекции угла можно решить, используя дополнительные инструменты и, таким образом, выходя за рамки исходной греческой структуры циркуля и линейки.

Было предложено множество неправильных методов разделения общего угла на три части. Некоторые из этих методов обеспечивают разумные приближения; другие (некоторые из которых упомянуты ниже) используют инструменты, не разрешенные в классической задаче. Математик Андервуд Дадли подробно описал некоторые из этих неудачных попыток в своей книге «Трисекторы» . ^[1]

Приближение последовательными делениями пополам

Трисекцию можно аппроксимировать повторением метода циркуля и линейки для деления угла пополам. Геометрический ряд ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⁠ 1 / 64 ⁠ + ⁠ 1/256 или ⁠ + ⋯ ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1/16 можно . ⁠ + ⋯ использовать в качестве основы для делений пополам Аппроксимацию с любой степенью точности можно получить за конечное число шагов. ^[7]

Использование оригами

Трисекцию, как и многие конструкции, невозможные с помощью линейки и циркуля, можно легко выполнить с помощью операций складывания бумаги или оригами . Аксиомы Хузиты (типы операций складывания) могут создавать кубические расширения (кубические корни) заданной длины, тогда как линейка и циркуль могут создавать только квадратичные расширения (квадратные корни).

Использование связи

Существует ряд простых соединений , которые можно использовать для создания инструмента для разделения углов пополам, включая Трисектор Кемпе и Веер Сильвестра или Изоклиностат. ^[8]

С правильной треугольной линейкой

Трисекция угла Бибербаха (синим цветом) с помощью прямой треугольной линейки (красного цвета)

В 1932 году Людвиг Бибербах опубликовал в «Журнале чистой и прикладной математики» свою работу «О доктрине кубических конструкций» . ^[9] Он заявляет там (вольный перевод):

« Как известно... всякое кубическое построение можно свести к трисекции угла и к умножению куба, т. е. к извлечению корня третьей степени. Мне остается только показать, как можно решить эти две классические задачи. решается с помощью крючка под прямым углом » .

Построение начинается с рисования окружности, проходящей через вершину $P$ угла, который нужно разделить на три части, с центром в точке $A$ на ребре этого угла и имеющей $B$ в качестве второго пересечения с ребром. Окружность с центром в точке $P$ и того же радиуса пересекает линию, поддерживающую ребро $A$ и $O.$ в

Теперь правую треугольную линейку располагают на чертеже следующим образом: одна катет ее прямого угла проходит через $О$ ; вершина ее прямого угла помещена в точку $S$ на прямой $PC$ что вторая катушка линейки касается в точке $E$ окружности с центром в точке $A.$ таким образом , Отсюда следует, что исходный угол делится пополам линией $PE$ , и линией $PD,$ SE $и$ проходящей через $P.$ перпендикулярной Эту линию можно провести либо снова используя правую треугольную линейку, либо используя традиционную линейку и циркуль . С помощью подобной конструкции можно улучшить расположение $E$ , воспользовавшись тем, что это пересечение линии $SE$ проходящего через $A.$ и ее перпендикуляра ,

Доказательство: необходимо доказать равенства углов. ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ и ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ Три линии $OS$ , $PD$ и $AE$ параллельны. Поскольку отрезки $OP$ и $PA$ равны, эти три параллельные прямые ограничивают два равных отрезка на каждой второй секущей линии, в частности на их общем перпендикуляре $SE$ . Таким образом, $' = D' E SD,$ где $D'$ — пересечение прямых $PD$ и $SE$ . Отсюда следует, что PD $'S и что$ PD'E $конгруэнтны треугольники прямоугольные$ , а значит, ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ первое желаемое равенство. С другой стороны, треугольник $ПАЕ$ равнобедренный , так как все радиусы круга равны; это подразумевает, что ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ У одного также есть ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ поскольку эти два угла являются альтернативными углами поперечной к двум параллельным прямым. Это доказывает второе желаемое равенство и, следовательно, корректность конструкции.

Со вспомогательной кривой

Трисекция по спирали Архимеда.
Трисекция с использованием трисектрисы Маклорена.

Существуют определенные кривые, называемые трисектрисами , которые, если их нарисовать на плоскости другими методами, можно использовать для разделения произвольных углов пополам. ^[10] Примеры включают трисектрису Колена Маклорена , заданную в декартовых координатах неявным уравнением.

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

и спираль Архимеда . Фактически, спираль можно использовать для разделения угла на любое количество равных частей.Архимед описал, как разделить угол пополам с помощью спирали Архимеда в книге «На спиралях» около 225 г. до н.э.

С отмеченной линейкой

Другой способ разделить произвольный угол на три части на «маленький» шаг за пределами греческих рамок — это использовать линейку с двумя отметками на заданном расстоянии друг от друга. Следующая конструкция первоначально принадлежит Архимеду и называется конструкцией Нейсиса , т. е. которая использует инструменты, отличные от немаркированной линейки. На диаграммах, которые мы используем, эта конструкция показана для острого угла, но она действительно работает для любого угла до 180 градусов.

Для этого требуются три факта из геометрии (справа):

Любой полный набор углов на прямой равен 180°.
Сумма углов любого треугольника равна 180°, а ,
Любые две равные стороны равнобедренного треугольника встретятся с третьей стороной под тем же углом .

Пусть $l$ — горизонтальная линия на соседней диаграмме. Угол $а$ (слева от точки $В$ ) является предметом трисекции. Сначала рисуется точка $A$ угла на луче , отстоящем на одну единицу от $B.$ точки окружность радиуса $АВ$ Начерчена . Затем в игру вступает маркировка линейки: одна метка линейки ставится в $А$ а другая в $Б.$ , Удерживая линейку (но не метку) касающейся $A$ , линейку сдвигают и поворачивают до тех пор, пока одна метка не окажется на круге, а другая — на линии $l$ . Отметка на круге обозначена буквой $C$ а отметка на линии — буквой $D.$ , Это гарантирует, что $CD = AB$ . Радиус $BC$ нарисован, чтобы было очевидно, что отрезки $AB$ , $BC$ и $CD$ имеют одинаковую длину. Теперь треугольники $ABC$ и $BCD$ равнобедренные , поэтому (по факту 3 выше) каждый имеет два равных угла.

Гипотеза : Учитывая, что $AD$ — прямая линия, а $AB$ , $BC$ и $CD$ имеют одинаковую длину,

Вывод : угол $b = ⁠ a / 3 ⁠$ .

Доказательство :

Из факта 1) выше, $e+c=180$ °.
Глядя на треугольник BCD , из факта 2) $e+2b=180$ °.
Из последних двух уравнений $c=2b$ .
Поэтому, $a=c+b=2b+b=3b$ .

и теорема доказана.

Опять же, эта конструкция вышла за рамки разрешенных построений с помощью размеченной линейки.

Со строкой

Томас Хатчесон опубликовал статью в журнале « Учитель математики». ^[11] в котором вместо циркуля и линейки использовалась веревка. Нить можно использовать как линейку (путем ее растягивания) или как компас (путем фиксации одной точки и определения другой), но ее также можно использовать как цилиндр, что является ключом к решению Хатчесона.

Хатчесон построил цилиндр из угла, который нужно разделить на три части, нарисовав дугу через угол, завершив ее в виде круга и построив из этого круга цилиндр, в который был вписан, скажем, равносторонний треугольник (угол в 360 градусов, разделенный на три части). ). Затем это было «сопоставлено» с углом, который нужно разделить на три части, с помощью простого доказательства существования подобных треугольников.

С «томагавком»

Томагавк, делящий угол на три части. Томагавк образован толстыми линиями и заштрихованным полукругом.

« Томагавк » — геометрическая фигура, состоящая из полукруга и двух ортогональных отрезков, длина более короткого отрезка равна радиусу круга. Трисекция выполняется путем наклона конца более короткого сегмента томагавка к одному лучу, а края круга к другому, так что «ручка» (более длинный сегмент) пересекает вершину угла; линия трисекции проходит между вершиной и центром полукруга.

Хотя томагавк можно построить с помощью циркуля и линейки, обычно невозможно построить томагавк в любом желаемом положении. Таким образом, приведенная конструкция не противоречит нетрисекции углов только линейкой и циркулем.

Поскольку томагавк можно использовать в качестве угольника , его также можно использовать для определения углов трисекции методом, описанным в § С помощью прямой треугольной линейки .

Томагавк производит тот же геометрический эффект, что и метод складывания бумаги: расстояние между центром круга и кончиком более короткого сегмента в два раза превышает расстояние радиуса, который гарантированно соприкасается с углом. Это также эквивалентно использованию архитектурной L-линейки ( Площадь Плотника ).

С взаимосвязанными компасами

Угол можно разделить на три части с помощью устройства, которое по сути представляет собой четырехлучевую версию циркуля, со связями между зубцами, предназначенными для поддержания равенства трех углов между соседними зубцами. ^[12]

Использование трисекции угла

Анимация построения неусиса семиугольника с радиусом описанной окружности. ${\overline {OA}}=6$ , по мотивам Эндрю М. Глисона , с использованием трисекции угла с помощью томагавка. ^[13]^{: с. 186}

Кубическое уравнение с действительными коэффициентами можно решить геометрически с помощью циркуля, линейки и трисектора угла тогда и только тогда, когда оно имеет три действительных корня . ^[13]^{: Тэм. 1}

с Правильный многоугольник n сторонами можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ где r, s, k ≥ 0 и где pi _— различные простые числа больше 3 вида $2^{t}3^{u}+1$ (т.е. простые числа Пьерпона больше 3). ^[13]^{: Тэм. 2}

См. также

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Дадли, Андервуд (1994), Трисекторы , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-514-0
^ Ванцель, ПМЛ (1837). «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу по геометрии с помощью линейки и циркуля» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 1.2 . : 366–372 Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 марта 2014 г.
^ Историческую основу доказательства Ванцеля в более ранних работах Руффини и Абеля, а также время его проведения по отношению к Галуа см. Сморинский, Крейг (2007), История математики: Приложение , Springer, стр. 130, ISBN 9780387754802 .
^ Макхейл, Десмонд. «Построение целочисленных углов», Mathematical Gazette 66, июнь 1982 г., 144–145.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Маклин, К. Робин (июль 2008 г.). «Трисечение углов с помощью линейки и циркуля» . Математический вестник . 92 : 320–323. дои : 10.1017/S0025557200183317 . S2CID 126351853 . См. также Отзыв об этой статье в т. 93, март 2009 г., с. 156.
^ Стюарт, Ян (1989). Теория Галуа . Математика Чепмена и Холла. стр. г. 58. ИСБН 978-0-412-34550-0 .
^ Джим Лой (2003) [1997]. «Трисекция угла» . Архивировано из оригинала 25 февраля 2012 года . Проверено 30 марта 2012 г.
^ Йейтс, Роберт С. (1942). Задача трисекции (PDF) . Национальный совет учителей математики. стр. 39–42. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
^ Людвиг Бибербах (1932) «К доктрине кубических конструкций», Журнал чистой и прикладной математики , Х. Хассе и Л. Шлезингер, том 167, Берлин, стр. 142–146 онлайн-копия (ГДЗ) . Проверено 2 июня 2017 г.
^ Джим Лой «Трисекция угла» . Архивировано из оригинала 4 ноября 2013 года . Проверено 4 ноября 2013 г.
^ Хатчесон, Томас В. (май 2001 г.). «Деление любого угла на любое количество равных частей». Учитель математики . 94 (5): 400–405. дои : 10.5951/MT.94.5.0400 .
^ Исаак, Руфус, «Две математические статьи без слов», Mathematics Magazine 48, 1975, стр. 198. Перепечатано в журнале Mathematics Magazine 78, апрель 2005 г., стр. 111.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 5 ноября 2014 г.

Дальнейшее чтение

Курант, Ричард, Герберт Роббинс, Ян Стюарт, Что такое математика?: элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, США, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3 .

Внешние ссылки

Другие способы трисекции

Приблизительный угол трисекции в виде анимации, макс. погрешность угла ≈ ±4E-8°
Трисекция ( архивировано 2009 г.) лимакона Паскаля 25 октября ; см. также Трисектриса
Трисекция по спирали Архимеда.
Трисекция Раковину  Никомеда через
Сайт sciencenews.org об использовании оригами
Гиперболическая трисекция и спектр правильных многоугольников

[trisectors-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Дадли, Андервуд (1994), Трисекторы , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-514-0

[2] Ванцель, ПМЛ (1837). «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу по геометрии с помощью линейки и циркуля» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 1.2 . : 366–372 Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 марта 2014 г.

[3] Историческую основу доказательства Ванцеля в более ранних работах Руффини и Абеля, а также время его проведения по отношению к Галуа см. Сморинский, Крейг (2007), История математики: Приложение , Springer, стр. 130, ISBN 9780387754802 .

[4] Макхейл, Десмонд. «Построение целочисленных углов», Mathematical Gazette 66, июнь 1982 г., 144–145.

[McLean-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Маклин, К. Робин (июль 2008 г.). «Трисечение углов с помощью линейки и циркуля» . Математический вестник . 92 : 320–323. дои : 10.1017/S0025557200183317 . S2CID 126351853 . См. также Отзыв об этой статье в т. 93, март 2009 г., с. 156.

[Stewart-6] Стюарт, Ян (1989). Теория Галуа . Математика Чепмена и Холла. стр. г. 58. ИСБН 978-0-412-34550-0 .

[7] Джим Лой (2003) [1997]. «Трисекция угла» . Архивировано из оригинала 25 февраля 2012 года . Проверено 30 марта 2012 г.

[8] Йейтс, Роберт С. (1942). Задача трисекции (PDF) . Национальный совет учителей математики. стр. 39–42. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

[Ludwig_Bieberbach-9] Людвиг Бибербах (1932) «К доктрине кубических конструкций», Журнал чистой и прикладной математики , Х. Хассе и Л. Шлезингер, том 167, Берлин, стр. 142–146 онлайн-копия (ГДЗ) . Проверено 2 июня 2017 г.

[10] Джим Лой «Трисекция угла» . Архивировано из оригинала 4 ноября 2013 года . Проверено 4 ноября 2013 г.

[11] Хатчесон, Томас В. (май 2001 г.). «Деление любого угла на любое количество равных частей». Учитель математики . 94 (5): 400–405. дои : 10.5951/MT.94.5.0400 .

[12] Исаак, Руфус, «Две математические статьи без слов», Mathematics Magazine 48, 1975, стр. 198. Перепечатано в журнале Mathematics Magazine 78, апрель 2005 г., стр. 111.

[Gleason-13] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 5 ноября 2014 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]