Геометрическое броуновское движение

Информацию о моделировании, генерирующем реализации, см. ниже.

Геометрическое броуновское движение (GBM) (также известное как экспоненциальное броуновское движение с непрерывным временем ) — это стохастический процесс , в котором логарифм случайно изменяющейся величины следует за броуновским движением (также называемым винеровским процессом ) со сносом . Это важный пример случайных процессов, удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ); в частности, он используется в математических финансах для моделирования цен на акции в модели Блэка – Шоулза .

Техническое определение: SDE

Говорят, что случайный процесс S _t следует GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ):

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}$

где $W_{t}$ представляет собой винеровский процесс или броуновское движение , а $\mu$ («процентный дрейф») и $\sigma$ («процентная волатильность») являются константами.

Первый параметр используется для моделирования детерминированных тенденций, а второй параметр моделирует непредсказуемые события, происходящие во время движения.

Решение СДУ

Для произвольного начального значения S ₀ приведенное выше СДУ имеет аналитическое решение (согласно интерпретации Ито ):

$S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right).$

Для вывода требуется использование исчисления Ито . Применение формулы Ито приводит к

$d(\ln S_{t})=(\ln S_{t})'dS_{t}+{\frac {1}{2}}(\ln S_{t})''\,dS_{t}\,dS_{t}={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}\,dS_{t}$

где $dS_{t}\,dS_{t}$ – квадратичная вариация СДУ.

$dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dW_{t}^{2}+2\sigma S_{t}^{2}\mu \,dW_{t}\,dt+\mu ^{2}S_{t}^{2}\,dt^{2}$

Когда $dt\to 0$, $dt$ сходится к 0 быстрее, чем $dW_{t}$, с $dW_{t}^{2}=O(dt)$. Таким образом, приведенную выше бесконечно малую величину можно упростить следующим образом:

$dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt$

Подключаем значение $dS_{t}$ в приведенном выше уравнении и упрощая, получаем

$\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,.$

Взяв экспоненту и умножив обе части на $S_{0}$ дает решение, заявленное выше.

Арифметическое броуновское движение

Процесс для $X_{t}=\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}$, удовлетворяющий СДУ

$dX_{t}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)dt+\sigma dW_{t}\,,$

или, в более общем смысле, процесс решения SDE

$dX_{t}=m\,dt+v\,dW_{t}\,,$

где $m$ и $v>0$ являются действительными константами и для начального условия $X_{0}$, называется арифметическим броуновским движением (АВМ). Это была модель, постулированная Луи Башелье в 1900 году для цен на акции в первой опубликованной попытке смоделировать броуновское движение, известной сегодня как модель Башелье . Как было показано выше, ABM SDE можно получить через логарифм GBM по формуле Ито. Точно так же GBM можно получить возведением ABM в степень по формуле Ито.

Свойства ГБМ

Вышеупомянутое решение $S_{t}$ (для любого значения t) представляет собой логарифмически нормально распределенную случайную величину с ожидаемым значением и дисперсией, определяемыми выражением

$\operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},$

$\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).$

Их можно вывести, используя тот факт, что $Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)$ это мартингейл , и это

$\operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(t-s)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.$

Функция плотности вероятности $S_{t}$ является:

$f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).$

показывать Вывод функции плотности вероятности GBM

To derive the probability density function for GBM, we must use the Fokker-Planck equation to evaluate the time evolution of the PDF: ${\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial S}}[\mu (t,S)p(t,S)]={1 \over {2}}{\partial ^{2} \over {\partial S^{2}}}[\sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],\quad p(0,S)=\delta (S)$ where $\delta (S)$ is the Dirac delta function. To simplify the computation, we may introduce a logarithmic transform $x=\log(S/S_{0})$, leading to the form of GBM: $dx=\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dW$ Then the equivalent Fokker-Planck equation for the evolution of the PDF becomes: ${\partial p \over {\partial t}}+\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right){\partial p \over {\partial x}}={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2}p \over {\partial x^{2}}},\quad p(0,x)=\delta (x)$ Define $V=\mu -\sigma ^{2}/2$ and $D=\sigma ^{2}/2$. By introducing the new variables $\xi =x-Vt$ and $\tau =Dt$, the derivatives in the Fokker-Planck equation may be transformed as: ${\begin{aligned}\partial _{t}p&=D\partial _{\tau }p-V\partial _{\xi }p\\\partial _{x}p&=\partial _{\xi }p\\\partial _{x}^{2}p&=\partial _{\xi }^{2}p\end{aligned}}$ Leading to the new form of the Fokker-Planck equation: ${\partial p \over {\partial \tau }}={\partial ^{2}p \over {\partial \xi ^{2}}},\quad p(0,\xi )=\delta (\xi )$ However, this is the canonical form of the heat equation. which has the solution given by the heat kernel: $p(\tau ,\xi )={1 \over {\sqrt {4\pi \tau }}}\exp \left(-{\xi ^{2} \over {4\tau }}\right)$ Plugging in the original variables leads to the PDF for GBM: $p(t,S)={1 \over {S{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}}\exp \left\{-{\left[\log(S/S_{0})-\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)t\right]^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right\}$

При выводе дальнейших свойств GBM можно использовать SDE, решением которого является GBM, или можно использовать явное решение, приведенное выше. Например, рассмотрим случайный процесс log( S _t ). Это интересный процесс, поскольку в модели Блэка–Шоулза он связан с логарифмом доходности цены акции. Использование леммы Ито с f ( S ) = log( S ) дает

${\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}$

Отсюда следует, что $\operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$.

Этот результат также можно получить, применив логарифм к явному решению GBM:

${\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}$

Ожидание дает тот же результат, что и выше: $\operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$.

Моделирование путей выборки

# Python code for the plotimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltmu = 1n = 50dt = 0.1x0 = 100np.random.seed(1)sigma = np.arange(0.8, 2, 0.2)x = np.exp(    (mu - sigma ** 2 / 2) * dt    + sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(len(sigma), n)).T)x = np.vstack([np.ones(len(sigma)), x])x = x0 * x.cumprod(axis=0)plt.plot(x)plt.legend(np.round(sigma, 2))plt.xlabel("$t$")plt.ylabel("$x$")plt.title(    "Realizations of Geometric Brownian Motion with different variances\n $\mu=1$")plt.show()

Многовариантная версия

GBM можно распространить на случай, когда существует несколько коррелирующих ценовых путей.

Каждый ценовой путь следует основному процессу

$dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i},$

где винеровские процессы коррелированы так, что $\operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt$ где $\rho _{i,i}=1$.

Для многомерного случая это означает, что

$\operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).$

Многомерная формулировка, поддерживающая движущие броуновские движения. $W_{t}^{i}$ независимый

$dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sum _{j=1}^{d}\sigma _{i,j}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{j},$

где корреляция между $S_{t}^{i}$ и $S_{t}^{j}$ теперь выражается через $\sigma _{i,j}=\rho _{i,j}\,\sigma _{i}\,\sigma _{j}$ условия.

Использование в финансах

Основная статья: Модель Блэка – Шоулза

Геометрическое броуновское движение используется для моделирования цен на акции в модели Блэка – Шоулза и является наиболее широко используемой моделью поведения цен на акции.

Вот некоторые аргументы в пользу использования GBM для моделирования цен на акции:

• Ожидаемая доходность GBM не зависит от стоимости процесса (цены акций), что соответствует тому, что мы ожидаем в действительности.
• Процесс GBM предполагает только положительные значения, как и реальные цены на акции.
• Процесс GBM демонстрирует ту же «шероховатость» в своих траекториях, что и реальные цены на акции.
• Расчеты с помощью процессов GBM относительно просты.

Однако GBM не является полностью реалистичной моделью, в частности, она не соответствует действительности по следующим пунктам:

• В реальных ценах на акции волатильность меняется со временем (возможно, стохастически ), но в GBM волатильность предполагается постоянной.
• В реальной жизни цены на акции часто демонстрируют скачки, вызванные непредсказуемыми событиями или новостями, но в GBM путь непрерывен (без разрывов).

Помимо моделирования цен на акции, геометрическое броуновское движение также нашло применение при мониторинге торговых стратегий.

Расширения

В попытке сделать GBM более реалистичной моделью цен на акции, в том числе и в отношении проблемы волатильности , можно отказаться от предположения, что волатильность ( $\sigma$) постоянна. Если мы предположим, что волатильность является детерминированной функцией цены акции и времени, это называется моделью локальной волатильности . Непосредственным расширением GBM Блэка-Шоулза является SDE локальной волатильности, распределение которой представляет собой смесь распределений GBM, логнормальной динамики смеси, что приводит к выпуклой комбинации цен Блэка-Шоулза для опционов. Если вместо этого мы предположим, что волатильность имеет собственную случайность — часто описываемую другим уравнением, обусловленным другим броуновским движением, — модель называется моделью стохастической волатильности , см., например, модель Хестона .

См. также

• Броуновская поверхность

Внешние ссылки

• Геометрические модели броуновского движения для движения акций, за исключением редких случаев.
• Моделирование геометрического броуновского движения в Excel для моделирования цен на акции
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» . Архивировано из оригинала 20 сентября 2015 г. Проверено 3 июля 2015 г.
• Сайт неньютоновского исчисления
• Мониторинг торговой стратегии: моделирование PnL как геометрического броуновского движения