Распределение Эрланга

Эта статья о концепции математического/статистического распределения. Чтобы узнать о других значениях, см . Erlang .

Эрланг

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$k\in \{1,2,3,\ldots \},$ форма $\lambda \in (0,\infty ),$ ставка все.: $\beta =1/\lambda ,$ шкала
Поддерживать	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}$
CDF	$P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$
Иметь в виду	${\frac {k}{\lambda }}$
медиана	Нет простой закрытой формы
Режим	${\frac {1}{\lambda }}(k-1)$
Дисперсия	${\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
асимметрия	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {6}{k}}$
Энтропия	$(1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k$
МГФ	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}$ для $t<\lambda$
CF	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}$

Распределение Эрланга представляет собой двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей с поддержкой $x\in [0,\infty )$. Два параметра:

• положительное целое число $k,$ «форма» и
• положительное действительное число $\lambda ,$ «ставка». «Масштаб», $\beta ,$ Вместо этого иногда используется обратная ставка.

Распределение Эрланга — это распределение суммы $k$ независимые экспоненциальные переменные со средним значением $1/\lambda$ каждый. Эквивалентно, это распределение времени до k -го события пуассоновского процесса со скоростью $\lambda$. Распределения Эрланга и Пуассона дополняют друг друга: в то время как распределение Пуассона подсчитывает события, происходящие за фиксированный промежуток времени, распределение Эрланга подсчитывает количество времени до возникновения фиксированного количества событий. Когда $k=1$, распределение упрощается до экспоненциального распределения . Распределение Эрланга — это частный случай гамма -распределения , в котором форма распределения дискретизирована.

Распределение Erlang было разработано AK Erlang для проверки количества телефонных звонков, которые могут быть совершены одновременно операторам коммутационных станций. Эта работа по организации телефонного трафика была расширена и теперь учитывает время ожидания в системах массового обслуживания в целом. Распределение также используется в области случайных процессов .

Характеристика

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Эрланга равна

$f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,$

Параметр k называется параметром формы, а параметр $\lambda$ называется параметром скорости.

Альтернативная, но эквивалентная параметризация использует параметр масштаба. $\beta$, который является обратной величиной параметра скорости (т.е. $\beta =1/\lambda$):

$f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{for }}x,\beta \geq 0.$

Когда параметр масштаба $\beta$ равно 2, распределение упрощается до распределения хи-квадрат с 2 k степенями свободы. Поэтому его можно рассматривать как обобщенное распределение хи-квадрат для четного числа степеней свободы.

Кумулятивная функция распределения (CDF)

Кумулятивная функция распределения распределения Эрланга равна

$F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},$

где $\gamma$ – нижняя неполная гамма-функция и $P$ — нижняя регуляризованная гамма-функция . CDF также может быть выражен как

$F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.$

Эрланг- к

Распределение Эрланга -k (где k — целое положительное число) $E_{k}(\lambda )$ определяется путем установки k в PDF распределения Эрланга. Например, распределение Эрланга-2: $E_{2}(\lambda )={\lambda ^{2}x}e^{-\lambda x}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0$, что то же самое, что $f(x;2,\lambda )$.

медиана

Известно асимптотическое разложение медианы распределения Эрланга: для которого можно вычислить коэффициенты и известны границы. Приближение ${\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),$ то есть ниже среднего ${\frac {k}{\lambda }}.$

Генерация случайных величин, распределенных по Эрлангу

Случайные величины, распределенные по Эрлангу, могут быть сгенерированы из равномерно распределенных случайных чисел ( $U\in [0,1]$), используя следующую формулу:

$E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}$

Приложения

Время ожидания

События, которые происходят независимо с некоторой средней скоростью, моделируются с помощью процесса Пуассона . Время ожидания между k появлениями события распределено Эрлангом. (Связанный с этим вопрос о количестве событий за заданный промежуток времени описывается распределением Пуассона .)

Распределение Эрланга, которое измеряет время между входящими вызовами, можно использовать в сочетании с ожидаемой продолжительностью входящих вызовов для получения информации о нагрузке трафика, измеряемой в эрлангах. Это можно использовать для определения вероятности потери или задержки пакетов в соответствии с различными предположениями о том, прерываются ли заблокированные вызовы (формула Erlang B) или ставятся в очередь до тех пор, пока они не будут обслужены (формула Erlang C). Формулы Erlang-B и C до сих пор используются ежедневно для моделирования трафика в таких приложениях, как проектирование колл-центров .

Другие приложения

Возрастное распределение раком заболеваемости часто следует распределению Эрланга, тогда как параметры формы и масштаба предсказывают соответственно количество движущих событий и временной интервал между ними. В более общем плане распределение Эрланга было предложено как хорошее приближение распределения времени клеточного цикла в результате многоэтапных моделей.

Кинезин — это молекулярная машина с двумя «ногами» , которая «ходит» по нити. Время ожидания между каждым шагом распределяется экспоненциально. Когда зеленый флуоресцентный белок прикрепляется к ножке кинезина, зеленая точка заметно перемещается с распределением Эрланга k = 2.

Он также использовался в экономике бизнеса для описания времени между покупками.

Характеристики

• Если $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$ затем $a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)$ с $a\in \mathbb {R}$
• Если $X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )$ и $Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )$ затем $X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )$ если $X,Y$ независимы

Связанные дистрибутивы

• Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых и одинаково распределенных случайных величин , каждая из которых имеет экспоненциальное распределение . Долгосрочная скорость, с которой происходят события, обратна ожиданию $X,$ то есть, $\lambda /k.$ Скорость (возрастного события) распределения Эрланга равна, для $k>1,$ монотонный в $x,$ увеличивается с 0 в $x=0,$ к $\lambda$ как $x$ стремится к бесконечности.
  • То есть: если $X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),$ затем $$\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$$
• Из-за факториала в знаменателе PDF и CDF распределение Эрланга определяется только тогда, когда параметр k является положительным целым числом. Фактически, это распределение иногда называют Эрланга -k распределением (например, распределение Эрланга-2 — это распределение Эрланга с $k=2$). Гамма -распределение обобщает распределение Эрланга, позволяя k быть любым положительным действительным числом, используя гамма-функцию вместо факториала.
  • То есть: если k — целое число и $X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),$ затем $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$
• Если $U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )$ и $V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )$ затем ${\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)$
• Распределение Эрланга является частным случаем распределения Пирсона типа III.
• Распределение Эрланга связано с распределением хи-квадрат . Если $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),$ затем $2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.$
• Распределение Эрланга связано с распределением Пуассона процессом Пуассона : Если $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ такой, что $X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),$ затем $$S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )$$ и $$\operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.$$ Принимая во внимание различия $n$ дает распределение Пуассона.

См. также

• Коксианское распределение
• Тревожный расчет
• Эрланга Б Формула
• единица Эрланга
• Распределение фазового типа
• Модель генерации трафика

Ссылки

• Ян Ангус «Введение в Erlang B и Erlang C» , Telemanagement # 187 (документ в формате PDF — содержит термины и формулы, а также краткую биографию)
• Стюарт Харрис «Расчеты Erlang против моделирования»

Внешние ссылки

• Распределение Эрланга
• Определение размеров ресурсов с использованием Erlang-B и Erlang-C