Картановое соединение

В математической области дифференциальной геометрии связность Картана является гибким обобщением понятия аффинной связности . Его также можно рассматривать как специализацию общего понятия главного соединения , в котором геометрия главного расслоения привязана к геометрии основного многообразия с помощью формы пайки . Связности Картана описывают геометрию многообразий, моделируемых на однородных пространствах .

Теория связей Картана была разработана Эли Картаном , как часть (и способ формулировки) его метода перемещения кадров ( repere mobile ). Основная идея состоит в том, чтобы разработать подходящее представление о формах соединения и кривизне с использованием движущихся систем отсчета, адаптированных к конкретной рассматриваемой геометрической задаче. В теории относительности или римановой геометрии ортонормированные системы отсчета используются для описания связи Леви-Чивита как связи Картана. Для групп Ли фреймы Маурера-Картана используются для рассмотрения формы Маурера-Картана группы как связности Картана.

Картан переформулировал дифференциальную геометрию ( псевдо ) римановой геометрии , а также дифференциальную геометрию многообразий , наделенных некоторой неметрической структурой, включая группы Ли и однородные пространства . Термин «картановская связь» чаще всего относится к формулировке Картана (псевдо)римановой, аффинной , проективной или конформной связи . Хотя это наиболее часто используемые соединения Картана, они представляют собой частные случаи более общей концепции.

Подход Картана на первый взгляд кажется координатно-зависимым из-за выбора задействованных в нем фреймов. Однако это не так, и это понятие можно точно описать на языке главных расслоений. Картановские связи индуцируют ковариантные производные и другие дифференциальные операторы на некоторых связанных расслоениях, отсюда и понятие параллельного переноса. Они имеют множество приложений в геометрии и физике: см. в методе движущихся систем отсчета , формализме Картана и теории Эйнштейна-Картана некоторые примеры .

Введение

По своей сути геометрия состоит из понятия соответствия между различными объектами в пространстве. В конце 19 века понятия конгруэнтности обычно возникали в результате действия группы Ли на пространство. Группы Ли обычно действуют довольно жестко, поэтому геометрия Картана является обобщением понятия конгруэнтности, допускающим кривизны наличие . Плоские геометрии Картана — с нулевой кривизной — локально эквивалентны однородным пространствам и, следовательно , являются геометриями в смысле Клейна.

Геометрия Клейна состоит из группы Ли G вместе с подгруппой Ли H группы G . Вместе G и H определяют однородное пространство G / H , на котором группа G действует левым сдвигом. Целью Клейна было тогда изучение объектов, живущих в однородном пространстве конгруэнтных действием Г. , Геометрия Картана расширяет понятие геометрии Клейна, присоединяя к каждой точке многообразия копию геометрии Клейна и рассматривая эту копию как касательную к многообразию. Таким образом, геометрия многообразия бесконечно идентична геометрии Клейна, но глобально может совершенно отличаться. В частности, в геометриях Картана больше нет четко определенного действия G на них. Однако соединение Картана обеспечивает способ соединения бесконечно малых пространств модели внутри многообразия посредством параллельного транспорта .

Мотивация

Рассмотрим гладкую поверхность S в трехмерном евклидовом пространстве R ³ . Вблизи любой точки S можно аппроксимировать касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Аффинные подпространства — это модельные поверхности — это простейшие поверхности в R. ³ , и однородны относительно евклидовой группы плоскости, следовательно, они являются геометриями Клейна в смысле Феликса Клейна программы Эрлангена . Каждая гладкая поверхность S имеет в каждой точке единственную касательную к ней аффинную плоскость. Семейство всех таких самолетов в R ³ , прикрепленный к каждой точке S , называется конгруэнцией касательных плоскостей. Касательную плоскость можно «прокатить» вдоль , и при этом точка контакта очертит кривую на S. S есть кривая И наоборот, если на S , касательная плоскость может катиться вдоль этой кривой. Это дает возможность идентифицировать касательные плоскости в разных точках кривой с помощью аффинных (фактически евклидовых) преобразований и является примером соединения Картана, называемого аффинным соединением .

Другой пример получается заменой плоскостей как модельных поверхностей сферами, однородными относительно группы конформных преобразований Мёбиуса. Больше нет единственной сферы, касающейся гладкой поверхности S в каждой точке, поскольку радиус сферы не определен. Это можно исправить, предположив, что сфера имеет ту же среднюю кривизну , что и S в точке контакта. Такие сферы снова можно катить по кривым на S , и это снабжает S другим типом связности Картана, называемой конформной связностью .

Дифференциальные геометры в конце 19 и начале 20 веков были очень заинтересованы в использовании семейств моделей, таких как плоскости или сферы, для описания геометрии поверхностей. Семейство модельных пространств, прикрепленных к каждой точке поверхности S, называется конгруэнцией : в предыдущих примерах имеется канонический выбор такого сравнения. Соединение Картана обеспечивает идентификацию между модельными пространствами в конгруэнции вдоль любой кривой в S . Важной особенностью этих отождествлений является то, что точка контакта модельного пространства с S всегда движется вместе с кривой. Это родовое состояние характерно для соединений Картана.

В современной трактовке аффинных связей точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая в этом случае является векторным пространством), а движение начала координат корректируется переносом, поэтому картыновские соединения не нужны. Однако канонического способа сделать это вообще не существует: в частности, для конформного соединения конгруэнции сфер невозможно естественным образом отделить движение точки контакта от остального движения.

В обоих этих примерах модельное пространство представляет собой однородное пространство G / H .

• В первом случае G / H — аффинная плоскость, причем G = Aff( R ² ) аффинная группа плоскости и H = GL(2) соответствующая общая линейная группа.
• Во втором случае G / H — конформная (или небесная ) сфера, причем G = O ⁺ (3,1) ортохронная) группа Лоренца и H стабилизатор ( нулевой линии в R ^3,1 .

Геометрия Картана S состоит из копии модельного пространства G / H в каждой точке S (с отмеченной точкой контакта) вместе с понятием «параллельного переноса» вдоль кривых, которое идентифицирует эти копии с использованием элементов G . Это понятие параллельного транспорта является общим в интуитивном смысле, что точка контакта всегда движется по кривой.

В общем, пусть G — группа с подгруппой H , а M — многообразие той же размерности, что и G / H . Тогда, грубо говоря, картановская связность на M — это G генерическая относительно редукции к H. -связность ,

Аффинные соединения

Основная статья: Аффинное соединение

Аффинная связность на многообразии M — это связность на расслоении фреймов (главном расслоении) многообразия M (или, что то же самое, связность на касательном расслоении (векторном расслоении) многообразия M ). Ключевым аспектом точки зрения Картановской связи является разработка этого понятия в контексте главных расслоений (которые можно было бы назвать «общей или абстрактной теорией фреймов»).

Пусть H — группа Ли , ${\mathfrak {h}}$ это алгебра Ли . Тогда главное H -расслоение это расслоение P над M с гладким действием H — на P , свободным и транзитивным на слоях. Таким образом, — гладкое многообразие с гладким отображением π : P → M выглядит , которое локально как тривиальное расслоение M × H → M. P Расслоение реперов M является главным GL( n )-расслоением, а если M — риманово многообразие , то расслоение ортонормированных реперов является главным O( n )-расслоением.

Обозначим через R _h (правое) действие h ∈ H на P . Производная этого действия определяет вертикальное векторное поле на P для каждого элемента ξ из ${\mathfrak {h}}$: если h ( t ) является 1-параметрической подгруппой с h (0) = e (единичный элемент) и h '( 0 ) = ξ , то соответствующее вертикальное векторное поле есть

$X_{\xi }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}R_{h(t)}{\biggr |}_{t=0}.\,$

Основная . H -связность на P — это 1-форма $\omega \colon TP\to {\mathfrak {h}}$ на П , со значениями в алгебре Ли ${\mathfrak {h}}$ H , такой , что

1. ${\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega$
2. для любого $\xi \in {\mathfrak {h}}$, ω ( X _ξ ) = ξ (тождественно на P ).

Интуитивная идея состоит в том, что ω ( X ) обеспечивает вертикальную компоненту , X используя изоморфизм слоев π с H для идентификации вертикальных векторов с элементами ${\mathfrak {h}}$.

Пакеты рамок имеют дополнительную структуру, называемую формой пайки , которую можно использовать для расширения основного соединения на P до тривиализации касательного расслоения P , называемого абсолютным параллелизмом .

В общем, предположим, что M имеет размерность n и H действует на R ^н (это может быть любое n -мерное реальное векторное пространство). Форма пайки на главном H -расслоении P над M представляет собой R ^н -значная 1-форма θ : T P → R ^н который горизонтален и эквивариантен, так что он индуцирует расслоения из TM в соответствующее расслоение P × _HR гомоморфизм ^н . Кроме того, требуется, чтобы это был изоморфизм расслоения. Расслоения кадров имеют (каноническую или тавтологическую) форму пайки, которая отправляет касательный вектор X ∈ T _p P к координатам d π _p ( X ) ∈ T _{π ( p )} M относительно рамки p .

Пара ( ω , θ ) (главное соединение и форма пайки) определяет 1-форму η на P со значениями в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ полупрямого произведения G группы H на R ^н , что обеспечивает изоморфизм каждого касательного пространства T _p P с ${\mathfrak {g}}$. Он индуцирует главную связность α на ассоциированном главном G -расслоении P × _H G . Это картановская связь.

Картановские связи обобщают аффинные связи двумя способами.

• Действие H на R ^н не обязательно быть эффективным. Это позволяет, например, включить в теорию спиновые связи, в которых H представляет собой спиновую группу Spin( n ), а не ортогональную группу O( n ).
• Группа G не обязательно должна быть полупрямым произведением группы H с R ^н .

Геометрии Клейна как модельные пространства

Кляйна Программа в Эрлангене предполагала, что геометрию можно рассматривать как исследование однородных пространств : в частности, это изучение многих геометрий, представляющих интерес для геометров 19 века (и ранее). Геометрия Клейна состояла из пространства вместе с законом движения внутри пространства (аналогичным евклидовым преобразованиям классической евклидовой геометрии выраженным как Ли группа преобразований ) , . Эти обобщенные пространства оказываются однородными гладкими многообразиями, диффеоморфными факторпространству группы Ли по подгруппе Ли . Дополнительная дифференциальная структура, которой обладают эти однородные пространства, позволяет изучать и обобщать их геометрию с помощью исчисления.

Общий подход Картана состоит в том, чтобы начать с такой гладкой геометрии Клейна , заданной группой Ли G и подгруппой Ли H , с соответствующими алгебрами Ли. ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {h}}$, соответственно. Пусть P основное главное однородное пространство G — . заданное фактором P / H числа P по правому действию H. Геометрия Клейна — это однородное пространство , имеется правое H На слоях канонической проекции -действие

π : П ​​→ П / Ч

знак р _г равно gh час . , каждый слой π H является копией Более того . P имеет структуру главного H -расслоения над P / H .

Векторное поле X на P вертикально , если d π ( X ) = 0. Любое ξ ∈ ${\mathfrak {h}}$ порождает каноническое вертикальное векторное поле X _ξ, беря производную правого действия 1-параметрической подгруппы H , связанной с ξ. Форма Маурера-Картана η группы P — это форма ${\mathfrak {g}}$-значная однозначная форма на P , которая отождествляет каждое касательное пространство с алгеброй Ли. Он имеет следующие свойства:

1. Ad( h ) R _h ^* η = η для всех h в H
2. η ( X _ξ ) = ξ для всех ξ в ${\mathfrak {h}}$
3. всех g ∈ P P η ограничивает линейный изоморфизм T _g для с ${\mathfrak {g}}$ (η — абсолютный параллелизм на P ).

Помимо этих свойств, η удовлетворяет структурному (или структурному ) уравнению

$d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.$

Обратно, можно показать, что для данного многообразия M и главного H -расслоения P над M и 1-формы η с этими свойствами P локально изоморфно как H -расслоение главному однородному расслоению G → G / H. . Структурное уравнение является условием интегрируемости существования такого локального изоморфизма.

Геометрия Картана — это обобщение гладкой геометрии Клейна, в которой структурное уравнение не предполагается, а вместо этого используется для определения понятия кривизны . Таким образом, геометрии Клейна называются плоскими моделями геометрий Картана.

Псевдогруппы

Картановские связности тесно связаны со структурами псевдогрупп на многообразии. Каждый из них считается смоделированным на основе геометрии Клейна G / H , аналогично тому, как риманова геометрия моделируется в евклидовом пространстве . На многообразии M можно представить, что к каждой точке M прикреплена копия модельного пространства G / H . Симметрия модельного пространства затем встраивается в геометрию Картана или структуру псевдогруппы, постулируя, что модельные пространства соседних точек связаны преобразованием в G . Фундаментальное различие между геометрией Картана и геометрией псевдогруппы состоит в том, что симметрия геометрии Картана связывает бесконечно малые точки посредством бесконечно малого преобразования в G (т.е. элемента алгебры Ли группы G ) и аналогичного понятия симметрии для структуры псевдогруппы. применяется к точкам, которые физически разделены внутри многообразия.

Процесс присоединения пространств к точкам и сопутствующая симметрия могут быть конкретно реализованы с использованием специальных систем координат . Каждой точке ∈ M задана U p p _точки и φ p окрестность _{отображение} : Up _/ → G p H . Таким образом, пространство модели прикрепляется к каждой точке M путем локальной реализации M в каждой точке как открытое подмножество G / H . об этом как о семействе систем координат на M , параметризованных точками M. Мы думаем Две такие параметризованные системы координат φ и φ′ являются H если существует элемент hp _H ∈ -связанными , , параметризованный p , такой, что

φ′ _п знак равно час _п φ _п .

Эта свобода примерно соответствует представлению физиков о калибровке .

Близлежащие точки связываются путем соединения их кривой. Предположим, что и p ′ — две точки в M, соединенные кривой pt _p . Тогда p _t дает представление о перемещении модельного пространства вдоль кривой. Пусть τ _t : G / H → G / H — (локально определенное) составное отображение.

τ _{т знак} равно φ _{п т о} φ _{п 0} ⁻¹ .

Интуитивно понятно, что τ _t — это транспортная карта. Структура псевдогруппы требует, чтобы τ _была симметрией модельного пространства для каждого t : τ _t ∈ G. t Связность Картана требует только того, чтобы производная τ _t была симметрией модельного пространства: τ′ ₀ ∈ g , алгебры Ли группы G .

Типично для Картана, одной из причин введения понятия картановской связности было изучение свойств псевдогрупп с бесконечно малой точки зрения. Связность Картана определяет псевдогруппу именно тогда, когда производная транспортной карты τ' может быть проинтегрирована , тем самым восстанавливая истинную ( G -значную) транспортную карту между системами координат. Таким образом, действует условие интегрируемости , и метод Картана для реализации условий интегрируемости заключался во введении дифференциальной формы .

В этом случае τ′ ₀ определяет дифференциальную форму в точке p следующим образом. Для кривой γ( t ) = p _t в M, начинающейся с p , мы можем связать касательный вектор X , а также транспортное отображение τ _t ^с . Взятие производной определяет линейное отображение

$X\mapsto \left.{\frac {d}{dt}}\tau _{t}^{\gamma }\right|_{t=0}=\theta (X)\in {\mathfrak {g}}.$

θ определяет g -значную дифференциальную 1-форму на M. Итак ,

Однако эта форма зависит от выбора параметризованной системы координат. Если h : U → H является H -отношением между двумя параметризованными системами координат φ и φ′, то соответствующие значения θ также связаны соотношением

$\theta _{p}^{\prime }=Ad(h_{p}^{-1})\theta _{p}+h_{p}^{*}\omega _{H},$

где ω _H — форма Маурера-Картана H .

Формальное определение

Геометрию Картана, смоделированную на однородном пространстве G / H, можно рассматривать как деформацию этой геометрии, допускающую наличие кривизны . Например:

• можно риманово многообразие рассматривать как деформацию евклидова пространства ;
• лоренцево многообразие можно рассматривать как деформацию пространства Минковского ;
• конформное многообразие можно рассматривать как деформацию конформной сферы ;
• многообразие, снабженное аффинной связностью, можно рассматривать как деформацию аффинного пространства .

Существует два основных подхода к определению. В обоих подходах M — гладкое многообразие размерности n , H — группа Ли размерности m с алгеброй Ли ${\mathfrak {h}}$, а G — группа Ли размерности n + m с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, содержащая H в качестве подгруппы.

Определение через калибровочные переходы

Картановское соединение состоит координатного атласа открытых множеств U в M вместе с ${\mathfrak {g}}$-значная 1-форма θ _U, определенная на каждой карте такая, что

1. θ _U : Т U → ${\mathfrak {g}}$.
2. θ _U мод ${\mathfrak {h}}$ : Т _ты Ю → ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ является линейным изоморфизмом для любого u ∈ U .
3. Для любой пары карт U и V в атласе существует гладкое отображение h : U ∩ V → H такое, что

$\theta _{V}=Ad(h^{-1})\theta _{U}+h^{*}\omega _{H},\,$

где ω _H — форма Маурера- H Картана .

По аналогии со случаем, когда θ _U пришла из систем координат, условие 3 означает, что φ _U связана с φ _V соотношением h .

Кривизна связи Картана состоит из системы 2-форм, определенных на схемах, заданных формулой

$\Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].$

Ω _U удовлетворяют условию совместимости:

Если формы θ _U и θ _V связаны функцией h : U ∩ V → H , как указано выше, то Ω _V = Ad( h ⁻¹ ) Ох _ты

Определение можно сделать независимым от систем координат, сформировав факторпространство

$P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim$

дизъюнктного объединения по всем U в атласе. Отношение эквивалентности ~ определяется на парах ( x , h ₁ ) ∈ U ₁ × H и ( x , h ₂ ) ∈ U ₂ × H следующим образом:

( x , час ₁ ) ~ ( x , час ₂ ) тогда и только тогда, когда x ∈ U ₁ ∩ U ₂ , θ _{U 1} связана с θ _{U 2} посредством h , и h ₂ = h ( x ) ⁻¹ ч1 .

Тогда P — главное H -расслоение на M , и из условия совместимости форм связности θ _U следует, что они поднимаются до ${\mathfrak {g}}$-значная 1-форма η, определенная на P (см. ниже).

Определение через абсолютный параллелизм

Пусть P — главное расслоение H над M . Тогда картановская связь это ${\mathfrak {g}}$-значная 1-форма η на P такая, что

1. для всех h в H Ad( h ) R _h ^* п = п
2. для всех ξ в ${\mathfrak {h}}$, п ( Икс _ξ ) знак равно ξ
3. для всех p в P ограничение η определяет линейный изоморфизм из касательного пространства T _p P в ${\mathfrak {g}}$.

Последнее условие иногда называют условием Картана : оно означает, что определяет абсолютный параллелизм на P. η Из второго условия следует, что η уже инъективна на вертикальных векторах и что 1-форма η mod ${\mathfrak {h}}$, со значениями в ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$, является горизонтальным. Векторное пространство ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ является представлением H H с использованием присоединенного представления на ${\mathfrak {g}}$, а из первого условия следует, что η mod ${\mathfrak {h}}$ является эквивариантным. Следовательно, он определяет гомоморфизм расслоения из TM в ассоциированное расслоение $P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$. Условие Картана эквивалентно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом, так что η mod ${\mathfrak {h}}$ это форма припоя .

Кривизной является Картановского соединения ${\mathfrak {g}}$-значная 2-форма Ω, определенная формулой

$\Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ].$

Обратите внимание, что это определение соединения Картана очень похоже на определение основного соединения . Однако есть несколько важных отличий. Во-первых, 1-форма η принимает значения в ${\mathfrak {g}}$, но эквивариантен только под действием H . Действительно, он не может быть эквивариантным относительно полной группы G, поскольку не существует ни расслоения G , ни G. действия Во-вторых, 1-форма представляет собой абсолютный параллелизм, что интуитивно означает, что η дает информацию о поведении дополнительных направлений в главном расслоении (а не просто является оператором проектирования на вертикальное пространство). Конкретно, существование формы припоя связывает (или спаивает) связность Картана с основной дифференциальной топологией многообразия.

Интуитивная интерпретация связности Картана в этой форме состоит в том, что она определяет разрушение тавтологического главного расслоения, связанного с геометрией Клейна. Таким образом, геометрии Картана являются деформированными аналогами геометрий Клейна. Эта деформация является, грубо говоря, рецептом присоединения копии модельного пространства G / H к каждой точке M и представления об этом модельном пространстве как касающемся ( и бесконечно идентичном ) многообразию в точке контакта. Слой тавтологического расслоения G → G / H геометрии Клейна в точке контакта при этом отождествляется со слоем расслоения P . Каждый такой слой (в G ) несет форму Маурера-Картана для G , а связность Картана — это способ сборки этих форм Маурера-Картана, собранных из точек контакта, в когерентную 1-форму η, определенную на всем расслоении. Тот факт, что только элементы H вносят вклад в уравнение Маурера-Картана Ad( h ) R _h ^* η = η имеет интуитивную интерпретацию, согласно которой любые другие элементы G отодвинут модельное пространство от точки контакта и, таким образом, больше не будут касаться многообразия.

Из связности Картана, определенной в этих терминах, можно восстановить связность Картана как систему 1-форм на многообразии (как в калибровочном определении), взяв набор локальных тривиализаций , P заданных в виде сечений s _U : U → P и полагая θ _U = s ^* η — подъемы картановской связности по сечениям.

В качестве основных связей

Другой способ определить связность Картана — это указать ее как основную связность на определенном главном G -расслоении. С этой точки зрения картановское соединение состоит из

• главное G -расслоение Q над M
• главная G -связность α на Q (связность Картана)
• главное H -подрасслоение P в Q (т. е. редукция структурной группы)

такой, что возврат η от α к P удовлетворяет условию Картана.

Главную связность α на Q можно восстановить из формы η, взяв Q в качестве ассоциированного расслоения P × _H G . Обратно, форму η можно восстановить по α, ведя назад по включению P ⊂ Q .

Поскольку α — главная связность, она индуцирует связность любого расслоения, ассоциированного с Q . расслоение Q × _G G / H однородных пространств над M , слои которого являются копиями модельного пространства G / H В частности, связностью обладает . Сведение структурной группы к эквивалентно задается секцией s E H = Q × _G G / H . Волокно $P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ над x в M можно рассматривать как касательное пространство в точке s ( x ) к слою Q × _G G / H над x . Следовательно, условие Картана имеет интуитивную интерпретацию, заключающуюся в том, что модельные пространства касаются M вдоль сечения s . Поскольку эта идентификация касательных пространств вызвана связью, отмеченные точки, заданные s, всегда движутся параллельно.

Определение по связности Эресмана

Еще один способ определить связность Картана — использовать связность Эресмана на расслоении E = Q × _G G / H из предыдущего раздела. Соединение Картана тогда состоит из

• Расслоение π : E → M со слоем G / H и вертикальным пространством V E ⊂ E. T
• Раздел s : M → E. ​
• G -связность θ : T E → V E такая, что

с ^* θ _x : T _x M → V _{s ( x )} E — линейный изоморфизм векторных пространств для всех x ∈ M .

Это определение делает более строгими интуитивные идеи, представленные во введении. Во-первых, предпочтительное сечение s можно рассматривать как определяющее точку контакта между многообразием и касательным пространством. Последнее условие, в частности, означает, что касательное пространство M в точке x изоморфно касательному пространству модельного пространства в точке контакта. Таким образом, модельные пространства касаются многообразия.

Развертывание кривой в пространстве модели в точке x ₀

Это определение также выдвигает на первый план идею развития . Если x _t — кривая в , связность Эресмана на E обеспечивает связанное параллельное транспортное отображение τ _t : Ex _{→ t} то Ex _{M 0} от слоя через конечную точку кривой к слою над начальной точкой. поскольку E снабжено предпочтительным сечением s точки s ( xt _В ) переносятся обратно в волокно над x0 _. очерчивают кривую в Ex0 _{и ,} частности , называют развитием кривой xt _{Эту кривую тогда} .

Чтобы показать, что это определение эквивалентно остальным, приведенным выше, необходимо ввести подходящее понятие движущейся системы отсчета для расслоения E . В общем случае это возможно для любой G -связности на расслоении со структурной группой G . см. в разделе Соединение Ehresmann#Связанные пакеты Более подробную информацию .

Специальные соединения Картана

Редуктивные картеновские соединения

Пусть P — главное H -расслоение на M , снабженное связностью Картана η : T P → ${\mathfrak {g}}$. Если ${\mathfrak {g}}$ является редуктивным модулем для H , что означает, что ${\mathfrak {g}}$ допускает Ad ( H )-инвариантное расщепление векторных пространств ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$, тогда ${\mathfrak {m}}$-компонента η обобщает форму припоя для аффинного соединения . Подробно, η распадается на ${\mathfrak {h}}$ и ${\mathfrak {m}}$ компоненты:

п = п _{${\mathfrak {h}}$} + ч _{${\mathfrak {m}}$}.

Заметим, что 1-форма η _{${\mathfrak {h}}$} является главной H -связностью на исходном расслоении Картана P . Более того, 1-форма η _{${\mathfrak {m}}$} удовлетворяет:

или _{${\mathfrak {m}}$}( X ) знак равно 0 для каждого вертикального вектора X ∈ T P . (η _{${\mathfrak {m}}$} горизонтально ) .

Р _ч ^* или _{${\mathfrak {m}}$} = Объявление ( ч ⁻¹ )или _{${\mathfrak {m}}$} для h ∈ H. каждого (η _{${\mathfrak {m}}$} эквивариантен ) относительно правого H -действия.

Другими словами, η является формой спайки расслоения P .

Следовательно, P имеет вид η _{${\mathfrak {m}}$} определяет H -структуру (первого порядка) на M . Форма η _{${\mathfrak {h}}$} определяет связь на H -структуре.

Параболические соединения Картана

Если ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли с параболической подалгеброй ${\mathfrak {p}}$ (т.е. ${\mathfrak {p}}$ содержит максимальную разрешимую подалгебру в ${\mathfrak {g}}$) и G и P — ассоциированные группы Ли, то связность Картана, моделируемая на ( G , P , ${\mathfrak {g}}$, ${\mathfrak {p}}$) называется параболической геометрией Картана или просто параболической геометрией . Отличительной чертой параболических геометрий является структура алгебры Ли в ее кокасательных пространствах : это возникает потому, что перпендикулярное подпространство ${\mathfrak {p}}$^⊥ из ${\mathfrak {p}}$ в ${\mathfrak {g}}$ относительно Убийства формы ${\mathfrak {g}}$ является подалгеброй ${\mathfrak {p}}$, а форма Киллинга вызывает естественную двойственность между ${\mathfrak {p}}$^⊥ и ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}$. Таким образом, пучок, связанный с ${\mathfrak {p}}$^⊥ изоморфно кокасательному расслоению .

Параболические геометрии включают в себя многие из тех, которые представляют интерес для исследования и применения связей Картана, например следующие примеры:

• Конформные связи : Здесь G = SO ( p +1, q +1), а P — стабилизатор нулевого луча в R. ^п+2 .
• Проективные связи : здесь G = PGL (n+1), а P — стабилизатор точки в RP. ^н .
• CR-структуры и связности Картана-Черна-Танаки: G = PSU ( p +1, q +1), P = стабилизатор точки на проективной нулевой гиперквадрике .
• Контактные проективные связи: Здесь G = SP (2n+2) и P — стабилизатор луча, порожденного первым стандартным базисным вектором в R. ^п+2 .
• Общие распределения ранга 2 на 5-многообразиях: Здесь G = Aut ( O _s ) — группа автоморфизмов алгебры O _s расщепленных октонионов , замкнутая подгруппа SO ( 3,4), а P — пересечение G с стабилизатор изотропной линии, натянутой на первый стандартный базисный вектор в R ⁷ рассматриваться как чисто мнимые расщепленные октонионы (ортогональное дополнение единичного элемента в O _s ).

Сопутствующие дифференциальные операторы

Ковариантное дифференцирование

Предположим, что M — геометрия Картана, смоделированная на G / H , и пусть ( Q , α ) — главное G -расслоение со связностью, а ( P , η ) — соответствующая редукция к H с η, равным обратному образу α . Пусть V — G представление , × векторное расслоение V = Q образуем _G V над M. и Тогда главная G -связность α на Q индуцирует ковариантную производную на V , которая является линейным дифференциальным оператором первого порядка

$\nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),$

где $\Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )$ обозначает пространство k -форм на M со значениями в V так, что $\Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )$ – пространство сечений V и $\Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )$ – это пространство сечений Hom(TM , V ) . Для любого сечения v из V сжатие ковариантной производной ∇ v с векторным полем X на M обозначается ∇ _X v и удовлетворяет следующему правилу Лейбница:

$\nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v$

для любой гладкой функции f на M .

Ковариантная производная также может быть построена из связности Картана η на P . Фактически, такое построение является несколько более общим, поскольку V не обязательно должно быть полноценным представлением G . Вместо этого предположим, что V является ( ${\mathfrak {g}}$, H )-модуль: представление группы H с совместимым представлением алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. Напомним, что сечение v индуцированного векторного расслоения V над M можно рассматривать как H -эквивариантное отображение P → V . Это точка зрения, которую мы примем. Пусть X — векторное поле на M . Выберите любой правоинвариантный лифт. ${\bar {X}}$ к касательному расслоению P . Определять

$\nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v$.

Чтобы показать, что ∇ v корректно определен, он должен:

1. быть независимым от выбранного лифта ${\bar {X}}$
2. быть эквивариантным, так что оно спускается в сечение расслоения V .

Для (1) неоднозначность выбора правоинвариантного подъема X представляет собой преобразование вида $X\mapsto X+X_{\xi }$ где $X_{\xi }$ – правоинвариантное вертикальное векторное поле, индуцированное $\xi \in {\mathfrak {h}}$. Итак, вычисление ковариантной производной через новый лифт ${\bar {X}}+X_{\xi }$, у одного есть

$\nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v$

$=dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v$

$=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v$

с $\xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0$ взяв дифференциал свойства эквивариантности $h\cdot R_{h}^{*}v=v$ в час, равный единичному элементу.

Для (2) заметим, что, поскольку v эквивариантно и ${\bar {X}}$ является правоинвариантным, $dv({\bar {X}})$ является эквивариантным. С другой стороны, поскольку η также эквивариантно, отсюда следует, что $\eta ({\bar {X}})\cdot v$ также эквивариантно.

Фундаментальная или универсальная производная

Предположим, что V является только представлением подгруппы H и не обязательно большей группы G . Позволять $\Omega ^{k}(P,V)$ — пространство V -значных дифференциальных k- форм на P . При наличии картановской связности существует канонический изоморфизм

$\varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})$

данный $\varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))$ где $\beta \in \Omega ^{k}(P,V)$ и $\xi _{j}\in {\mathfrak {g}}$.

Для каждого k внешняя производная является дифференциальным оператором первого порядка.

$d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,$

и поэтому при k = 0 он определяет дифференциальный оператор

$\varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,$

Поскольку η эквивариантно, если v эквивариантно, то же самое и Dv := φ (d v ). первого порядка Отсюда следует, что эта композиция сводится к дифференциальному оператору D от сечений V = P × _H V к секциям расслоения $P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})$. Это называется фундаментальной или универсальной производной или фундаментальным D-оператором.

Ссылки

• Чап, Андреас; Говер, А. Род (2002), «Тракторное исчисление для параболической геометрии]», Transactions of the American Mathematical Society , 354 (4): 1511–1548, doi : 10.1090/S0002-9947-01-02909-9 .
• Чап, А.; Сагершниг, К. (2009), «О конформной структуре Нуровского, связанной с общим распределением второго ранга в пятом измерении», Journal of Geometry and Physics , 59 (7): 901–912, arXiv : 0710.2208 , Bibcode : 2007arXiv0710.2208C , дои : 10.1016/j.geomphys.2009.04.001 , S2CID   12850650 .
• Картан, Эли (1910), «Системы Пфаффа с пятью переменными и уравнения в частных производных второго порядка», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 27 : 109–192, doi : 10.24033/asens.618 .
• Картан, Эли (1923), «О многообразиях с аффинной связностью и теории обобщенной относительности (первая часть)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751 .
• Картан, Эли (1924), «О многообразиях с проективной связностью», Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033/bsmf.1053 .
• Картан, Эли (1926), «Группы голономии обобщенных пространств», Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007/BF02629755 .
• Картан, Эли (1951), с приложениями Роберта Германа (редактор), Геометрия римановых пространств (перевод Джеймса Глейзбрука из лекций по геометрии римановых пространств , 2-е изд.), Math Sci Press, Массачусетс (опубликовано в 1983 г.), ISBN  978-0-915692-34-7 .
• Шевалле, К. (1946), Теория групп Ли , Princeton University Press, ISBN  0-691-08052-6 .
• Эресманн, К. (1950), «Бесконечно малые связи в дифференциальном расслоенном пространстве», Colloque de Topologie, Брюссель : 29–55, MR   0042768 .
• Фокс, DJF (2005), «Контактные проективные структуры», Математический журнал Университета Индианы , 54 (6): 1547–1598, arXiv : math/0402332 , doi : 10.1512/iumj.2005.54.2603 , S2CID   17061926 .
• Гриффитс, Филлип (1974), «О методе Картана групп Ли и движущихся системах отсчета применительно к вопросам уникальности и существования в дифференциальной геометрии», Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi : 10.1215/S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID   12966544 .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3 .
• Кобаяши, Шошичи (1970), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (1-е изд.), Springer, ISBN  3-540-05848-6 .
• Кобаяши, Шошичи (1957), «Теория связей», Анналы чистой и прикладной математики , серия 4, 43 : 119–194, doi : 10.1007/BF02411907 , S2CID   120972987 .
• Люмисте, В. (2001a) [1994], «Конформная связь» , в Хазевинкеле, Михиэле (редактор), Энциклопедия математики , Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4 .
• Лумисте, Ю. (2001b) [1994], «Соединения на многообразии» , в Хазевинкеле, Михиэле (редактор), Энциклопедия математики , Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4 .
• Сагершниг, К. (2006), «Разделенные октонионы и общие распределения второго ранга в пятом измерении» , Mathematical Archives , 42 (Suppl): 329–339 .
• Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картана программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN  0-387-94732-9 .
• Словак, Ян (1997), Параболическая геометрия (PDF) , конспекты исследовательских лекций, часть докторской диссертации, Университет Масарика, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2022 г.

Книги

• Кобаяши, Шошичи (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Классика математики, изд. 1995 г.), Springer-Verlag, Берлин, ISBN  978-3-540-58659-3 .

В разделе 3. Картановские связи [страницы 127–130] конформные и проективные связи рассматриваются единым образом.

Внешние ссылки

• Ю. Лумисте (2001) [1994], «Аффинная связь» , Энциклопедия математики , EMS Press