Математическое моделирование инфекционных заболеваний

Математические модели могут прогнозировать развитие инфекционных заболеваний , показывать вероятный исход эпидемии ( в том числе среди растений ) и помогать информировать общественное здравоохранение и меры по охране растений. Модели используют базовые предположения или собранную статистику вместе с математическими вычислениями для поиска параметров различных инфекционных заболеваний и используют эти параметры для расчета эффектов различных вмешательств, таких как программы массовой вакцинации . Моделирование может помочь решить, каких вмешательств следует избегать, а какие опробовать, или предсказать будущие модели роста и т. д.

История

Моделирование инфекционных заболеваний — это инструмент, который использовался для изучения механизмов распространения заболеваний, для прогнозирования будущего развития вспышки и оценки стратегий борьбы с эпидемией.

Первым ученым, который систематически пытался количественно оценить причины смерти, был Джон Граун в своей книге « Естественные и политические наблюдения над счетами смертности » в 1662 году. Счета, которые он изучал, представляли собой списки чисел и причин смертей, публикуемые еженедельно. Анализ причин смерти Граунта считается началом «теории конкурирующих рисков», которая, по мнению Дейли и Гани, - это «теория, которая сейчас прочно утвердилась среди современных эпидемиологов».

Самый ранний отчет о математическом моделировании распространения болезней был выполнен в 1760 году Даниэлем Бернулли . По образованию врач Бернулли создал математическую модель, защищающую практику прививок от оспы . Расчеты по этой модели показали, что всеобщая прививка от оспы увеличит продолжительность жизни с 26 лет 7 месяцев до 29 лет 9 месяцев. Работа Даниэля Бернулли предшествовала современному пониманию теории микробов .

В начале 20 века Уильям Хамер и Рональд Росс применил закон действия масс для объяснения поведения эпидемий.

В 1920-е годы появились секционные модели. Эпидемическая модель Кермака -Маккендрика (1927 г.) и эпидемическая модель Рида-Фроста (1928 г.) описывают взаимоотношения между восприимчивыми , инфицированными и иммунными людьми в популяции. Эпидемическая модель Кермака-Маккендрика успешно предсказала поведение вспышек, очень похожее на то, которое наблюдалось во многих зарегистрированных эпидемиях.

В последнее время агентные модели (ABM) стали использоваться взамен более простых секционных моделей . Например, эпидемиологические ПРО использовались для информирования о мерах общественного здравоохранения (нефармацевтических) против распространения SARS-CoV-2 . Эпидемиологические ПРО, несмотря на их сложность и требующие высокой вычислительной мощности, подвергались критике за упрощение и нереалистичность предположений. Тем не менее, они могут быть полезны для принятия решений относительно мер по смягчению и подавлению в случаях, когда ПРО точно откалиброваны.

Предположения

Модели хороши настолько, насколько хороши предположения, на которых они основаны. Если модель делает прогнозы, которые не соответствуют наблюдаемым результатам, а математические расчеты верны, первоначальные предположения должны измениться, чтобы модель стала полезной.

• Прямоугольное и стационарное распределение по возрасту , т. е. все члены популяции доживают до возраста L , а затем умирают, и для каждого возраста (до L ) в популяции имеется одинаковое количество людей. Это часто вполне оправдано для развитых стран, где низкая детская смертность и большая часть населения доживает до ожидаемой продолжительности жизни.
• Однородное перемешивание населения, т. е. особи исследуемой популяции распределяются и вступают в контакт случайным образом и не смешиваются в основном в меньшие по размеру подгруппы. Это предположение редко бывает оправданным, поскольку социальная структура широко распространена. Например, большинство людей в Лондоне вступают в контакт только с другими лондонцами. Кроме того, внутри Лондона существуют более мелкие подгруппы, такие как турецкая община или подростки (просто приведу два примера), которые общаются друг с другом больше, чем люди, не входящие в их группу. Однако однородное смешивание является стандартным предположением, позволяющим сделать математические вычисления понятными.

Типы моделей эпидемии

Стохастический

«Стохастический» означает наличие или наличие случайной величины. Стохастическая модель — это инструмент для оценки распределения вероятностей потенциальных результатов, допускающий случайные изменения одного или нескольких входных данных с течением времени. Стохастические модели зависят от случайных изменений риска заражения, заболевания и динамики других заболеваний. Статистическое распространение заболевания на уровне агента в небольших или больших популяциях можно определить стохастическими методами.

Детерминированный

При работе с большими популяциями, как в случае с туберкулезом, часто используются детерминированные или фрагментарные математические модели. В детерминистской модели отдельные лица в популяции распределяются по разным подгруппам или сегментам, каждая из которых представляет определенную стадию эпидемии.

Скорости перехода из одного класса в другой математически выражаются в виде производных, поэтому модель формулируется с использованием дифференциальных уравнений. При построении таких моделей необходимо исходить из того, что численность населения в каком-либо компартменте дифференцируема во времени и что эпидемический процесс носит детерминированный характер. Другими словами, изменения в численности населения компартмента можно рассчитать, используя только историю, которая использовалась для разработки модели.

Субэкспоненциальный рост

Распространенное объяснение роста эпидемий состоит в том, что 1 человек заражает 2, эти 2 заражают 4 и так далее и так далее, причем число инфицированных удваивается каждое поколение.Это аналогично игре в метки , где 1 человек отмечает 2, эти 2 отмечают 4 других, которых никогда не отмечали, и так далее. По ходу игры она становится все более безумной, поскольку помеченные пробегают мимо ранее помеченных, чтобы выследить тех, кого никогда не помечали.Таким образом, эта модель эпидемии приводит к кривой, которая растет в геометрической прогрессии , пока не упадет до нуля, поскольку все население инфицировано. т.е. нет коллективного иммунитета и нет пика и постепенного снижения, как это наблюдается в действительности.

Эпидемические модели в сетях

Эпидемии можно моделировать как болезни, распространяющиеся через сети контактов между людьми. Такую сеть можно математически представить в виде графа , и она называется контактной сетью. Каждый узел в контактной сети представляет собой личность, а каждое звено (ребро) между парой узлов представляет собой контакт между ними. Связи в контактных сетях могут использоваться для передачи заболевания между людьми, и каждое заболевание имеет свою собственную динамику поверх своей контактной сети. Сочетание динамики заболевания под влиянием вмешательств, если таковые имеются, в контактной сети можно смоделировать с помощью другой сети, известной как сеть передачи. В сети передачи за передачу заболевания отвечают все звенья. Если такая сеть является локально древовидной сетью, то есть любая локальная окрестность в такой сети принимает форму дерева , то базовое воспроизведение можно записать через среднюю степень избытка передающей сети так, что:

$$R_{0}={\frac {\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle }}-1,$$

где ${\langle k\rangle }$ - средняя степень (средняя степень) сети и ${\langle k^{2}\rangle }$ — второй момент сети передачи распределения степени . Однако не всегда легко найти сеть передачи вне контактной сети и динамики заболевания. Например, если сеть контактов может быть аппроксимирована графом Эрдеша-Реньи с распределением степеней Пуассона , а параметры распространения заболевания такие, как определено в приведенном выше примере, так что $\beta$ — это скорость передачи на человека, а средний заразный период заболевания составляет ${\dfrac {1}{\gamma }}$, то базовый номер воспроизводства равен $R_{0}={\dfrac {\beta }{\gamma }}{\langle k\rangle }$ с ${\langle k^{2}\rangle }-{\langle k\rangle }^{2}={\langle k\rangle }$ для распределения Пуассона.

Номер репродукции

Основная статья: Базовый номер репродукции

Базовое число воспроизводства (обозначается R ₀ ) является мерой того, насколько переносима болезнь. Это среднее количество людей, которых заразит один заразный человек за время заражения. Это количество определяет, будет ли инфекция расти субэкспоненциально , исчезнет или останется постоянной: если R ₀ > 1, то каждый человек в среднем заражает более одного человека, поэтому болезнь будет распространяться; если R ₀ < 1, то каждый человек в среднем заражает менее одного человека, поэтому болезнь вымирает; а если R ₀ = 1, то каждый человек заразит в среднем ровно одного человека, поэтому болезнь станет эндемической: она распространится по всей популяции, но не увеличится и не уменьшится.

Эндемическое устойчивое состояние

Инфекционное заболевание считается эндемичным , если оно может поддерживаться в популяции без необходимости внешних воздействий. Это означает, что в среднем каждый зараженный человек заражает ровно одного другого человека (если больше, то число инфицированных вырастет субэкспоненциально , и возникнет эпидемия , меньше – и болезнь вымрет). Говоря математическим языком, это:

$\ R_{0}S\ =1.$

Базовый коэффициент воспроизводства ( R ₀ ) болезни, предполагая, что все восприимчивы, умноженный на долю населения, которая действительно восприимчива ( S ), должен быть равен единице (поскольку те, кто не восприимчив, не учитываются в наших расчетах, поскольку они не могут заразиться болезнью). Обратите внимание: это соотношение означает, что для того, чтобы болезнь находилась в устойчивом эндемическом состоянии , чем выше базовый коэффициент воспроизводства, тем ниже должна быть доля восприимчивого населения, и наоборот. Это выражение имеет ограничения, касающиеся доли восприимчивости, например, R ₀ равно 0,5, что означает, что S должно быть равно 2, однако эта доля превышает размер популяции.

Предположим, что распределение по возрасту прямоугольное, а возраст заражения имеет одинаковое распределение для каждого года рождения. Пусть средний возраст заражения равен A , например, когда люди моложе A восприимчивы, а люди старше A имеют иммунитет (или заразны). Тогда можно с помощью простого аргумента показать, что доля восприимчивого населения определяется выражением:

$S={\frac {A}{L}}.$

Мы еще раз повторяем, что L — это возраст, в котором в этой модели предполагается, что каждый человек умирает. Но математическое определение эндемического устойчивого состояния можно переформулировать следующим образом:

$S={\frac {1}{R_{0}}}.$

Следовательно, в силу транзитивного свойства :

${\frac {1}{R_{0}}}={\frac {A}{L}}\Rightarrow R_{0}={\frac {L}{A}}.$

Это обеспечивает простой способ оценки параметра R ₀ с использованием легкодоступных данных.

Для населения с экспоненциальным возрастным распределением

$R_{0}=1+{\frac {L}{A}}.$

Это позволяет определить базовый коэффициент воспроизводства заболевания с учетом A и L при любом типе распределения населения.

Компартментальные модели в эпидемиологии

Основная статья: Компартментальные модели в эпидемиологии

Компартментальные модели сформулированы как цепи Маркова . Классической моделью в эпидемиологии является модель SIR, которую можно использовать как простую модель для моделирования эпидемий. Также используются несколько других типов секционных моделей.

Модель СИР

Схема модели SIR с начальными значениями ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$, и уровень заражения ${\textstyle \beta =0.4}$ и для восстановления ${\textstyle \gamma =0.04}$

Анимация модели SIR с начальными значениями ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$и скорость восстановления ${\textstyle \gamma =0.04}$. На анимации показан эффект снижения уровня заражения от ${\textstyle \beta =0.5}$ к ${\textstyle \beta =0.12}$. Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень заражения (часто называемое « сглаживанием кривой ») можно только с помощью соответствующих мер, таких как социальное дистанцирование.

В 1927 году У. О. Кермак и А. Г. Маккендрик создали модель, в которой они рассматривали фиксированную популяцию только с тремя компартментами: восприимчивой, $S(t)$; зараженный, $I(t)$; и выздоровел, $R(t)$. Отсеки, используемые в этой модели, состоят из трех классов:

• $S(t)$ используется для обозначения лиц, еще не инфицированных этим заболеванием на момент времени t, или восприимчивых к заболеванию населения.
• $I(t)$ обозначает лиц из населения, которые были инфицированы этим заболеванием и способны распространить заболевание среди лиц, относящихся к восприимчивой категории.
• $R(t)$ — это отсек, используемый для лиц из популяции, которые были инфицированы, а затем выздоровели от болезни либо в результате иммунизации, либо в результате смерти. Люди из этой категории не могут заразиться повторно или передать инфекцию другим.

Другие купейные модели

Существует множество модификаций модели SIR, в том числе те, которые включают рождения и смерти, где при выздоровлении иммунитет отсутствует (модель SIS), где иммунитет сохраняется лишь в течение короткого периода времени (SIRS), где имеется латентный период заболевание, при котором человек не заразен ( SEIS и SEIR ) и при котором дети могут рождаться с иммунитетом (MSIR).

Динамика инфекционных заболеваний

Математические модели должны интегрировать растущий объем данных , генерируемых о взаимодействии хозяина и патогена . многие теоретические исследования динамики популяций , структуры и эволюции инфекционных болезней растений и животных, в том числе человека. Этой проблеме посвящены

Темы исследований включают в себя:

• антигенный сдвиг
• эпидемиологические сети
• эволюция и распространение сопротивления
• иммуноэпидемиология ​
• внутрихозяинная динамика
• Пандемия
• патогена популяционная генетика
• персистенция возбудителей внутри хозяев
• филодинамика
• роль и выявление резервуаров инфекции
• роль генетических факторов хозяина
• пространственная эпидемиология
• статистические и математические инструменты и инновации
• Штаммовая (биологическая) структура и взаимодействие
• передача , распространение и контроль инфекции
• вирулентность

Математика массовой вакцинации

Если доля населения, обладающего иммунитетом, превышает уровень коллективного иммунитета к заболеванию, то болезнь больше не может персистировать в популяции и ее передача прекращается. Таким образом, болезнь может быть устранена из популяции, если достаточное количество людей имеют иммунитет благодаря вакцинации или восстановлению после предыдущего заражения болезнью. Например, ликвидация оспы (последний дикий случай произошел в 1977 г.) и сертификация ликвидации местной передачи 2 из 3 типов дикого полиовируса (тип 2 в 2015 г., после последнего зарегистрированного случая в 1999 г., и тип 3 в 2019 г.). , после последнего зарегистрированного случая в 2012 году).

Уровень коллективного иммунитета будем обозначать q . Напомним, что для стабильного состояния:

$R_{0}\cdot S=1.$

По очереди,

$R_{0}={\frac {N}{S}}={\frac {\mu N\operatorname {E} (T_{L})}{\mu N\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}}={\frac {\operatorname {E} (T_{L})}{\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}},$

что примерно равно:

${\frac {\operatorname {\operatorname {E} } (T_{L})}{\operatorname {\operatorname {E} } (T_{S})}}=1+{\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {\beta N}{v}}.$

График зависимости порога коллективного иммунитета от базового репродуктивного числа при отдельных заболеваниях

S будет равно (1 − q ), поскольку q — это доля населения, обладающего иммунитетом, а q + S должно равняться единице (поскольку в этой упрощенной модели все либо восприимчивы, либо невосприимчивы). Затем:

${\begin{aligned}&R_{0}\cdot (1-q)=1,\\[6pt]&1-q={\frac {1}{R_{0}}},\\[6pt]&q=1-{\frac {1}{R_{0}}}.\end{aligned}}$

Помните, что это пороговый уровень. Смерть от передачи произойдет только в том случае, если доля иммунных лиц превысит этот уровень из-за программы массовой вакцинации.

Мы только что рассчитали критический порог иммунизации (обозначенный q _c ). Это минимальная доля населения, которая должна быть иммунизирована при рождении (или незадолго до рождения), чтобы инфекция в популяции вымерла.

$q_{c}=1-{\frac {1}{R_{0}}}.$

Потому что доля окончательной численности популяции p , которая никогда не инфицирована, может быть определена как:

$\lim _{t\to \infty }S(t)=e^{-\int _{0}^{\infty }\lambda (t)\,dt}=1-p.$

Следовательно,

$p=1-e^{-\int _{0}^{\infty }\beta I(t)\,dt}=1-e^{-R_{0}p}.$

Решение для $R_{0}$, получаем:

$R_{0}={\frac {-\ln(1-p)}{p}}.$

Когда массовая вакцинация не может превысить коллективный иммунитет

Если используемая вакцина недостаточно эффективна или требуемый охват не может быть достигнут, программа может не превысить q _c . Такая программа защитит привитых от болезней, но может изменить динамику передачи.

Предположим, что часть населения q (где q < q _c ) при рождении иммунизирована против инфекции с R ₀ > 1. Программа вакцинации меняет R ₀ на R _q , где

$R_{q}=R_{0}(1-q)$

Это изменение происходит просто потому, что сейчас среди населения меньше восприимчивых людей, которые могут заразиться. R _q — это просто R ₀ минус те, кто обычно был бы заражен, но не может быть заражен сейчас, поскольку у них есть иммунитет.

Вследствие этого более низкого базового репродуктивного числа средний возраст заражения A также изменится на некоторое новое значение A _q у тех, кто остался непривитым.

Вспомните отношение, связывающее R ₀ , A и L . Если предположить, что ожидаемая продолжительность жизни не изменилась, то теперь:

$R_{q}={\frac {L}{A_{q}}},$

$A_{q}={\frac {L}{R_{q}}}={\frac {L}{R_{0}(1-q)}}.$

Но R ₀ = L / A , так что:

$A_{q}={\frac {L}{(L/A)(1-q)}}={\frac {AL}{L(1-q)}}={\frac {A}{1-q}}.$

Таким образом, программа вакцинации может повысить средний возраст заражения, а у непривитых лиц будет наблюдаться снижение силы заражения из-за присутствия вакцинированной группы. Что касается заболевания, которое приводит к большей клинической тяжести у пожилых людей, то у непривитой части населения заболевание может возникнуть относительно позже в жизни, чем это произошло бы в отсутствие вакцины.

Когда массовая вакцинация превышает коллективный иммунитет

Если программа вакцинации приведет к тому, что доля иммунных лиц в популяции превысит критический порог в течение значительного периода времени, передача инфекционного заболевания в этой популяции прекратится. Если элиминация происходит повсюду одновременно, то это может привести к ликвидации .

Устранение

Прекращение эндемической передачи инфекционного заболевания, которое происходит, если каждый инфицированный человек заражает меньше другого, достигается за счет поддержания охвата вакцинацией, чтобы доля иммунных лиц превышала критический порог иммунизации.

Искоренение

Элиминация повсюду одновременно, приводящая к гибели возбудителя инфекции (например, оспы и чумы крупного рогатого скота ).

Надежность

Преимущество моделей заключается в одновременном изучении нескольких результатов вместо того, чтобы делать единый прогноз. Модели продемонстрировали широкую степень надежности при прошлых пандемиях, таких как SARS , SARS-CoV-2 , Свиной грипп , MERS и Эбола .

См. также

• Базовый номер репродукции
• Компартментальные модели в эпидемиологии
• Отслеживание контактов
• Критический размер сообщества
• Эпиднадзор за болезнями
• Модель экосистемы
• Сила заражения
• Ландшафтная эпидемиология
• Матрица нового поколения
• Пандемия
• Фактор риска
• Сексуальная сеть
• Матрица WAIFW

Дальнейшее чтение

• Килинг М., Рохани П. Моделирование инфекционных заболеваний: у людей и животных . Принстон: Издательство Принстонского университета.
• фон Чефалвай К. Компьютерное моделирование инфекционных заболеваний . Кембридж, Массачусетс: Elsevier/Academic Press . Проверено 27 февраля 2023 г.
• Винницкий Э, Белый РГ. Введение в моделирование инфекционных заболеваний . Проверено 15 февраля 2016 г. Вводная книга по моделированию инфекционных заболеваний и его применению.
• Грассли, Северная Каролина, Фрейзер С. (июнь 2008 г.). «Математические модели передачи инфекционных заболеваний» . Обзоры природы. Микробиология . 6 (6): 477–87. дои : 10.1038/nrmicro1845 . ПМК   7097581 . ПМИД   18533288 .
• Boily MC, Mâsse B (июль – август 1997 г.). «Математические модели передачи заболеваний: ценный инструмент для изучения заболеваний, передающихся половым путем» . Канадский журнал общественного здравоохранения . 88 (4): 255–65. дои : 10.1007/BF03404793 . ПМК   6990198 . ПМИД   9336095 .
• Капассо В. Математические структуры эпидемических систем. Второе издание . Гейдельберг, 2008: Спрингер. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

Внешние ссылки

Программное обеспечение

• Model-Builder : интерактивное программное обеспечение (с графическим интерфейсом пользователя) для построения, моделирования и анализа моделей ODE.
• GLEaMviz Simulator : позволяет моделировать возникающие инфекционные заболевания, распространяющиеся по всему миру.
• STEM : платформа с открытым исходным кодом для эпидемиологического моделирования, доступная через Eclipse Foundation.
• R в пакете Эпиднадзор : Временное и пространственно-временное моделирование и мониторинг эпидемических явлений