Jump to content

Диаграмма Вороного

(Перенаправлено из Диаграммы Вороного )
20 точек и их ячейки Вороного (увеличенная версия ниже )

В математике диаграмма Вороного — это разбиение плоскости на области , близкие к каждому из заданного набора объектов. Его также можно классифицировать как тесселяцию . В простейшем случае эти объекты представляют собой конечное число точек на плоскости (называемых семенами, узлами или генераторами). Для каждого семени существует соответствующая область , называемая ячейкой Вороного , состоящая из всех точек плоскости, находящихся ближе к этому семени, чем к любому другому. Диаграмма Вороного набора точек двойственна этого набора триангуляции Делоне .

Диаграмма Вороного названа в честь математика Георгия Вороного , а также называется мозаикой Вороного , разложением Вороного , разбиением Вороного или мозаикой Дирихле (в честь Питера Густава Лежена Дирихле ). Ячейки Вороного также известны как многоугольники Тиссена , в честь Альфреда Х. Тиссена . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Диаграммы Вороного имеют практическое и теоретическое применение во многих областях, в основном в науке и технике , а также в изобразительном искусстве . [ 4 ] [ 5 ]

Самый простой случай

[ редактировать ]

В простейшем случае, показанном на первой картинке, нам дан конечный набор точек в евклидовой плоскости . В этом случае каждый сайт - одна из этих заданных точек, а соответствующая ей ячейка Вороного состоит из каждой точки евклидовой плоскости, для которой ближайший объект: расстояние до меньше или равно минимальному расстоянию до любого другого объекта . Для еще одного сайта , точки, которые ближе к чем , или одинаково удаленные, образуют замкнутое полупространство , граница которого является серединным перпендикуляром отрезка прямой . Клетка это пересечение всего этого полупространства, и, следовательно, это выпуклый многоугольник . [ 6 ] Когда две ячейки на диаграмме Вороного имеют общую границу, это отрезок , луч или линия, состоящая из всех точек плоскости, которые равноудалены от двух ближайших к ним точек. Вершины . диаграммы, где встречаются три или более из этих границ, представляют собой точки, имеющие три или более одинаково удаленных ближайших узла

Формальное определение

[ редактировать ]

Позволять быть метрическим пространством с функцией расстояния . Позволять — набор индексов и пусть быть кортежем (индексированной коллекцией) непустых подмножеств (сайтов) в пространстве . Ячейка Вороного, или область Вороного, , связанный с сайтом это совокупность всех точек расстояние до которого не больше, чем их расстояние до других сайтов , где отличается ли какой-либо индекс от . Другими словами, если обозначает расстояние между точкой и подмножество , затем

Диаграмма Вороного — это просто набор ячеек. . В принципе, некоторые сайты могут пересекаться и даже совпадать (ниже описано применение сайтов, представляющих магазины), но обычно они считаются непересекающимися. Кроме того, в определении допускается бесконечное количество узлов (эта настройка имеет приложения в геометрии чисел и кристаллографии ), но опять же во многих случаях рассматривается только конечное число узлов.

В частном случае, когда пространство представляет собой конечномерное евклидово пространство , каждый узел является точкой, точек конечно много и все они различны, тогда ячейки Вороного являются выпуклыми многогранниками , и их можно представить комбинаторно с помощью их вершины, стороны, двумерные грани и т. д. Иногда индуцированную комбинаторную структуру называют диаграммой Вороного. Однако в целом ячейки Вороного могут быть невыпуклыми и даже не связными.

В обычном евклидовом пространстве мы можем переписать формальное определение в обычных терминах. Каждый полигон Вороного связан с генераторной точкой . Позволять — множество всех точек евклидова пространства. Позволять быть точкой, которая генерирует область Вороного , который генерирует , и который генерирует , и так далее. Тогда, как выразились Тран и др ., [ 7 ] «все местоположения в многоугольнике Вороного находятся ближе к образующей точке этого многоугольника, чем любая другая образующая точка на диаграмме Вороного в евклидовой плоскости».

Иллюстрация

[ редактировать ]

В качестве простой иллюстрации рассмотрим группу магазинов в городе. Предположим, мы хотим оценить количество покупателей данного магазина. При прочих равных условиях (цена, продукция, качество обслуживания и т. д.) разумно предположить, что покупатели выбирают предпочитаемый магазин просто по соображениям расстояния: они пойдут в ближайший к ним магазин. В этом случае ячейка Вороного данного магазина можно использовать для приблизительной оценки количества потенциальных покупателей, посещающих этот магазин (который моделируется точкой в ​​нашем городе).

Для большинства городов расстояние между точками можно измерить с помощью привычного нам метода. Евклидово расстояние :

или Манхэттенское расстояние :

.

Соответствующие диаграммы Вороного выглядят по-разному для разных метрик расстояния.

Диаграммы Вороного по 20 точкам по двум разным метрикам

Характеристики

[ редактировать ]
  • Двойственный граф диаграммы Вороного (в случае евклидова пространства с точечными узлами) соответствует триангуляции Делоне для того же набора точек.
  • Ближайшая пара точек соответствует двум соседним ячейкам диаграммы Вороного.
  • Предположим, что задана евклидова плоскость и задан дискретный набор точек. Тогда две точки множества смежны на выпуклой оболочке тогда и только тогда, когда их ячейки Вороного имеют бесконечно длинную сторону.
  • Если пространство является нормированным пространством и расстояние до каждого узла достигнуто (например, когда узел представляет собой компакт или замкнутый шар), то каждую ячейку Вороного можно представить как объединение отрезков, исходящих из узлов. [ 8 ] Как показано там, это свойство не обязательно сохраняется, если расстояние не достигнуто.
  • При относительно общих условиях (пространство представляет собой, возможно, бесконечномерное равномерно выпуклое пространство , может быть бесконечно много узлов общего вида и т. д.) ячейки Вороного обладают определенным свойством устойчивости: небольшим изменением формы узлов, напр. , изменение, вызванное некоторой трансляцией или искажением, приводит к небольшому изменению формы ячеек Вороного. В этом заключается геометрическая устойчивость диаграмм Вороного. [ 9 ] Как там показано, это свойство, вообще говоря, не выполняется, даже если пространство двумерно (но неравномерно выпукло и, в частности, неевклидово) и узлы являются точками.

История и исследования

[ редактировать ]

Неофициальное использование диаграмм Вороного восходит к Декарту в 1644 году. [ 10 ] Питер Густав Лежен Дирихле использовал двумерные и трехмерные диаграммы Вороного в своем исследовании квадратичных форм в 1850 году. Британский врач Джон Сноу использовал диаграмму, подобную Вороному, в 1854 году, чтобы проиллюстрировать, как большинство людей, умерших во время вспышки холеры на Брод-стрит, жили ближе к зараженному насосу на Брод-стрит, чем к любому другому водяному насосу.

Диаграммы Вороного названы в честь Георгия Феодосиевича Вороного, который определил и изучил общий n -мерный случай в 1908 году. [ 11 ] Диаграммы Вороного, которые используются в геофизике и метеорологии для анализа пространственно распределенных данных, называются полигонами Тиссена в честь американского метеоролога Альфреда Х. Тиссена , который использовал их для оценки количества осадков на основе разрозненных измерений в 1911 году. Другие эквивалентные названия для этой концепции (или отдельных важных случаев it): многогранники Вороного, многоугольники Вороного, область(и) влияния, разложение Вороного, мозаика(ы) Вороного, мозаика(ы) Дирихле.

Это фрагмент диаграммы Вороного случайного набора точек в трехмерном блоке. В общем, поперечное сечение трехмерной мозаики Вороного представляет собой степенную диаграмму , взвешенную форму двумерной диаграммы Вороного, а не невзвешенную диаграмму Вороного.

Мозаики Вороного из регулярных решеток точек в двух или трех измерениях порождают многие знакомые мозаики.

Определенные объемноцентрированные тетрагональные решетки образуют мозаику пространства с ромбо-шестиугольными додекаэдрами .

Для набора точек ( x , y ) с x в дискретном множестве X и y в дискретном множестве Y мы получаем прямоугольные плитки с точками не обязательно в их центрах.

Диаграммы Вороного высшего порядка

[ редактировать ]

Хотя нормальная ячейка Вороного определяется как набор точек, ближайших к одной точке в S , ячейка Вороного n -го порядка определяется как набор точек, имеющих конкретный набор из n точек в S в качестве n ближайших соседей. Диаграммы Вороного высшего порядка также подразделяют пространство.

Диаграммы Вороного высшего порядка можно генерировать рекурсивно. Чтобы сгенерировать n й -порядок диаграммы Вороного из множества S , начните с ( n − 1) й -порядка и замените каждую ячейку, порожденную X = { x 1 , x 2 , ..., x n −1 }, диаграммой Вороного, порожденной на множестве S X .

Диаграмма Вороного для самой дальней точки

[ редактировать ]

Для набора из n точек ( n − 1) й Диаграмма Вороного -порядка называется диаграммой Вороного в самой дальней точке.

Для данного набора точек S = { p 1 , p 2 , ..., p n } диаграмма Вороного самой дальней точки делит плоскость на ячейки, в которых одна и та же точка P является самой дальней точкой. Точка P точки тогда и только тогда, когда она является вершиной выпуклой оболочки P имеет ячейку в диаграмме Вороного самой дальней . Пусть H = { h 1 , h 2 , ..., h k } — выпуклая оболочка P ; тогда диаграмма Вороного с самой дальней точкой представляет собой подразделение плоскости на k ячеек, по одной для каждой точки в H , со свойством, что точка q лежит в ячейке, соответствующей узлу h i тогда и только тогда, когда d( q , h i ) > d( q , p j ) для каждого p j S с h i p j , где d( p , q ) — евклидово расстояние между двумя точками p и q . [ 12 ] [ 13 ]

Границы ячеек диаграммы Вороного в самой дальней точке имеют структуру топологического дерева с бесконечными лучами в качестве его листьев. Каждое конечное дерево изоморфно дереву, сформированному таким образом из диаграммы Вороного в самой дальней точке. [ 14 ]

Обобщения и вариации

[ редактировать ]

Как следует из определения, ячейки Вороного могут быть определены для метрик, отличных от евклидовых, таких как расстояние Махаланобиса или расстояние Манхэттена . Однако в этих случаях границы ячеек Вороного могут быть более сложными, чем в евклидовом случае, поскольку эквидистантное множество для двух точек может не быть подпространством коразмерности 1 даже в двумерном случае.

Приближенная диаграмма Вороного множества точек. Обратите внимание на смешанные цвета на нечеткой границе ячеек Вороного.

Взвешенная диаграмма Вороного — это диаграмма, в которой функция пары точек, определяющая ячейку Вороного, представляет собой функцию расстояния, модифицированную мультипликативными или аддитивными весами, присвоенными точкам генератора. В отличие от случая ячеек Вороного, определяемых с использованием расстояния, которое является метрикой , в этом случае некоторые ячейки Вороного могут быть пустыми. Диаграмма мощности — это тип диаграммы Вороного, определяемой из набора кругов с использованием расстояния власти ; ее также можно рассматривать как взвешенную диаграмму Вороного, в которой вес, определенный исходя из радиуса каждого круга, добавляется к квадрату евклидова расстояния от центра круга. [ 15 ]

Диаграмма Вороного указывает на -мерное пространство может иметь вершин, требуя одинаковой оценки объема памяти, необходимой для хранения ее явного описания. Поэтому диаграммы Вороного часто неприменимы для средних или больших размерностей. Более экономичная альтернатива — использовать приближенные диаграммы Вороного . [ 16 ]

Диаграммы Вороного также связаны с другими геометрическими структурами, такими как медиальная ось (которая нашла применение в сегментации изображений, оптическом распознавании символов и других вычислительных приложениях), прямой скелет и диаграммы зон .

Приложения

[ редактировать ]

Метеорология/Гидрология

[ редактировать ]

Он используется в метеорологии и инженерной гидрологии для определения весов данных об осадках на станциях по территории (водоразделу). Точками, образующими полигоны, являются различные станции, записывающие данные об осадках. К линии, соединяющей любые две станции, проводят биссектрисы. Это приводит к образованию полигонов вокруг станций. Район точка касания станции известна как зона влияния станции. Среднее количество осадков рассчитывается по формуле

Гуманитарные и социальные науки

[ редактировать ]

Естественные науки

[ редактировать ]
Мозаика Вороного возникает в результате радиального роста семян наружу.

Здоровье

[ редактировать ]
  • В медицинской диагностике модели мышечной ткани, основанные на диаграммах Вороного, могут использоваться для выявления нервно-мышечных заболеваний. [ 22 ]
  • В эпидемиологии диаграммы Вороного можно использовать для корреляции источников инфекций при эпидемиях. Одно из первых применений диаграмм Вороного было применено Джоном Сноу для изучения вспышки холеры на Брод-стрит в 1854 году в Сохо, Англия. Он показал корреляцию между жилыми районами на карте центрального Лондона, жители которых пользовались определенным водяным насосом, и районами с наибольшим количеством смертей из-за вспышки. [ 26 ]

Инженерное дело

[ редактировать ]

Математика

[ редактировать ]

Информатика

[ редактировать ]
  • В сетях диаграммы Вороного могут быть использованы для определения пропускной способности беспроводной сети .
  • В компьютерной графике диаграммы Вороного используются для расчета трехмерных геометрических моделей разрушения/разрыва. Он также используется для процедурного создания органических текстур или текстур, похожих на лаву.
  • В автономной навигации роботов диаграммы Вороного используются для поиска четких маршрутов. Если точки являются препятствиями, то ребрами графа будут маршруты, наиболее удаленные от препятствий (и теоретически от любых столкновений).
  • В машинном обучении диаграммы Вороного используются для классификации 1-NN . [ 39 ]
  • При глобальной реконструкции сцены, в том числе со случайными местоположениями датчиков и нестационарным следом, геофизическими данными и трехмерными данными турбулентности, тесселяции Вороного используются с глубоким обучением . [ 40 ]
  • При разработке пользовательского интерфейса шаблоны Вороного можно использовать для вычисления наилучшего состояния наведения для заданной точки. [ 41 ]

Гражданское право и планирование

[ редактировать ]
  • В Мельбурне учащиеся государственных школ всегда имеют право посещать ближайшую к месту их проживания начальную или среднюю школу, если измерять расстояние по прямой. Таким образом, карта школьных зон представляет собой диаграмму Вороного. [ 42 ]
  • Украинский кондитер Динара Касько использует математические принципы диаграммы Вороного для создания силиконовых форм, изготовленных на 3D-принтере, для придания формы своим оригинальным тортам. [ 43 ]

Алгоритмы

[ редактировать ]

Известно несколько эффективных алгоритмов построения диаграмм Вороного либо напрямую (как сама диаграмма), либо косвенно, начиная с триангуляции Делоне и затем получая ее двойственную. К прямым алгоритмам относится алгоритм Фортуны алгоритм O ( n log( n )) для генерации диаграммы Вороного из набора точек на плоскости. Алгоритм Бойера–Ватсона , от O ( n log( n )) до O ( n 2 ) алгоритм построения триангуляции Делоне в любом количестве измерений, может быть использован в косвенном алгоритме для диаграммы Вороного. Алгоритм Jump Flooding может генерировать приблизительные диаграммы Вороного за постоянное время и подходит для использования на обычном графическом оборудовании. [ 44 ] [ 45 ]

Алгоритм Ллойда и его обобщение с помощью алгоритма Линде – Бьюзо – Грея (также известного как кластеризация k-средних ) используют построение диаграмм Вороного в качестве подпрограммы. Эти методы чередуются между этапами построения диаграммы Вороного для набора исходных точек и этапами, на которых исходные точки перемещаются в новые места, которые являются более центральными внутри своих ячеек. Эти методы можно использовать в пространствах произвольной размерности для итеративной сходимости к специализированной форме диаграммы Вороного, называемой центроидальной мозаикой Вороного , где узлы перемещаются в точки, которые также являются геометрическими центрами их ячеек.

Вороной и 3D

[ редактировать ]

Сетки Вороного также можно создавать в 3D.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Берроу, Питер А.; Макдоннелл, Рэйчел; Макдоннелл, Рэйчел А.; Ллойд, Кристофер Д. (2015). «8.11 Ближайшие соседи: многоугольники Тиссена (Дирихле/Ворони)» . Принципы географических информационных систем . Издательство Оксфордского университета. стр. 160–. ISBN  978-0-19-874284-5 .
  2. ^ Лонгли, Пол А.; Гудчайлд, Майкл Ф.; Магуайр, Дэвид Дж.; Ринд, Дэвид В. (2005). «14.4.4.1 Многоугольники Тиссена» . Географические информационные системы и наука . Уайли. стр. 333–. ISBN  978-0-470-87001-3 .
  3. ^ Сен, Зекай (2016). «2.8.1 Многоугольники Делани, Варони и Тиссена» . Принципы пространственного моделирования в науках о Земле . Спрингер. стр. 57–. ISBN  978-3-319-41758-5 .
  4. ^ Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (3): 345–405. дои : 10.1145/116873.116880 . S2CID   4613674 .
  5. ^ Окабе, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные замощения - концепции и применение диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Уайли. ISBN  978-0-471-98635-5 .
  6. ^ Бойд, Стивен; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация . Упражнение 2.9: Издательство Кембриджского университета. п. 60. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
  7. ^ Тран, QT; Тайнар, Д.; Сафар, М. (2009). Транзакции в крупномасштабных системах, ориентированных на данные и знания . Спрингер. п. 357. ИСБН  9783642037214 .
  8. ^ Рим 2009 .
  9. ^ Рим 2011 .
  10. ^ Сенешаль, Марджори (21 мая 1993 г.). «Математические структуры: пространственная мозаика. Концепции и приложения диаграмм Вороного. Ацуюки Окабе, Барри Бутс и Кокичи Сугихара. Уайли, Нью-Йорк, 1992. xii, 532 стр., иллюстр. $ 89,95. Серия Уайли по вероятности и математической статистике» . Наука . 260 (5111): 1170–1173. дои : 10.1126/science.260.5111.1170 . ISSN   0036-8075 . ПМИД   17806355 .
  11. ^ Вороной 1908а и Вороной 1908б .
  12. ^ Jump up to: а б де Берг, Марк ; ван Кревелд, Марк ; Овермарс, Марк ; Шварцкопф, Отфрид (2008). Вычислительная геометрия (Третье изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-77974-2 . 7.4. Диаграммы Вороного для дальней точки. Содержит описание алгоритма.
  13. ^ Скюм, Свен (18 февраля 1991 г.). «Простой алгоритм вычисления наименьшего охватывающего круга». Письма об обработке информации . 37 (3): 121–125. дои : 10.1016/0020-0190(91)90030-L . , содержит простой алгоритм для вычисления диаграммы Вороного в самой дальней точке.
  14. ^ Бидль, Тереза ; Гримм, Карстен; Палиос, Леонид; Шевчук, Джонатан ; Вердоншот, Сандер (2016). «Реализация диаграмм Вороного в самой дальней точке». Материалы 28-й Канадской конференции по вычислительной геометрии (CCCG, 2016) .
  15. ^ Эдельсбруннер, Герберт (2012) [1987]. «13.6 Силовые диаграммы». Алгоритмы в комбинаторной геометрии . Монографии EATCS по теоретической информатике. Том. 10. Шпрингер-Верлаг. стр. 327–328. ISBN  9783642615689 .
  16. ^ Сунил Арья, Сунил; Маламатос, Теохарис; Маунт, Дэвид М. (2002). «Экономичные приближенные диаграммы Вороного». Материалы тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 721–730. дои : 10.1145/509907.510011 . ISBN  1581134959 . S2CID   1727373 .
  17. ^ Хёльшер, Тонио; Кремкер, Сюзанна; Мара, Юбер (2020). « Голова Сабурова в Берлине: между археологическими наблюдениями и геометрическими измерениями». Памятное издание Георгиосу Деспинису (на немецком языке). Афины, Греция: Музей Бенаки .
  18. ^ Ячейки Вороного и геодезические расстояния — глава Сабурова на YouTube . Анализ с использованием программной платформы GigaMesh, как описано Hölscher et al. ср. дои:10.11588/heidok.00027985 .
  19. ^ Лейвер, Майкл; Сердженти, Эрнест (2012). Партийная конкуренция: агентная модель . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-13903-6 .
  20. ^ Бок, Мартин; Тьяги, Амит Кумар; Крефт, Ян-Ульрих; Альт, Вольфганг (2009). «Обобщенная тесселяция Вороного как модель двумерной динамики клеточной ткани». Бюллетень математической биологии . 72 (7): 1696–1731. arXiv : 0901.4469v1 . Бибкод : 2009arXiv0901.4469B . дои : 10.1007/s11538-009-9498-3 . ПМИД   20082148 . S2CID   16074264 .
  21. ^ Хуэй Ли (2012). Баскурт, Атилла М; Ситник, Роберт (ред.). «Пространственное моделирование микроархитектуры кости». Обработка трехмерных изображений (3Dip) и приложения II . 8290 : 82900П. Бибкод : 2012SPIE.8290E..0PL . дои : 10.1117/12.907371 . S2CID   1505014 .
  22. ^ Jump up to: а б Санчес-Гутьеррес, Д.; Тозлуоглу, М.; Барри, доктор юридических наук; Паскаль, А.; Мао, Ю.; Эскудеро, LM (04 января 2016 г.). «Фундаментальные физические клеточные ограничения стимулируют самоорганизацию тканей» . Журнал ЭМБО . 35 (1): 77–88. дои : 10.15252/embj.201592374 . ПМК   4718000 . ПМИД   26598531 .
  23. ^ Файнштейн, Джозеф; Ши, Вэньтао; Рамануджам, Дж.; Брылинский, Михал (2021). «Бионой: представление участков связывания лигандов в белках на основе диаграмм Вороного для приложений машинного обучения». В Балланте, Флавио (ред.). Белково-лигандные взаимодействия и дизайн лекарств . Методы молекулярной биологии. Том. 2266. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer US. стр. 299–312. дои : 10.1007/978-1-0716-1209-5_17 . ISBN  978-1-0716-1209-5 . ПМИД   33759134 . S2CID   232338911 . Проверено 23 апреля 2021 г.
  24. ^ Спрингель, Волкер (2010). «E Pur si Muove: Галилеево-инвариантное космологическое гидродинамическое моделирование на движущейся сетке». МНРАС . 401 (2): 791–851. arXiv : 0901.4107 . Бибкод : 2010MNRAS.401..791S . дои : 10.1111/j.1365-2966.2009.15715.x . S2CID   119241866 .
  25. ^ Касим, Мухаммад Фирмансия (01 января 2017 г.). «Количественная теневая и протонная радиография для модуляций большой интенсивности». Физический обзор E . 95 (2): 023306. arXiv : 1607.04179 . Бибкод : 2017PhRvE..95b3306K . дои : 10.1103/PhysRevE.95.023306 . ПМИД   28297858 . S2CID   13326345 .
  26. ^ Стивен Джонсон (19 октября 2006 г.). Карта призраков: история самой ужасающей эпидемии в Лондоне — и как она изменила науку, города и современный мир . Издательская группа «Пингвин». п. 187. ИСБН  978-1-101-15853-1 . Проверено 16 октября 2017 г.
  27. ^ Малхеран, Пенсильвания; Блэкман, Дж. А. (1996). «Зоны захвата и масштабирование при росте однородных тонких пленок». Физический обзор B . 53 (15): 10261–7. Бибкод : 1996PhRvB..5310261M . дои : 10.1103/PhysRevB.53.10261 . ПМИД   9982595 .
  28. ^ Пимпинелли, Альберто; Тумбек, Левент; Винклер, Адольф (2014). «Масштабирование и равенство показателей при островковом зарождении: новые результаты и применение к органическим пленкам» . Журнал физической химии . 5 (6): 995–8. дои : 10.1021/jz500282t . ПМЦ   3962253 . ПМИД   24660052 .
  29. ^ Фанфони, М.; Плачиди, Э.; Протоиерей Ф.; Орсини, Э.; Пателла, Ф.; Бальзаротти, А. (2007). «Внезапное зарождение и масштабная инвариантность квантовых точек InAs на GaAs». Физический обзор Б. 75 (24): 245312. Бибкод : 2007PhRvB..75x5312F . дои : 10.1103/PhysRevB.75.245312 . ISSN   1098-0121 . S2CID   120017577 .
  30. ^ Миямото, Сатору; Мутанаббир, Усама; Халлер, Юджин Э.; Ито, Кохей М. (2009). «Пространственная корреляция самоорганизующихся изотопно чистых наноостровков Ge/Si (001)». Физический обзор B . 79 (165415): 165415. Бибкод : 2009PhRvB..79p5415M . дои : 10.1103/PhysRevB.79.165415 . ISSN   1098-0121 . S2CID   13719907 .
  31. ^ Лёбл, Маттиас К.; Чжай, Лян; Ян, Ян-Филипп; Ритцманн, Джулиан; Хо, Юнхэн; Вик, Андреас Д.; Шмидт, Оливер Г.; Людвиг, Арне; Растелли, Армандо; Уорбертон, Ричард Дж. (3 октября 2019 г.). «Корреляция между оптическими свойствами и площадью ячейки Вороного квантовых точек». Физический обзор B . 100 (15): 155402. arXiv : 1902.10145 . Бибкод : 2019PhRvB.100o5402L . дои : 10.1103/physrevb.100.155402 . ISSN   2469-9950 . S2CID   119443529 .
  32. ^ «КУЛЬТУРНЫЙ УЧАСТОК ГОЛД-КОСТ» . АРМ Архитектура. Архивировано из оригинала 7 июля 2016 г. Проверено 28 апреля 2014 г.
  33. ^ Лопес, К.; Чжао, К.-Л.; Магниол, С; Чиабо, Н.; Леклерк, Л. (28 февраля 2019 г.). «Микроскопическое моделирование движения грузовых автомобилей при парковке как мера управления зоной погрузки грузов» . Устойчивость . 11 (5), 1276.
  34. ^ Сингх, К.; Садеги, Ф.; Корренс, М.; Бласс, Т. (декабрь 2019 г.). «Подход, основанный на микроструктуре, к моделированию влияния шероховатости поверхности на усталость при растяжении» . Международный журнал усталости . 129 : 105229. doi : 10.1016/j.ijfatigue.2019.105229 . S2CID   202213370 .
  35. ^ Ню, Ханлин; Савварис, Ал; Цурдос, Антониос; Цзи, Зе (2019). «Алгоритм планирования пути для беспилотных надводных транспортных средств на основе дорожной карты Вороного» (PDF) . Журнал навигации . 72 (4): 850–874. дои : 10.1017/S0373463318001005 . S2CID   67908628 .
  36. ^ Кортес, Дж.; Мартинес, С.; Каратас, Т.; Булло, Ф. (апрель 2004 г.). «Контроль покрытия мобильных сенсорных сетей» . Транзакции IEEE по робототехнике и автоматизации . 20 (2): 243–255. дои : 10.1109/TRA.2004.824698 . ISSN   2374-958X . S2CID   2022860 .
  37. ^ Теруэль, Энрике; Арагес, Росарио; Лопес-Николас, Гонсало (апрель 2021 г.). «Практический метод равномерного покрытия роем динамической области» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 6 (2): 1359–1366. дои : 10.1109/LRA.2021.3057568 . ISSN   2377-3766 . S2CID   232071627 .
  38. ^ Полиа, Г. О нулях производных функции и ее аналитическом характере. Бюллетень AMS, том 49, выпуск 3, 178–191, 1943 г.
  39. ^ Митчелл, Том М. (1997). Машинное обучение (международное изд.). МакГроу-Хилл. п. 233 . ISBN  978-0-07-042807-2 .
  40. ^ Шенвай, Танушри (18 ноября 2021 г.). «Новая методика глубокого обучения, которая восстанавливает глобальные поля без использования организованных данных датчиков» . МаркТехПост . Проверено 5 декабря 2021 г.
  41. ^ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : «Марк ДиМарко: алгоритмы пользовательского интерфейса [JSConf2014]» – через www.youtube.com.
  42. ^ «Найди мою школу» . Государственный департамент образования штата Виктория . Проверено 25 июля 2023 г.
  43. ^ Хариди, Рич (6 сентября 2017 г.). «Архитектор, ставший кондитером, готовит аппетитные геометрические торты, напечатанные на 3D-принтере» . Новый Атлас .
  44. ^ Ронг, Годун; Тан, Тиоу Сенг (2006). «Переполнение графического процессора приложениями к диаграмме Вороного и дистанционному преобразованию» (PDF) . В Олано, Марк; Секин, Карло Х. (ред.). Материалы симпозиума 2006 г. по интерактивной 3D-графике, SI3D 2006, 14–17 марта 2006 г., Редвуд-Сити, Калифорния, США . АКМ. стр. 109–116. дои : 10.1145/1111411.1111431 . ISBN  1-59593-295-Х .
  45. ^ «Шедертой» .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 16fea71983792501624b39319c7a19e1__1718293860
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/16/e1/16fea71983792501624b39319c7a19e1.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Voronoi diagram - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)